Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Пт апр 22, 2022 12:52 pm

представление начертательной геометрии которую мне преподавали в институте

Именно ТАК и представляли ТОПО-логию - как более общую ГЕО-метрию - основоположники топологии: Эйлер, Пуанкаре, Хаусдорф, Лобачевский "иже с ними".
Только в ТО ВРЕМЯ у них не было таких совершенных ИНСТРУМЕНТОВ для графических ДОКАЗАТЕЛЬСТВ своих гипотез о 3D-пространстве!
А всякие "писатели-фантазёры" насочиняли по этому поводу массу всяких КНИЖЕК "про пятое, шестое, седьмое ... измерения".
Высшие Математики по этому поводу спорили весь ХХ век, но ДОКАЗАТЬ гипотезу Пуанкаре удалось только Грише Перельману в 2002 году!
Но Гриша тоже "рисовать на доске" форму Вселенной (3D-модель) не стал (или не захотел?), а журналистам, которые в топологии вообще "ни бум-бум" ответил по английски:
I know how the universe is run...
Но журналисты его не поняли и тоже насочиняли всякую фигню "про Перельмана, который (якобы) УМЕЕТ управлять Вселенной"!
... но уже не хочет. :lol:
Как управлять Вселенной.jpg
Как управлять Вселенной.jpg (198.83 КБ) Просмотров: 809
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Пт апр 22, 2022 2:14 pm

или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей

Сразу можно ВЫБРАТЬ из этого определения только ТО, что НАМ НАДО для решения конкретной задачи, дружище Stas!

Представим себе (мысленно), что ПУТЬ (paht), который нарисован на карте линией (1D), является не "траекторий движения", а просто такая НИТКА - как бы "нить Ариадны"... В моём варианте решения - без учёта "воздушного моста" - получилась НЕзамкнутая криволинейная фигура, у которой ДВА конца: фиолетовая начальная точка (как бы узелок на нитке)и фиолетовая стрелка (как бы конец нитки)!
А теперь возьмём ОБА конца и свяжем их ОДНИМ узлом, чтобы получился ЗАМКНУТЫЙ граф (петля). Если эту петлю СТЯНУТЬ за оба конца, то на этой нитке образуется ОДИН узелок (точка на линии), но никакого "зацепления" с мостами не получится! То есть, такую петлю можно СВОБОДНО вынуть из поверхности листа... Топологи говорят, что "множество точек такой линии НЕ СВЯЗАНО с множеством точек поверхности листа"...
А в Вашем варианте (с пересадкой на лодку) такая нитка ЗАЦЕПИТСЯ за мосты, под которыми проходит лодка. Поэтому СТЯНУТЬ такую петлю в одну точку НЕВОЗМОЖН, так ведь "в натуре"?!! ...
Коэффициент зацепления - это тоже некое ЧИСЛО, которое можно определить (пересчитать количество точек) только ГРАФИЧЕСКИ, а не "алгебраически"...
То есть, РЕШЕНИЕ таких задач зависит от УСЛОВИЙ конкретной (практической) задачи...
Поэтому топология - это не только теоретическая наука, но именно ПРИКЛАДАНАЯ ГЕО-метрия, которая тем не менее НЕ ОТРИЦАЕТ ни Евклидову, ни Декартову метрику... Насчёт "римановой метрики" я пока тоже "ни бум-бум", но это тоже раздел ТОПОЛОГИИ... ;)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Вс апр 24, 2022 2:10 pm

В вашем варианте вместо шара можно запустить ещё одну переправу перед Медовым мостом и получить замкнутый граф ..
Тем не менее оба варианты укладываются в требуемые условия задачи , но ваш вариант обладает дополнительными возможностями ..
Жаль что в те давние времена топология ещё была неизвестна ;)
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Вс апр 24, 2022 4:48 pm

