Нельзя сказать что что это относится к прикладной математике, но к теоретической точно
"От теории до практики - ДИСТАНЦИЯ огромного разМЕРА".
Опять мы подошли "к определению терминов и определений", Stas!
Пре-ОБРАЗОВАНИЕ = пере-ФОРМАТИРОВАНИЕ = транс-ФОРМАЦИЯ = ТРАНС-ляция = презентация информации = ШОУ!!!
КАК ПОКАЗАТЬ (отобразить наглядно) ТО, чего не видно "невооружённым глазом", но ОНО существует?!
В т.н. "гуманитарных науках" - либо языком (устно), либо письменно (графически).
А в т.н. "технических науках" - либо письменно (формулами и расчётами), либо НАГЛЯДНО (на моделях и макетах)!
А для чего?
Наверное, для того, чтобы иметь какое-то СРАВНЕНИЕ с уже известным образцом (аналогом), так ведь?
Сравнивать какие-либо "абстрактные" МОДЕЛИ (мылеобразы?) с реальными ОБЪЕКТАМИ можно только при условии каких-то "условных допущений", однозначно воспринимаемых участниками дискуссии как АКСИОМЫ. И этот постулат применим не только к математике! В других научных дисциплинах это называется АКСИОМАТИКОЙ... Как говорил один знакомый философ (из неопубликованных): "Здесь только ДВА варианта - либо фокус, либо ЧУДО!"
Но чудеса бывают только в сказках, в фокус - это понятие из ОПТИКИ...
Однако, вернёмся к нашим ГЕО-МЕТРИЧЕСКИМ объектам!
Возник "вопрос сравнения" понятий ШАР и ТОР, которые (по гипотезе Пуанкаре) не относятся к 3D-сферам! Григорий Перельман этом уже ДОКАЗАЛ математически, но мы же не будем ОПРОВЕРГАТЬ его доказательства, а просто попробуем САМИ разобраться в этом вопросе.
ТОР в топологии считается НЕ "бубликом" (трёхмерным ТЕЛОМ), а всего лишь ПОВЕРХНОСТЬЮ "бублика". В математике ПЛОЩАДЬ поверхность (2D) измеряется в "квадратных" ед. из. = [tex]1^{2 }[/tex], так же как и поверхность ШАРА, который тоже является ТРЁХ-мерным геометрическим Объектом.
Если реальный бублик сделать из пластилина, то его кушать никто не станет! Но как наглядную МОДЕЛЬ для его трансФОРМАЦИИ в шар мы можем использовать для исследования. Объём шара из пластилина при этом будет равен объёму "бублика" из этого же куска пластилина. Но "не факт", что площадь поверхности (2D) у этих фигур будет ОДИНАКОВОЙ.
А мы можем преобразовать (чисто физически - своими руками) этот же кусок пластилина - в КУБИК(3D), у которого объём будет такой же как у "бублика" и у Шара, так ведь?! Но чтобы из-МЕРЯТЬ этот объём в каких-то "кубических" ед. изм. = [tex]1^{3 }[/tex] нам будет ДОСТАТОЧНО измерить длину (1D) какого-нибудь ребра "обычной" (школьной?) ЛИНЕЙКОЙ и записать результат измерения ЦИФРАМИ... Например, если длина ребра будет равна "числу" [tex]\pi[/tex] = 3, 1420 [tex]см^{1 }[/tex], то ОБЪЁМ пластилина будет приблизительно равен 97,460 [tex]см^{3 }[/tex], а площадь поверхности этого кубика будет приблизительно равна 59,233 [tex]см^{2 }[/tex]...
"Кто не верит - пусть проверит!"
КОЛИЧЕСТВО вершин, рёбер и граней этого кубика можно пересчитать даже БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА (пальцем или в уме) - в штуках = [tex]1^{0 }[/tex]
А по формуле Эйлера "В - Р + Г" всегда получается число = 2... 8 (шт.) - 12 (шт.) + 6 (шт.) = 2 (без указания ед. изм)...