Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Пн апр 18, 2022 2:44 pm

Введение .
" Существует легенда, что жители Кенигсберга любили прогуливаться по улицам трех "слившихся" в единое целое средневековых городов: Альштадта, Лебенихта и Кнайпхофа - но терпеть не могли зря топтать свои башмаки. А города эти были соединены между собой семью мостами. И вот будто бы экономные горожане однажды задумались: а можно ли пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к месту, откуда начал прогулку?

Эйлера задача заинтересовала. "Никто еще до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно... Для решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторское искусство", - так писал он своему коллеге, итальянскому математику и инженеру...
Любопытно, что другое решение задачи предложил кайзер Вильгельм. На приёме ему поднесли карту Кёнигсберга и предложили решить загадку семи мостов. Вильгельм не растерялся, а тут же приказал построить восьмой мост. После чего задача стала легкорешаемой.

Третье решение придумали речники. За небольшую плату они предлагают перевезти всех, кому не хватает моста для решения задачки."

Давайте мысленно перенесёмся в те старинные времена ...
Нам пригодиться схема нашего маршрута позаимствованого в интернете ..
7 мостов.JPG
7 мостов.JPG (108.02 КБ) Просмотров: 985

Начнём маршрут с берега реки Перголь ПО Высокому мосту , переходим его и движемся к Медовому , проходим по нему , затем проходим по Потроховому и двигаемся к Зелёному , переходим его и по Лавочкину мосту попадаем на противоположный берег реки .
Не переходя по двум оставшимся мостам спустимся к берегу и для экономии своей обуви прибегнем к помощи речников т.е. подзовём лодочника и попросим отвезти нас к острову Ломзе как можно ближе к Деревянному мосту .
Сойдя на берег тут же перейдём по этому мосту обратно и пройдя по берегу до Кузнечного моста попадём с его помощью на остров Кнайпхоф .
Таким образом мы прошли по всем мостам всего лишь по одному разу и осталось для окончательного решения вернуться к нашему началу маршрута .
Как вы уже догадались нужно спустится к берегу и вновь усевшись в лодку проплыть ПОД Медовым мостом , по которому мы уже проходили , и выйдя на берег с которого мы и начинали наше путешествие замкнуть наш маршрут .

В основе решения этой головоломки лежит хорошо известный в градостроительстве приём , который называется многоуровневая транспортная развязка , в нашем случае судоходная река Перголь и пешеходные мосты .

Если мы теперь наш маршрут переведём в топологический пространственный граф то увидим простую кольцевую структуру не имеющую ни одного пересечения .
Колечко конешно жутко деформировано , но тем не менее.. ;)
Граф рисуется одним росчерком 3-д ручки , а в случае отсутствия столь модного в наше время гаджета , можно прибегнуть к помощи проволоки .

У нашего маршрута есть особенность , мы можем начать движение с любой точки лежащей на пути нашего путешествия и тем не менее всегда заданные условия будут соблюдаться .
Stas
 
Сообщения: 593
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Вт апр 19, 2022 9:45 am

Если мы теперь наш маршрут переведём в топологический пространственный граф

Cекрет этого "фокуса" именно в том, что в ДВУХ-мерной плоскости топографической карты графически отобразить ЗАМКНУТЫЙ путь (path) пешехода БЕЗ пересечения невозможно в принципе. В топологии такой путь называется "уникурсальным графом".
Мосты в данной задачке - это "рёбра графа" = 7 штук, а вершин (точек пересечения рёбер) у этого графа = 4 штуки.
Каждая точка пересечения в топологии имеет т.н. "индекс точки" = число рёбер, которые соединяются в этой точке.
"Связный граф тогда и только тогда уникурсален, когда он содержит не более ДВУХ вершин нечётного индекса" (по Эйлеру). А в "задаче 7 мостов" все четыре вершины имеют н е ч ё т н ы й индекс, поэтому требуемого маршрута НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Кайзер Вильгельм НЕ ЗНАЛ "про эйлерову характеристику графа", поэтому просто ДОБАВИЛ ещё одно "ребро" - мост № 8.

Решение этой же задачи "речниками" - это тоже "ЭЙЛЕРОВА топология", только уже не НА поверхности (в топографической карте 2D), а в ТРЁХ-мерном пространстве, то есть как бы с добавлением ещё одной оси координат! При этом не имеет значения КАК проходит "путь путешествия" - ПОД мостами, либо НАД мостами...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Вт апр 19, 2022 12:32 pm

ПОД мостами, либо НАД мостами...


