Пересечение паралельных прямых .

Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Stas » Вс дек 18, 2022 7:17 am

Вопрос - как в домашних условиях продемонстрировать пересечение паралельных прямых на плоскости ?
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Вс дек 18, 2022 6:26 pm

Да никак!
Параллельные прямые НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ - это АКСИОМА...
То есть, если они "где-то" и пересекаются, значит "там" они НЕ параллельны...
Наглядный пример - параллельные рельсы на железнодорожных путях...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Вс дек 18, 2022 11:15 pm

продемонстрировать пересечение паралельных прямых

Предлагаю к этой задачке менее абстрактное дополнение в виде МОДЕЛИ железной дороги на полу обычной детской комнаты.
Такие детские игрушки БЫЛИ ещё в советское время, хотя и не у каждого пионера-школьника.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Вс дек 18, 2022 11:23 pm

Задачка "про детскую железную дорогу" уже рассматривалась в разделе "Математическая задачка месяца", поэтому можно воспользоваться СТАНДАРТНЫМИ элементами (модулями) из этого конструктора - для возможности ПОСТРОЕНИЯ аналогичной модели ЗАМКНУТОГО пути, но только уже с самопересечением этого пути в виде "восьмёрки"...
https://www.math10.com/ru/forum/viewtop ... =31&t=3077
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Вс дек 18, 2022 11:29 pm

Возможен ли вот такой вариант пересечения "параллельных рельсов" в пространстве жилой комнаты?!
13 жд дважды.jpg
13 жд дважды.jpg (257.24 КБ) Просмотров: 247
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Stas » Пн дек 19, 2022 5:25 am

Я бы для начала задал себе вопрос - возможно ли изменение формы плоскости ?
К примеру , лист бумаги можно считать двухсторонней плоскостью или нет ? Естественно если не учитывать что это физическое тело , в этом случае речь может идти только о его поверхности .
Ведь он обладает определённой гибкостью , к примеру его можно свернуть в рулон - изменятся ли при этом его свойста ?

Возьмём , к примеру , ваш рисунок детской железной дороги и слегка изогнём его ..
С позиции внешнего наблюдателя формы рисунка изменились , но с точки зрения наблюдателя на плоскости не изменилось ничего .
Геомертические соотношения остались те же , направления линий то же ну и т. д.
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Пн дек 19, 2022 11:18 am

возможно ли изменение формы плоскости

ХОРОШИЙ ВОПРОС!
Если "с чисто философской" кочки зрения, то вполне возможно!
Ибо сказано свыше: "Всё течёт, всё изменяется"!
А на этом форуме рассмотрение этого вопроса как раз и началось с темы "Развивается ли математика"?
Предположим, что ДА - развивается!
И сразу возникает "топологическое уточнение" - ГДЕ?!
Ответ тоже понятен: "Где-где - в 3Dэ!"
Если ГЛОБАЛЬНО - то во всей Вселенной!
А если "локально" (по условиям задачи) - то "в домашних условиях", то есть "в пространстве своей ЖИЛОЙ комнаты"!
ОБЪЁМ (3D) при этом "не имеет значения", потому что речь пойдёт именно О ФОРМЕ поверхности (2D)!