в те давние времена топология ещё была неизвестна

Многие матемакики РАНЬШЕ просто не считали эту "недекартову ГЕО-метрию" - вообще за Математику!
Но т.н. "прикладное значение" такие топологические ЗНАНИЯ использовались с древнейших времён!
Узлы на верёвках использовались даже в качестве "бухгалтерских счёт" - американскими аборигенами!
В России (и в СССР) основателем топологии считается Пётр Сергеевич Александров, но у него "не сложились отношения" с Высшими Политическими Экономистами (марксистами?), поэтому в т.н. программе "советеского ВСЕОБУЧА" эта наука не входила!
Но в специальных учебных заведениях (в ВМФ, например) эти ЗАКОНЫ топологии были известны и применяли на практике в разделе "топография"!
Кто интересовался этой наукой (как бы на досуге), то для этого выпускалось много всяких "брошюрок по разгадыванию головоломок"...
А в настоящее время наиболее "продвинутым теоретиком топологии" безусловно является Г.Я. Перельман!
Но без ОСНОВ топологии и т.н. "теории ГРАФОВ" что-то доказывать другим (простым) Математикам в этой сфере довольно сложно!
Тем более, что не все такие математики ЗНАЮТ КАК применять топологию для решение конкретных ЗАДАЧ!
Сам Гриша Перельман про это тоже ЗНАЕТ, но просто уже НЕ ЖЕЛАЕТ заниматься вопросами "популчяризации топологии" в современных СМИ...
Лучше всего это получается у Алексея Савватеева, но он тоже не умеет "РИСОВАТЬ в 3D" - мелом на доске всякие СФЕРЫ - хоть "духмерные, хоть трёхмерные"... А многие из "продвинутых конструкторов" просто НЕ ХОТЯТ отказываться от привычной "евклидовой" геометрии и что-то ДОКЗЫВАТЬ другим математикам!

... Эта история относится к посещению мехмата М. И. Калининым в 1930-х годах. На встрече Калинин сначала рассказал профессорам и преподавателям о надеждах, которые возлагает на них партия и правительство, а затем спросил, какие есть нужды и заботы у самих математиков. Воцарилось неловкое молчание, он дважды переспросил. И тогда поднялся Павел Сергеевич Александров и, громко картавя, заявил, что «совег’шенно не г’аботает убог’ная на втог’ом этаже». Рассказывали, что Михаил Иванович знакомился с математиками не так просто, а потому, что его дочь собиралась выйти за математика; и ещё рассказывали, что после описанной встречи он ей это категорически запретил.
Ходит легенда, что дарственная надпись на экземпляре первой книги П. С. Александрова своему другу Урысону звучала как «ПСУ от ПСА», и именно из-за этого случая у Александрова было прозвище «пёс». (конец цитаты)...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Пн апр 25, 2022 11:29 pm

У меня складывается впечатление , что топология как самостоятельный раздел математики сформировалась так поздно оттого , что её элементы широко применялись практически во всех сферах человеческой деятельности ..
Похоже Эйлеру на примере этой головоломки впервые пришло в голову поискать то что могло объединить столь разнообразные представления в систему управляемую математической логикой и законами .
Оттого он и остался в истории первым топологом , а сама головоломка лишь послужила ему поводом для размышлений на эту тему .
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Ср апр 27, 2022 10:55 am

Методы топологии чаще всего используются в топографии, то есть в картографии МЕСТности (от слова топос).
А в связи с бурным развитием ЭВМ эта наука перешла в языки программирования - для записи, передачи и хранения информации с помощью компьютеров.