Топографическая карта - это поверхность 2D, а путь путешественника - это линия 1D.
Если просто отобразить (спроецировать) эту задачку ГРАФИЧЕСКИ, то наглядно видно, что "вершинами" можно считать "пункты пересадки" (4 фиолетовые точки), а "поездками" тогда будут ДВЕ фиолетовые линии + ДВЕ синие линии. Которые "в натуре" (в 3D пространстве) НЕ пересекаются, а на поверхности карты отображаются как ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ линии (сравните со схемой метрополитена)! При этом в топо-ЛОГИИ длина пути как бы "не имеет значения", так как в условиях задачи такого вычисление НЕ ТРЕБУЕТСЯ. Из-за этого топология тоже как бы "не считалась разделом Математики", а в современном понимании - это "НЕ евклидова геометрия", но без ЗНАНИЯ основ топологии в современном градостроительстве обойтись НЕВОЗМОЖНО: "Гладко было на бумаге да забыли про овраги"!
А "на бытовом уровне" аналогичные задачки БОЛЬШИНСТВО граждан решает как бы "интуитивно", а не "графически"...

4 пересадки.jpg
4 пересадки.jpg (114.7 КБ) Просмотров: 978
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Вт апр 19, 2022 1:09 pm

Если судить по последней картинке , вы предлагаете при подходе к Кузнечному мосту поднять лодку на мост и протащить её волоком через него , а после опустить её с моста на воду для продолжения движения ..
Впрочем , если мост понтонный другого решения не предвидится , но у нас то он реальный с довольно большим просветом , всё же река судоходная .
Я думал топология с тех давних пор выросла из двухмерного мира Эйлера и освоила трёхмерный ..
И как же мне относится к высказыванию Листинга ..?
" «Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов — или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин». "
Stas
 
Сообщения: 593
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Вт апр 19, 2022 3:37 pm

или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин». "


Картинка на Вашем мониторе - это именно "пространство 2D", а не трёхемная модель реки, мостов и лодки!
Маршрут ДВИЖЕНИЯ путешественника (траектория) отображается именно ТАК, как написано в условиях этой задачи, только ВОДНЫЕ отрезки пути показаны синими ОТРЕЗКАМИ линий, которые нарисованы пунктиром, а не сплошной линией. Фактически (в пространстве 3D) поверхность моста (и берегов) НЕ лежат в одной плоскости с поверхностью воды, так ведь? Поэтому траектория движения путешественника НЕ ПЕРЕСЕКАЕТ мост сверху, а проходит СНИЗУ, то есть ПОД мостом. В начертательной геометрии такие отрезки называются СКРЕЩИВАЮЩИМСЯ, то есть у них нет ОБЩЕЙ точки пересечения. А фиолетовыми кружочками ПОКАЗАНЫ соединения синих и фиолетовых линий... Эти точки находятся в плоскости воды и расположены на т.н. "береговой линии", то есть ТАМ, где поверхность суши пересекается с поверхностью воды...
Для чего "речники" придумали такое решение этой задачи? Очевидно, чтобы доказать "отстутствие необходимости строить восьмой мост"?!
Но ведь лодка тоже может перемещать пешеходов не ВДОЛЬ реки, а ПОПЕРЁК - с одного берега на другой!
А как решил эту же задачку кайзер Вильгельм, можно тоже ПОКАЗАТЬ графически (см. схему 2D).
Следуя строго по нумерации мостов Вильгельм прошёл по КАЖДОМУ мосту в одном направлении, НЕ ПЕРЕСЕКАЯ собственную траекторию движения, то есть "уникурсально"! Но ему никто не ставил в условиях задачи "вернуться в исходную точку". Поэтому такую "траекторию движения" в топологии называют НЕ ЗАМКНУТЫМ графом. Но такую траекторию тоже МОЖНО нарисовать "одним росчерком" (уникурсальным графом), последовательно соединяя "номера мостов"... А чтобы Вильгельм вернулся обратно на остров, ему опять понадобится лодка, но ПОД мостом проплывать не обязательно!
восьмой мост Кенигсберга.jpg
восьмой мост Кенигсберга.jpg (103.74 КБ) Просмотров: 974
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Вт апр 19, 2022 4:16 pm