Если МЫ берём в качестве модели поверхности БУМАЖНЫЙ лист (например, формата А4), то заранее ЗНАЕМ, что бумага обладает гибкостью, а не пластичностью, так ведь? Так же НАМ известно (дано), что площадь этого листа не "бесконечна" (как абстрактная прямая линия), а О-граничена размером по КРАЯМ листа, а сам этот БУМАЖНЫЙ лист представляет собой ПРЯМОУГОЛЬНИК, то есть 4-х угольник (тетрагон по-гречески).
НАРИСОВАТЬ графически (карандашом) на этом листе МЫ может либо на ОДНОЙ стороне этого листа, либо на ДРУГОЙ стороне этого же листа... Либо на обеих сторонах, но такого условях в задаче НАМ НЕ ДАНО...
И по форме этого прямо-УГОЛЬНОГО листа нет определённых (заданных) размеров, то есть МОЖНО даже взять не весь это лист, а ОТРЕЗАТЬ от него узкую полосу, длина которой будет намного больше ширины. Такая форма поверхности листа тоже считается ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ, так ведь?
У этой "бумажной модели" так же сохраняются СВОЙСТВА материи (бумаги) - в любой части этой фигуры, то есть именно ГИБКОСТЬ, а не пластичность!
И так же у этого листа есть ДВЕ стороны...
Но некто Август Фердинандович Мёбиус (ещё в середине XIX века) взял да и СКЛЕИЛ противоположные концы этой полосы, при это повернув один конец на 180 градусов по оси этой полосы. И у него получилась МОДЕЛЬ "односторонней поверхности с краем", которая сейчас известна как лента Мёбиуса или просто "мёбиус"...
В домашних условия МЫ такую модель тоже МОЖЕМ сделать из обычного листа бумаги!
Но "проделать такой фокус" с экраном монитора, на котором нарисована модель железной дороги у нас НЕ ПОЛУЧИТСЯ... :lol:
1280px-Möbius_strip.jpg
1280px-Möbius_strip.jpg (72.57 КБ) Просмотров: 226
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Пн дек 19, 2022 12:32 pm

Для эксперимента мы тоже попробуем "сделать мёбиуса" из бумажной полосы, но при склеивании концов повернём один конец на ПОЛНЫЙ ОБОРОТ = 360 градусов! У нас опять получилась ДВУ-стронняя поверхность с двумя параллельными КРАЯМИ.
И сразу вопрос - ЧЕМ ОТЛИЧАЕТСЯ наша "модель Ж/Д", показанная на ОДНО-сторонней поверхности Вашего монитора (нарисованная на изначальной схеме)- от ФОТО-графического изображения аналогичной "модели Ж/Д", изображённого на фото?!!

Мёбиус 002.jpg
Мёбиус 002.jpg (805.29 КБ) Просмотров: 225
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Stas » Пн дек 19, 2022 5:01 pm

Я ж всё таки имею инженерное образование .. ;)
А ничем они не отличаются - гибкие экраны вчерашний день ..
Но посыл ваш ясен - осталось дождаться определения плоскости .. ;)
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Пн дек 19, 2022 7:56 pm

дождаться определения плоскости

Это НАДО БЫЛО спросить у самого Рене Декарта... Или даже ещё раньше - у Евклида...
А "здесь и сейчас" мы рассматриваем некие "МОДЕЛИ параллельности линий" НА ПОВЕРХНОСТИ (2D)...
Масштаб тоже НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ, поэтому представим, что такая "дорога" проложена не на полу в детской комнате, а на СФЕРЕ...
Например, для какого-то "шарика" проложена ПОЛОСА перемещения
, ограниченная двумя краями (рельсами).
Но ему предписано двигаться только по ОДНОЙ линии, придерживаясь ПРАВОЙ стороны - по красному "рельсу"...
Как это в "обычных"школьных задачках: "Из пунта А в пункт В по поверхности СФЕРЫ покатился ШАРИК...
Поверхность СФЕРЫ - это НЕ плоскость, но по условию задачи расстояние между красной и синей линиями ВСЕГДА одно и тоже = [tex]x^{1 }[/tex].
В задаче как бы "спрашивается" - сможет ли этот "шарик" попасть из пункта А в пункт В, не пересекая линию собственной траектории, а потом вернуться ОБРАТНО в пункт А, чтобы получилась ЗАМКНУТАЯ траектория "без самопересечений"?!
путь Шарика по сфере.jpg
путь Шарика по сфере.jpg (78.41 КБ) Просмотров: 221
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Stas » Вт дек 20, 2022 4:45 am

Не , так не пойдёт .. ;)
Участки плоскости налагаются друг на друга и пересечения не получится ..
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Вт дек 20, 2022 8:47 am

Участки плоскости налагаются друг на друга и пересечения не получится ..