В Гражданском кодексе РФ есть даже целая Глава 74 "Право на топологии интегральных микросхем".
Статья 1448:
1."Топологией интегральной микросхемы является зафиксированное на материальном носителе пространственно-геометрическое расположение совокупности элементов интегральной микросхемы и связей между ними. При этом интегральной микросхемой является микроэлектронное изделие окончательной или промежуточной формы, которое предназначено для выполнения функций электронной схемы, элементы и связи которого нераздельно сформированы в объеме и (или) на поверхности материала, на основе которого изготовлено такое изделие.
2. Правовая охрана, предоставляемая настоящим Кодексом, распространяется только на оригинальную топологию интегральной микросхемы, созданную в результате творческой деятельности автора и неизвестную автору и (или) специалистам в области разработки топологий интегральных микросхем на дату ее создания. Топология интегральной микросхемы признается оригинальной, пока не доказано обратное.
Топологии интегральной микросхемы, состоящей из элементов, которые известны специалистам в области разработки топологий интегральных микросхем на дату ее создания, предоставляется правовая охрана, если пространственно-геометрическое расположение совокупности таких элементов и связей между ними в целом отвечает требованию оригинальности" (конец цитаты).
Последний раз редактировалось Rados Ср апр 27, 2022 11:23 am, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Ср апр 27, 2022 11:03 am

пространственно-геометрическое расположение совокупности элементов

СХЕМА метрополитена тоже подходит под это определение, хотя и не является "микросхемой".
Яблоки на дереве тоже являются "совокупностью элементов", а "связи между ними" можно нарисовать ГРАФИЧЕСКИ - по расположению веток и ствола ЭТОГО дерева! Если какое-то яблоко оторвалось от множества N яблок и случайно упало на голову Исаака нашего уважаемого Ньютона, то оставшееся множество яблок на ЭТОМ дереве "алгебраически" можно записать как ..........(N - 1)... :ugeek:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Чт апр 28, 2022 4:34 am

В схеме метро тоже есть кольцевая линия , которую тоже невозможно снять с поверхности условного листа ..
Кроме этого у кольцевой структуры нет ни вершин ни узелков .. как в песенке " .. а у кольца начала нет и нет конца ".. ;)
Я говорил о особенности такой структуры , в кольцевой маршрут можно войти и выйти в любой его точке , на конечный результат это не скажется ..
Вот и в метро есть точки входа и выхода - это его станции , но на маршрут состава это не оказывает никакого влияния - оно так и остаётся движением по кольцу ..
Есть один нюанс , если мы разрежем такую нить Ариандры , то ухватившись за один её конец сможем вытянуть её из пространства без повреждения .
Но если на ней будет хоть одно пересечение или узелок то проделать такой фокус не получится ..
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Чт апр 28, 2022 9:17 am

ухватившись за один её конец сможем вытянуть её из пространства без повреждения

Совершенно верно, Stas! Вытянуть можно! Но только при условии, что тянуть будем за ОДИН конец!
А у любого отрезка (1D) есть ДВА конца, которые являются "нульмерными точками" - хоть по Евклиду, хоть по Фаусдорфу, хоть по Александрову!
А если тянуть за ОБА конца - одновременно и в одном направлении???
Очевидно же, что середина такой "нитки" может зацепиться за один из мостов Кенигсберга?!
В Вашем варианте маршрута по семи мостам траектория (замкнутый граф) имеет "коэффициент зацепление = 2".
А в варианте с "воздушным мостом" вообще никакого зацепление нет!
Аналогичные примеры зацепление колец мы уже рассматривали в задачке "про скульптуру из нуля и восьмёрки" (на ВДНХ)
https://www.math10.com/ru/forum/viewtop ... =31&t=2678
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Чт апр 28, 2022 6:59 pm

Я не говорил что тянуть надо за оба конца - " ..то ухватившись за один её конец сможем вытянуть её из пространства без повреждения ."
А вот с поверхности листа мы сможем снять граф любой структуры , при условии что он построен в двухмерной плоскости ..
Да и с узелками непонятки какие то ..
Я с детства увлекаюсь рыбалкой и завязывание различных узлов на линии лески происходит почти автоматом ..
Я к чему клоню .. топология узлов весьма различна , но конечный результат один и тот же - это узел на леске .
Причём исходная топология графа представленная леской или линией может быть весьма разнообразной , хоть восьмёркой , хоть значительно более сложными хитросплетениями ..
Прмер в истории - Гордиев узел ..
Отсюда вопрос - как к этому относится топология ?
Ведь топология узла трёхмерна и поступать с ним как Александр Македонский мне кажется несколько неразумно , могу ошибаться так как за такие открытия нонче дают и Нобелевские премии.. ;)
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Чт апр 28, 2022 8:22 pm

как к этому относится топология ?

