Развёртка окружности в прямую линию

Развёртка окружности в прямую линию

Сообщение Rados » Вт май 31, 2022 8:57 pm

Исследование числа [tex]\pi[/tex] и уточнение его значения шли параллельно с развитием всей математики и занимают несколько тысячелетий. Сначала [tex]\pi[/tex] изучалось с позиции геометрии, затем развитие математического анализа в XVII веке показало универсальность этого числа.
В 1735 году один из основоположников ТОПОЛОГИИ Леонард Эйлер Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему — проблему нахождения точного значения этого соотношения методом "обратных квадратов". А уже через два года после этого Эйлер писал: «Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику"..
Например, если длину окружности с диаметром равным 7m (линейных единиц) РАЗВЕРНУТЬ в одну линию (выпрямить) на плоскости, то длина этой линии (от А до В) будет состоять из 21 полного отрезка m и двух половинок по обе стороны этой линии, то есть = 22m.
Соотношение длины 22m к длине 7m ТОЧНО соответствует значению [tex]\pi[/tex], выраженному в НАТУРАЛЬНЫХ числах = 22/7.

Задача решена БЕЗ использования компьютера - ГРАФИЧЕСКИ и не требует измерения длины диаметра окружности в каких то "стандартных" единицах длины.
Но при увеличении диаметра окружности на ЛЮБОЙ множитель m > 0, длина окружности увеличивается КРАТНО на тот же множитель m.
То есть, соотношение 22 частей окружности(дуг) к 7 частям диаметра этой же окружности всегда будет ПОСТОЯННЫМ...
Участникам и гостям форум предлагаем ПРОВЕРИТЬ (верифицировать) этот способ определения числа [tex]\pi[/tex] - без использования компьютеров, а именно "с помощью циркуля и линейки" при ЛЮБОМ значении линейного модуля m.
Развёртка окружности.jpg
Развёртка окружности.jpg (75.68 КБ) Просмотров: 765
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Развёртка окружности в прямую линию

Сообщение Rados » Ср июн 01, 2022 2:33 pm

В топологии есть понятие "точка разбиения", в которой пересекаются ДВЕ линии.
А в этой "задачке" нам ДАНО множество точек и только ОДНА замкнутая линия - ОКРУЖНОСТЬ, которую требуется РАЗОМКНУТЬ И ВЫПРЯМИТЬ.
В первом варианте мы обозначили такую точку буквой О красного цвета (которая тоже является О-кружностью), и по этой точке как бы РАЗРЕЗАЛИ (оборвали) линию окружности, состоящую из 22 равных дуг. И затем разложили полученную НЕзамкнутую линию в строго горизнтальное положение.
Количество отрезков, каждый из которых (по длине) равен модулю m > 0, но единицы измерения при этом не имеют значения.
То есть длина красной окружности = 22m и равна длине синего отрезку АВ = 22m.
Диаметр красной окружности показан фиолетовым отрезком = 7m.
Соотношение длины окружности к длине диаметра этой же окружности = 22m/7m = 22/7 (без выполнения операции деления на клькуляторе)!

Но такое же СРАВНЕНИЕ длины окружности с диаметром можно показать другим вариантом, используя ДВЕ разбивающие точки на окружности.
В этом случае у нас получается ДВЕ незамкнутые линии, каждая из которых по длине равна 11m.
Так же как и в первом варианте преобразуем эти две полуокружности в прямолинейные отрезки АВ = 11m и СD = 11m.
При этом между двумя этими отрезками образуется пространство называемое "полем".
Площадь полученной фигуры (прямоугольника из множества серых точек) равна площади ДВУХ кругов, ограниченных красной линией...
7m x 11m = 77[tex]m^{2 }[/tex]
А площадь круга диаметром 7m вычисляется по формуле 22/7 х [tex](3,5m)^{2 }[/tex] = 38,5[tex]m^{2 }[/tex], то есть равна половине площади прямоугольника CDBA...
Что и требовалось ПОКАЗАТЬ графически...
выпрямление полуокружностей.jpg
выпрямление полуокружностей.jpg (216.66 КБ) Просмотров: 761
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Развёртка окружности в прямую линию