Да , решение очевидно и вполне укладывается в топологию Эйлера !
Но Эйлер его найти не смог .. ;)
Я же указал в заголовке , что моё решение лежит в трёхмерном пространстве , шибко уж жалко стало башмаки горожан .. :D
Просто мне в жизни приходилось не один раз заниматся проектированием различных электронных узлов , зачастую жёстко ограниченых в размерах .
Отсюда и желание работать в объёмах , простая разводка проводников на односторонней плате даёт не самые лучшие результаты ..
И всё же удивляет почему эту простую задачу до сих пор провозносят как не имеющую решение .?
Stas
 
Сообщения: 593
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Вт апр 19, 2022 4:17 pm

топология с тех давних пор выросла из двухмерного мира Эйлера и освоила трёхмерный ..

"Двухмерный мир" - это очевидно имеется в виду "ГЕО-метрия Евклида" на плоскости 2D.
Но вообще-то свойствами объёмных фигур (тел) занимался ещё Платон (платоновы тела).
Эйлер "просто догадался", что существует ЗАВИСИМОСТЬ между количеством вершин, рёбер и граней для всех МНОГО-гранников:
В - Р + Г = 2
где В - число вершин многогранника, Р - число рёбер, а Г - число граней!
Куб в топологии называют "гексаэдром", потому что у него 6 граней, а минимальный многогранник - это "тетраэдр" - пирамида у которой все грани и основание являются треугольниками6 4 грани, 4 вершину и 6 рёбер... 4 - 6 + 4 = 2.
У египетских пирамил в основании лежит четырёхугольник, поэтому у них 5 граней, 5 вершин и 8 рёбер (пентаэдр по-гречески).
Но "число Эёлера" тоже равно 5 - 8 + 5 = 2
У октаэдра 8 граней, 6 вершин и 12 рёбер... 6 - 12 + 8 = 2.
...(и тд) ...

То есть, "эйлеровская" топология плоскостей уже давно "подразумевает" наличие 3D-пространства в ГЕО-метрии... А геометрия Пуанкаре - Лобачевского - Минковского - Александрова - Перельмана уже СФЕРИЧЕСКАЯ... Совсем "другая метрика" у Римана, но там рассматриваются "винтовые поверхности", которые не являются ЗАМКНУТЫМИ... Сферическая система координат не явялется "декартовой", но тоже уже используется в современной науке - кибернетике... А "теория графов" - даже в т. н. "сетевом маркетинге"...
Последний раз редактировалось Rados Вт апр 19, 2022 4:56 pm, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Вт апр 19, 2022 4:26 pm

до сих пор превозносят как не имеющую решение .?

Такие задачи имеют МНОЖЕСТВО решений именно в "ТРЁХмерном отображении", но ИЗОБРАЗИТЬ 3D-сферу не мог даже Анри Пуанкаре! У него просто компьютера НЕ БЫЛО... А кайзер Вильгельм просто ДОБАВИЛ ещё один мост... Но для этого тоже надо было определить его МЕСТО на карте, то есть решить топо-ГРАФИЧЕСКУЮ "задачу в 2D" (на поверхности двух-мерной карты)...
Если БЫ вода в реке замёрзла, то путешественники могли бы ходить "по воде аки по суху" - без мостов и лодок! Когда Иисус Христос пытался "объяснить" такое явление древним евреям, то они ему просто НЕ ПОВЕРИЛИ, а проверить "чисто физически" тоже не смогли! :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Вт апр 19, 2022 5:28 pm

А для желающих совершить то же путешествие проходя только по земной поверхности можно порекомендовать взять на прокат лёгкий водолазный скафандр ..
Это несомненно повысит уровень эмоций ! :D
Река замерзает , я видел фото в инете .. ;)
Stas
 
Сообщения: 593
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Вт апр 19, 2022 7:21 pm

Река замерзает

Если вместо "нулевого моста" насыпать ДАМБУ, то воды под мостами вообще НЕ БУДЕТ!
Топо-логически можно назвать поверхность каждого моста ВЫПУКЛОЙ, а поверхность дна реки - немного наоборот - ВОГНУТОЙ...
Но НА КАРТЕ (2D) это никак не обозначено графически...

А в Петрограде-городе мосты РАЗВОДЯТСЯ, чтобы корабли могли проходить "взад-вперёд", не ломая мачту или мост! :o
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Вт апр 19, 2022 7:31 pm

На схеме метро тоже есть ЗАМКНУТЫЕ линии , которые образуют "контур", а есть и НЕ замкнутые (тупиковые), но там поезда тоже как-то разворачиваются и едут в обратную сторону ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО, не встречаясь с другими поездами...
А в Германии, например, метро называют не "подземка", а просто U-Ban.