Графы, которые нарисованы НА какой-то поверхности (как на материальном носителе информации) "вытащить" в трёхмерное пространство можно только МЫСЛЕННО... А "в натуре" линия (1D) как бы НЕосязаемая, потому что НЕ является материальным объектом.
Например, траектория полёта стрелы (или пули) вполне предсказуема и даже ЗАДАНА "оператором"(стрелком), но никакой линии (следа) в окружающем пространстве она не оставляет. А леска (или нитка) вполне материальный ОБЪЕКТ, имеющий не только длину (1D), но и объёмный вес материи, из которой она состоит!
Насчёт Гордиева узла тоже есть "топологическое объяснение", но в военной мифологии это имеет несколько иной СМЫСЛ:
"Большинство древних писателей-историков сообщает, что молодой воин (Александр Македонский) вошёл в древний храм, пригляделся к прославленному узлу и, вместо его распутывания, выхватил меч и рассёк его одним ударом.. Жрецы истолковали это так: «Он завоюет мир! Но мечом, а не дипломатией». Однако, по рассказу Аристобула: «Александру легко удалось разрешить задачу и освободить ярмо, вынув из переднего конца дышла крюк — так называемый „гестор“, которым закрепляется ярёмный ремень»...
В топологии это тоже относится к ЗАЦЕПЛЕНИЮ КОЛЕЦ, но на поверхности 2D такие заузления представляются проекциями, а не реальными 3D-объектами!
На схеме метрополитена все станции отображаются "разноцветными кружочками", но фактически каждая такая станция - это тоже определённая ЧАСТЬ атмосферы (3D), в которой перемещаются пассажиры и поезда "по заданным траекториям (1D)"...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Чт апр 28, 2022 8:40 pm

Варианты зацепления РАЗНЫХ колец посредством "гестора" можно продемонстрировать с помощью фотографии:
Такие "фокусы" часто встречаются в брошюрках "по головоломкам", а так же используются на флоте и даже в различных видах рукоделия (плетение, вязание, шитьё, макраме и тп)...
Вложения
IMG_3642.jpg
IMG_3642.jpg (442.36 КБ) Просмотров: 798
IMG_3640.jpg
IMG_3640.jpg (1.07 МБ) Просмотров: 798
IMG_3638.jpg
IMG_3638.jpg (680.61 КБ) Просмотров: 798
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Пт апр 29, 2022 3:42 pm

Чтобы увидеть траекторию летящей пули порой достаточно воспользоваться трассирующим боезапасом .. ;)
У физиков не такого понятия как невидимость - есть критерий видно это невооружённым глазом или требуется дополнительное устройство для того чтобы увидить .
Но я вас понял и благодарен за обмен мнениями !
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Пт апр 29, 2022 4:27 pm

или требуется дополнительное устройство для того чтобы увидеть .

В начертательной геометрии (так же как и в топологии) невидимые линии можно нарисовать условно - карандашом на бумаге или мелом на доске!
Например, диагонали куба, о которых мы с Вами тоже дискутировали, Stas!
"В натуре" их там нету, но ВЫЧИСЛИТЬ их длину (1D) можно с математической ТОЧНОСТЬЮ!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Пт апр 29, 2022 7:22 pm

У меня инженерное образование и всё чему меня учили это работа с реальностью .

Математические дисциплины носили скорее прикладной характер и предназначены были для решения конкретных задач ..
Отсюда желание восстановить более или менее целостное представление .