Сообщение Rados » Пт сен 16, 2022 12:59 pm

Что получится, если одинаковые по диаметру окружности принять за единицу измерения (модуль)?!
На числовой оси (в ряд) разместим ДВАДЦАТЬ ОДНУ такую окружность, а количество (штук) запишем "арабскими" цифрами - при увеличении диметра - от 1 до 8 ...
И оказывается, что при диаметре = 7 (штук) в окружность помещается ровно 22 таких же "модуля"!
То есть, число 7 можно записать как "полусумму НАТУРАЛЬНЫХ чисел 6 и 8"... 7 = 14 : 2
Число 22 в десятичном счислении = 2 х 10 + 2 х 1, а в "семиричной" системе как "трижды СЕМЬ + 1".
22 дуги = 3х7 + 1
НОЛЬ тоже можно считать "натуральным числом" = 0! (ноль-факториал).
И тогда КОЛИЧЕСТВО окружностей на одной линии тоже помещается ровно 22 штуки!

0_8.jpg
0_8.jpg (57.51 КБ) Просмотров: 663
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Развёртка окружности в прямую линию

Сообщение Rados » Пт сен 16, 2022 4:54 pm

Здесь ещё можно поразмышлять над СОСТАВОМ натуральных чисел, то есть
ИЗ ЧЕГО состоит каждое натуральное (целое?) число...
В десятичной системе счисления - из единиц, десятков, сотне, тысяч,... десятков тысяч, сотен тысяч, тыщ тысяч ... (и тд до [tex]\infty[/tex])
2 (полных) десятка + две (целых) единицы записываются как 22.
А мы попробуем группировать числа ПОЛНЫМИ СЕМЁРКАМИ (G):
Тогда число "семь" можно записать как 1G = ОДНА полная семёрка, число "восемь" - как 11 = одна полная семёрка + одна целая единица.
Далее последует:
Девятка [tex]\Rightarrow[/tex] 12.
Десятка [tex]\Rightarrow[/tex] 13.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Пятнашка [tex]\Rightarrow[/tex] 21.
..........................................
Двадцатка [tex]\Rightarrow[/tex] 26.
Двадцать одно [tex]\Rightarrow[/tex] 3G (три полных семёрки + ноль единиц)...3 х 7 = 7 + 7 + 7
Соответственно "двадцать два" [tex]\Rightarrow[/tex] 31 (три полных семёрки + единица) ... 3 x 7 + 1
ЛОГИЧНО?!



.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Развёртка окружности в прямую линию

Сообщение Rados » Пт сен 16, 2022 5:09 pm

Теперь попробуем составить число "семь" из ДВОЕК:
7 = 2 + 2 + 2 + 1 = 3 х 2 + 1
Соотношение количества дуг окружности к количеству отрезков на диаметре запишем вот в таком виде:
(3 х 7 + 1) : (3 х 2 + 1)... Сократим эту дробь на 3:
(7 + 1/3) : (2 + 1/3) = 22/7
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Точно такое же со-ОТНОШЕНИЕ количества дуг (штук) к количеству отрезков (штук) у нас получилось в ГРАФИЧЕСКОМ отображение (на схеме).
(3 х 7 +1) : 7 = [tex]\pi[/tex]
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Развёртка окружности в прямую линию

Сообщение Rados » Пт сен 16, 2022 10:21 pm

При делении ЛЮБОЙ целой единицы на число "семь" (на калькуляторе с нулём) получается известное всем циклическое число 142857.
Однако принято считать, что в семиричной системе счисления "нуля нету"!
Поэтому мы возьмём вместо "одной миллионной доли" НЕдесятичную дробь = 1/999999.
В результате тоже получается соотношение (коэффициент) [tex]\pi[/tex] = 3 + 142857/999999 = 3 + 1/7.
22/7 = 3 + 1/7 = [tex]\pi[/tex]
Что и требовалось ПОКАЗАТЬ графически!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ


Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

cron