метрО.gif
метрО.gif (292.35 КБ) Просмотров: 971
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Вт апр 19, 2022 11:56 pm

Разводным был Высокий мост в Кенисберге .

Состав в метро не разворачивается , машинисты просто переходят из одного концевого вагона в противоположный .
И там и там есть кабины управления , а путь состава по направлению движения задаётся стрелками при выходе из тупика .

Мне эта схема метро ещё долго снилась после 90 годов , при работе в коммерческой структуре ... :|
Накатался с лихвой , порой месяцами не вылазил из столицы .
Интересно отражает ли эта схема разноуровнесть строения линий метрополитена .. порой состав идёт по поверхности земли и по мостам через Москву реку .
Stas
 
Сообщения: 593
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Ср апр 20, 2022 8:33 am

порой состав идёт по поверхности земли

В США порой состав идёт даже НАД поверхностью Земли (т.н. "Хайвэй"), но всегда строго по проложенному пути (по рельсам)!
Но это "в натуре" (то есть, в 3D-пространстве)! ... А на схеме (в 2D) вся эта "галиматья" называется ПРОЕКЦИЕЙ на горизональную плоскость координат ХУ.
Мы с Вами, дружище Stas, уже здесь аналогичные задачки рассматривали, например "про диагонали куба" (которых в натуре НЕ СУЩЕСТВУЕТ)...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Ср апр 20, 2022 11:03 am

машинисты просто переходят из одного концевого вагона в противоположный

Так обычно курсируют электрички от московский вокзалов - ""задом наперёд".
А на всех станциях метро поезда движутся одновременно в ДВУХ направлениях, но по РАЗНЫМ путям.
Значит, на другой путь (в обратном напралении) переходит не только машинист, но и весь состав поезда..

Если вернуться к условиям "задачи про Кенигсбергские мосты", то наш уважаемый Вильгельм прошёл все мосты только по одному разу в одном направлении (туда), но обратно в начальный пункт путешествия не попал. Потому что такой маршрут (уникурсальный граф на схеме) получился НЕзамкнутым...
Но тогда МЫ ему посоветуем пересесть на острове Ломзе на воздушный шар и перелеть на остров Кнайпхоф по воздуху, чтобы не строить дополнительный девятый мост!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Ср апр 20, 2022 11:34 am

Если организовать такой "воздушный мост" (синяя линия на схеме), то тогда маршрут путешествия по мостам Кенигсберга будет ЗАМКНУТЫМ уникурсальным графом. При этом путешественников "в натуре" может быть "неопределённое множество", а перемещаться в 3D-пространстве они смогут даже в обе стороны (туда и обратно). И тогда надо будет РАССЧИТАТЬ количество пассажиров, которых за один раз может "принять на борт" воздушный шар или паром, который можно соорудить вместо "нулевого моста".
На схеме-то, конечно, синия линия как бы ПЕРЕСЕКАЕТ другие линии, потому что эта схема ДВУхмерная (2D), но представить себе "как это будет в натуре" (в 3D) не так уж и сложно!
То есть, такая 3D-топология вполне может применяться не только в градостроительной практике, но и в "логистике туризма" - для рассчёта т.н. "пассажиропотоков"!

обратно по воздуху.jpg
обратно по воздуху.jpg (110.01 КБ) Просмотров: 953
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Ср апр 20, 2022 4:04 pm

Я прагматик . :)
Довольствуюсь тем что есть - река , мосты , лодка . Лодку в моём случае можно вычеркнуть , я неплохо плаваю .
«Не следует множить сущее без необходимости»

А вот со схемой метро есть нюанс - линии достаточно широки и можно предположить какая ветка метро проложена выше другой , да и переходы с ветки на ветку выделены ..
Отсюда и вопрос ..