Кроме того мне нравилась история .. и вот на старости лет ( чем то же надо занять мозги ) решил заняться историей математики ..
Древние времена ,старинные задачи - что ещё надо человеку чтобы спокойно встретить свою старость ?! . :D
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Сб апр 30, 2022 9:34 am

Древние времена, старинные задачи

А ещё можно коллекционировать всякие вычислительные и измерительные инструменты...
Потому что скоро даже обычные бухгалтерские счёты станут таким же "раритетом", как чугунные "беспроводные" утюги. :o
счёты.jpg
счёты.jpg (109.69 КБ) Просмотров: 792
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Сб апр 30, 2022 10:53 am

решил заняться историей математики

Это тоже занятие интересное и полезное, дружище Stas! И в этом тоже наши интересы как бы пересекаются, потому что мы с Вами ОБЩАЕМСЯ ПИСЬМЕННО, хотя и с использованием современных средств СВЯЗИ (интернет)! У нас на архитектурном факультете кроме Истории КПСС преподавали ещё "Историю Искусств" - начиная с времён "пещерного коммунизма". Потому что в древних пещерах до наших дней хорошо СОХРАНИЛИСЬ рисунки первобытных "учителей", которые передавали свой опыт и знания своим потомкам не только УСТНО (звуками), но и ПИСЬМЕННО (графически).
А в последствии многие из таких наскальных рисунков стали употребляться как некие общепонятные СИГНАТУРЫ (условные знаки), обозначающие конкретные понятия, соответствующие реальной действительности... Но такое соответствие сигнатуры с реальным предметом или явлением чаще всего было САКРАЛЬНЫМ, то есть известным только определённому кругу посвящённых лиц.
Современные учёные (археологи, историки, этнографы и лингвисты) научились ЧИТАТЬ эти древнейшие надписи (криптограммы) и тем самым извлекать из них полезную информацию о происхождении различных народов... Потому что ОКАЗАЛОСЬ, что т.н. "языковые барьеры" между различными этническими группами (социумами) преодолевались благодаря именно ЛОГИЧЕСКОМУ мышлению и пониманию (расшифровке) таких сигнатур (графических символов).
А если приложить такую расшифровку к ГЕО-метрии, то этим как раз и занимается "теория графов", которая является ОСНОВОЙ "неэйлеровой" (доисторической) ТОПО-ЛОГИИ...
В Европе такой наукой (распознавания сигнатур) активно занимались т.н. МАСОНЫ, которые имели наиболее тесные связи меж собой, а так же с высокопоставленными особами феодальной власти. Потому что "феоды" часто меняли свои границы, размеры по площади и владельцев "по Закону", а для этого требовались не только соответствующие инструменты, но и ЗНАНИЯ геометрии...
В этом смысле становится вполне понятным "масонский знак" - циркуль, наугольник (прямой угол) и буква G (седьмая в латинском алфавите)!
Вложения
знак масонов.png
знак масонов.png (40.64 КБ) Просмотров: 792
Последний раз редактировалось Rados Сб апр 30, 2022 1:14 pm, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Сб апр 30, 2022 11:05 am

Сама буква G тоже является НЕзамкнутым графом, то есть имеет ДВЕ конечных точки.
Если оба эконца соединить, то получится окружность О.
А если СДЕЛАТЬ ленту в виде графа G, то получится топологическая загадка типа "мёбиуса"!
Джи-Мёбиус.jpg
Джи-Мёбиус.jpg (29.87 КБ) Просмотров: 792
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Сб апр 30, 2022 4:41 pm

Если только жив я буду то мы и до Мёбиуса доберёмся .. там есть свои нюансы .
Но вы задали мне тему следующего поста , не столь древнего .. хотя возможно и весьма актуального даже в те времена ..
Попробуем организовать математический матч между древними и современными представителями цивилизаций .. ;)
Хотя лучше назвать это диспутом , как это принято в древние века ..
И так анонс следующего поста - “Математика – царица наук, а арифметика – царица математики” (К. Гаусс).
Я уверен будет интересно всем .. :D
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Сб апр 30, 2022 5:13 pm

мы и до Мёбиуса доберёмся

Даже не сомневаюсь! ;)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Пред.След.

Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

cron