Если верхнюю полоску немного приподнять, то шарик может проскочить МЕЖДУ верхней и нижней полоской
- из пункта В в пункт А (как бы под мостом) и продолжить движение по направлению красной стрелки.
Диаметр красной "точки" - величина безразмерная, толщина полос тоже "не имеет значения", свободное пространство МЕЖДУ нижней и верхней полосой СУЩЕСТВУЕТ, то есть, самопересечения НЕ СОСТОЯЛОСЬ...
Если по "синему рельсу" пустить встречный синий шарик, то пересечения траекторий тоже НЕ БУДЕТ!
Как говорится "бац-бац ... и мимо"!
Следовательно, на каждом локальном отрезке пути расстояние между рельсами остаётся неизменным = [tex]x^{1 }[/tex], но "не факт", что эти "рельсы" ПРЯМЫЕ линии... А так как концы у этих линий СОЕДИНИЛИСЬ, то такие линии можно назвать БЕСКОНЕЧНЫМИ (без концов), замкнутыми кривыми, а между ними МОЖНО провести ещё "сколько угодно" НЕпересекающихся линий...
Разница в том, что НА плоской поверхности у нас НАРИСОВАНЫ плоские кольца, а на фотографии бумажного макета это не кольца, а такой ЦЕЛЬНЫЙ ОБРУЧ, который можно "напялить" на поверхность ШАРА или футбольного мяча!
ВДНХ-00000000008.jpg
ВДНХ-00000000008.jpg (143.05 КБ) Просмотров: 215
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Stas » Вт дек 20, 2022 9:34 am

У меня такое ощущение , что решение вы знаете и просто делаете попытку найти ещё один вариант , я не прав ?
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Вт дек 20, 2022 9:56 am

Если Вы имеете ввиду построение ПЕРСПЕКТИВЫ на плоскости картины или на ватмане, то там там, действительно, есть такое понятие - "схождение параллельных прямых в одной точке"... Но как известно в геометрии - это всего лишь ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ линии, которые в реальной действительности НЕ СУЩЕСТВУЮТ...
Аналогично можно нарисовать (или даже сфотографировать?) "пересечение" ДВУХ параллельных рельсов на линии горизонта.
Так же и при вычерчивании линий в интерьере жилой комнаты МОЖНО нарисовать пересечение параллельных прямых - как продолжение параллельных ОТРЕЗКОВ прямоугольного стола...
Но это уже не совсем математика, а такое "художественное ТВОРЧЕСТВО"... Как иногда говорят про архитекторов, дескать "фсе архитекторы маненько чокнутые - рисуют ТО, чего в натуре НЕ СУЩЕСТВУЕТ" ! :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Сообщение Rados » Вт дек 20, 2022 10:16 am

Плоский ЛИСТ можно не только плавно изгибать, но и СОГНУТЬ - сложить пополам, а потом обратно развернуть.
Таким "способом" можно сделать макет ТРЁХгранного угла из обычного листа школьной тетрадки "по математике" (в клеточку).
При этом можно ПРЕДПОЛОЖИТЬ, что плоскость БЕСКОНЕЧНА по размерам во все стороны, но при этом никакой "толщины" у неё НЕТУ.
И сам лист тоже может быть НЕОПРЕДЕЛЁННОЙ формы...
Если согнуть такой лист по линии сгиба, то на этой линии можно НАЙТИ середину, севместив точки А и В.
И тогда мы получим ПЕРПЕНДИКУЛЯРНУЮ линию сгиба.
Вырезать "лишнюю четверть" можно обычными ножницами, а потом совместить линии отреза.
Получится макет ТРЁХ-гранного угла, который и является ОСНОВАНИЕМ в декартовой системе координат - как система из ТРЁХ взаимно пересекающихся ПЛОСКОСТЕЙ в трёхмерном пространстве... При этом принято считать, что все три плоскости - БЕСКОНЕЧНЫ по размеру...
Этим и ОТЛИЧАЕТСЯ сферическая (векторная) система координат от декартовой (прямоугольной) системы координат...
ТРЁХгранный угол.jpg
ТРЁХгранный угол.jpg (88.21 КБ) Просмотров: 213
Последний раз редактировалось Rados Вт дек 20, 2022 12:09 pm, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Вт дек 20, 2022 11:18 am