А составы и управление как электричками так и в метро действительно одинаковы - это факт проверенный . В московском метрополитене разумеется ..
Stas
 
Сообщения: 593
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Ср апр 20, 2022 7:49 pm

составы и управление как электричками так и в метро действительно одинаковы

С топологической кочки зрения - это совсем разные графы. Наиболее показательным этом смысле является КОЛЬЦЕВАЯ ЛИНИЯ. Все станции на ней тоже расположены ПОД землёй, а пассажиры путешествуют в ДВУХ направлениях - по часовой стрелке и против часовой стрелки, так ведь? Я сейчас не помню какая из них конкретно проходит по внешней окружности, а какая по внутренней, но это не важно!
Главное, что каждая из них представляет собой тоже не ОДНУ линию (1D), а состоит из двух параллельных рельсов...
А диагональные и хордовые линии с этими рельсами тоже НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, потому что они находятся в 3D-пространстве, хотя на схеме (в 2D) нарисованы в одной плоскости...
Если каждую станцию графически обозначить "кубиком", а весь поезд "параллелепипедом", то такой 3D-путь (маршрут движения) можно показать УСЛОВНО как замкнутый граф с самопересечением - "восьмёрку"...
10 кубиков.gif
10 кубиков.gif (396.59 КБ) Просмотров: 942
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Чт апр 21, 2022 10:29 am

У меня старший сын учился в железнодорожном .. я как то помогал ему делать курсовую по устройству московского метро ..
В Москве с литературой по этой теме было в те давние времена значительно лучше чем в нашем захолустье.. :roll:

Но я не об этом ..
Возьмём к примеру фрагмент нашей схемы семи мостов ..
Кузнечный мост.JPG
Кузнечный мост.JPG (14.5 КБ) Просмотров: 937

Если не отвлекаться на размеры реки и моста , можно сказать что мы имеем пересечение двух линий - голубой и жёлтой , но жёлтая проходит поверх голубой .
Почему у нас складывается такое впечатление - оттого что часть голубой линии скрывается жёлтой линией в месте их пересечения .
Такая же картина наблюдается и на схеме метро , отсюда и вопрос ..

У нас цветовая маркировка в институте была частью начертательной геометрии . Выполненные чертежи - завораживали своим многоцветьем . ;)
На практике довольно широко применяется в связи как в реальности , так и в чертежах ..
Stas
 
Сообщения: 593
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Rados » Чт апр 21, 2022 6:31 pm

так и в чертежах

В топологии ЦВЕТ имеет НЕ первостепенное значение, Stas!
Дело в том, что "отрезок реки" и "отрезок моста" на схеме НАРИСОВАНЫ в масштабе и имеют какую-то ШИРИНУ. А фактически (то есть, геометрически) это НЕ линии (1D), а части поверхности (2D), закрашеные РАЗНЫМ цветом (куски полосок). Но река ПОД мостом расположена "в другом слое", который ПЕРЕКРЫВАЕТСЯ слоем жёлтого цвета...
А это уже НЕ "чертёж", а как бы условное отображение (проекция) того факта, что река протекает ПОД мостом, а не НАД мостом.
Если БЫ мост был прозрачным (стеклянным?), то наглядно было бы ВИДНО, что этот отрезок реки НЕПРЕРЫВНЫЙ, но поверхность моста и поверхность реки НЕ пересекаются! Так же и берега этой реки - между собой (на данном участке схемы) НЕ пересекаются.
В тоже время поверхность моста (2D) и поверхность суши (2D) между собой явно соединяются, хотя (условно на схеме) разграничены ЦВЕТОМ (мост - жёлтый, а суша - белая)...

Сравните такой же приём отображения ТРЁХ-мерной реальности с акварельными работами пейзажистов!
В акварелях один слой НАКЛАДЫВАЕТСЯ на другой слой, а белый фон (чистый лист) остаётся незакрашенным либо "просвечивается" через слой краски.
В компьютерной 2D-графике это так и называется - "работа со слоями", но фактически никакой ТОЛЩИНЫ на мониторе компьютера НЕ ОТОБРАЖАЕТСЯ.
В этом мы с Вами уже неоднократно убеждались на задачках "про кубы и пирамиды"...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Семь кенисбергских мостов - неэйлерова топология .

Сообщение Stas » Пт апр 22, 2022 2:08 am

И как же мне относится к высказыванию Листинга ..?
" «Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов — или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин». " ....

Я использовал то представление начертательной геометрии которую мне преподавали в институте .. я об этом сказал в комментарии .
На мой взгляд сказанное Листингом можно отнести и к ней , за исключением отношений мер и величин .

Так как учился я весьма давно и несомненно наука в том числе и математическая ушла уже очень далёка .. Увы .
Stas
 
Сообщения: 593
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

След.

Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

cron