Однако, вернёмся к нашим "гипотетическим рельсам"!
Мы уже наглядно ПОКАЗАЛИ разницу, между параллельными "рельсами" на плоскости (плоские КОЛЬЦА на первом рисунке) и параллельными "рельсами" на СФЕРЕ (криволинейные замкнутые ПОЛОСЫ).
Если продолжить наш эксперимент с БУМАЖНОЙ моделью "мебиуса", то МЕЖДУ двумя параллельными линиями всегда МОЖНО провести ТРЕТЬЮ линию, параллельную этим "рельсам" - ровно посередине! А если такой МАКЕТ разрезать вдоль на ДВЕ равные части, то каждая половина будет представлять точно такой же "бесконечный обруч" (восьмёрку = [tex]2^{3 }[/tex])... В трёхмерном пространстве эти два обруча тоже НЕ БУДУТ ПЕРЕСЕКАТЬСЯ, но разъединить (отделить) их уже тоже НЕ ПОЛУЧИТСЯ, потому что они будут иметь ЗАЦЕПЛЕНИЕ - как два звена в ОДНОЙ цепи...
Мёбиус.jpg
Мёбиус.jpg (873.6 КБ) Просмотров: 209


В топологии такие "фокусы" давно известны, но в "обычной" средней школе это НЕ преподаётся и НЕ изучается...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Stas » Вт дек 20, 2022 11:44 am

Вы знаете я тоже рельсы рисовал теми же цветами .. и тоже на ленте .. ;)
Мне не охота делать фотографию , у вас на компьютере получается намного наглядней ..
Итак не будем ничего резать и вспомним что вы сказали немного ранее ..
" Но некто Август Фердинандович Мёбиус (ещё в середине XIX века) взял да и СКЛЕИЛ противоположные концы этой полосы, при это повернув один конец на 180 градусов по оси этой полосы."
Концы кстати можно и не склеивать , а просто пропустить друг через друга обеспечив тем самым беснечность плоскости ...
Итак .. и то что спрятано у всех на виду , да будет явлено на всеобщее обозрение .
Дело за вами !
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Вт дек 20, 2022 12:01 pm

В исходной "задачке про железную дорогу" ИЗВЕСТНО, что расстояние между рельсами всегда ОДНО и ТОЖЕ = [tex]x^{1 }[/tex].
А количество секций (модулей) такой конструкции можно ПОСЧИТАТЬ "в уме" или пальцем по чертежу (всего их 26 штук).
При этом ИЗМЕРЯТЬ радиусы кривизны каждого модуля НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО, потому что они уже ЗАДАНЫ линиями окружности!
НО... так как в условиях задачи все эти линии (1D) ЛЕЖАТ в одной плоскости (2D), то в каком-то МЕСТЕ эти "параллельные рельсы" ПЕРЕСЕКАЮТСЯ (на первом рисунке), а на бумажной 3D-модели НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ...
Лобачевский тут вообще "не причём", потому что он имел ввиду именно ПРЯМЫЕ линии в трёхмерном СФЕРИЧЕСКОМ пространстве, а не на плоскости (2D) в декартовой СИСТЕМЕ координат!

Если нашу "бумажную модель мёбиуса" НАРИСОВАТЬ одной непрерывной замкнутой линией (при [tex]x^{1 }[/tex] = 0), то в топологии это называется "уникурсальный ГРАФ".
И тогда все 4 оборота СОВМЕСТЯТСЯ (гипотетически) в ОДНУ окружность, длина которой = 1/4 нашей исходной бумажной полосы > 0, а её диаметр можно просто ИЗМЕРИТЬ обычной "школьной" линейкой (в миллиметрах)...
[tex]\infty[/tex] > 1 > 0
Мёбиус2.jpg
Мёбиус2.jpg (1.53 МБ) Просмотров: 207
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Rados » Вт дек 20, 2022 12:08 pm

Если просто РАЗРЕЗАТЬ замкнутую бесконечную окружность (или полоску?) "поперёк", то у неё появятся ДВА конца.
А середину этой линии можно найти известным способом - даже БЕЗ линейки с метрическим делением...
Старая "портновская загадка": ДВА конца, ДВА кольца, посередине гвоздик"... :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Пересечение паралельных прямых .

Сообщение Stas » Вт дек 20, 2022 12:19 pm

Поэкспериментируйте , а я пойду за фотоаппаратом ..
Stas
 
Сообщения: 838
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

След.

Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1