Пирамида в кубе

[Rados]

Вершина пирамиды находится точно в центре куба со стороной = а.
Основанием пирамиды является одна из граней этого куба (любая).
Требуется доказать "чисто математически", что в объём данного куба вмещается ровно ШЕСТЬ таких пирамидок.

Пирамида в кубе.jpg (85 КБ) Просмотров: 1102

[Stas]

V = [tex]\frac{1}{3} a^{2 }[/tex] * h где h=[tex]\frac{1}{2}[/tex] a

Следовательно объём пирамиды в данной задачи будет ровно в 6 раз меньше объёма куба , откуда следует что помещается их ровно 6 .

[Rados]

А если как-нибудь по-другому эти пирамидки СОСТАВИТЬ?
Например, четыре штуки на одной плоскости (вершиной 0 кверху), а пятую поставить на них сверху...
Тогда КУДА девать ещё одну пирамидку?!

[Stas]

Условия неоднозначны .. есть различные варианты ..
Уточните какой вариант вы предлагаете рассмотреть ..

[Rados]

Вариант вот такой:
Основание Пирамиды = 2а, высота = а.
Составлена из ПЯТИ малых пирамидок, каждая из которых имеет ОБЪЁМ = ? (который МЫ уже вычислили по формуле).
Требуется посчитать КОЛИЧЕСТВО дополнительных пирамидок, которыми можно заполнить свободное (пустое?) пространство(3D) в Большой Пирамиде.

пять пирамид.jpg (95.71 КБ) Просмотров: 1094

[Stas]

Тест на то как встретили праздники ?
Если шестая пирамидка имеет форму как все остальные , то её можно вставить внутрь - вершиной вниз и она будет одна ..
Для того чтобы заполнить все пустоты понадобится добавлять пирамидки других форм ...
Вроде так ..

[Rados]

Это не "тест", Stas!
Со-ОТНОШЕНИЕ объёмов можно считать НЕ пирамидками или кубиками, а "просто ЧИСЛАМИ" (штуками или разами)...
Объём Большой Пирамиды = 4/3[tex]а^{3 }[/tex], а маленькой пирамидки = 1/6[tex]а^{3 }[/tex].
4/3[tex]а^{3 }[/tex] : 1/6[tex]а^{3 }[/tex] = 8 (шт.)
А на картинке их всего ПЯТЬ!
Значит, не хватает ещё ТРЁХ таких же пирамидок...
Шестая "у нас уже ЕСТЬ", а ещё ДВЕ других придётся распилить пополам и вставить "куда надо"...
Получится ШЕСТЬ ЦЕЛЫХ пирамидок плюс ещё ЧЕТЫРЕ половинки от пирамидки:
6 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 8

[Stas]

Да уж ..
Образность у меня ещё осталась , но точность точно пострадала ..

[Rados]

Вообще-то это даже НЕ алгебра, а "начертательная ГЕО-метрия"...
Просто МЫФСЕ (которые инженеры) привыкли воспринимать детали и механизм (как систему этих деталей) в виде ЧЕРТЕЖЕЙ в трёх проекциях (план, фасад, вид сбоку)... Хотя и РАЗРЕЗЫ тоже умели рисовать (на бумаге). А от архитекторов ТРЕБОВАЛОСЬ ещё умение "рисовать изометрию и даже перспективу" - "чтобы красиво"! И обычно все студенты (и даже аспиранты) не обращают внимание на "толщину линий", а т.н. "вспомогательные" линии просто удаляют ластиком.
А на компьютерах в настоящее ВРЕМЯ такие построения делаются и точнее и намного быстрей...
При этом аксиомы Евклида тоже Никто не отменяет!
Только многие НЕматематики так и считают, что "в кубе" бывают только кубические кубики, а "в квадрате" - только квадратные квадратики...
Когда "кто-то" ГОВОРИТ, что сфера - это такая ПОВЕРХНОСТЬ (2D), у которой тоже есть "квадратные сантиметры", то это как бы "Любому Дураку понятно"!
А как СФЕРА может быть ТРЁХ-мерной, если это НЕ ШАР(3D), но тоже определённый ОБЪЁМ пространства, измеряемый "кубическими метрами"?!!!

Опять какая-то "буржуазная" термино-ЛОГИЯ... панимаш ...

[Rados]

Если ВНИМАТЕЛЬНО посмотреть на "чертёж Большой Пирамиды", то две из них явно имеют "прозрачную" поверхность (2D).
Но ведь они ВНУТРИ тоже ПУСТЫЕ?!!
А МЫ считаем эту "пустоту" тоже КУБИЧЕСКИМИИ пирамидками...

[Stas]

Понимаю .. внутренний объём помещения это не тоже самое , что объём здания..
Так же как диаметр цилиндра это не тоже самое , что диаметр отверстия ..

Штакатуру-маляру плевать на объём помещения - его работа оценивается по площади работ внутри него за минусом оконных и дверных проёмов ..
Причём объём работ внутри здания и снаружи может весьма существенно различаться - реалии строительства , однако ..

[Rados]

плевать на объём помещения

Плевать вообще-то некультурно, тем более НА ОБЪЁМ помещения.
Тем более, что плевок физически всё-равно окажется НА ПОВЕРХНОСТИ - либо на полу, либо на стене.
"В принципе" есть ещё вариант - плевать в потолок, но за такую "работу" никто денег платить не станет!

А если серьёзно, то опять же здесь приходится ИМЕТЬ В ВИДУ, что поверхность (2D) может быть либо плоской, либо выпуклой, либо вогнутой!
Геометрия Евклида аксиоматически (и графически) строится именно на ПЛОСКОЙ поверхности, например, МЕЛОМ на школьной доске - как в "задаче Мишустина Савватею". При этом ни у кого из "наблюдателей" не возникает вопроса (?) "о толщине поверхности доски", а так же "о физических свойствах поверхности доски и химическом составе мела"... Но непременно возникают сомнения по поводу ТОЧНОСТИ расположение линий и точек их пересечения "в окружающем пространстве"...
Конечно, штукатуру-маляру "не положено" составлять СМЕТУ на ремонт и окраску фасадов, однако любой прораб или даже бригадир должен хорошо ЗНАТЬ - СКОЛЬКО и каких материалов, инструментов, рабочих рук и денег потребуется для получения результата в установленный СРОК (период времени)...А Вышесидящее Начальство не всегда ПРОВЕРЯЕТ эти сметы детально (по каждой отдельной позиции), поэтому чаще всего сумма "итого" НЕ СОВПАДАЕТ с фактическим ОБЪЁМОМ РАБОТ. То есть, образуется некая РАЗНИЦА (в руб. и коп.) - либо со знаком (+), либо со знаком (-).
Но это уже как бы "другая сфера деятельности" - ЭКОномика, а не ГЕО-метрия.
В декартовой СИСТЕМЕ КООРДИНАТ поверхность (2D) никакой "толщины плоскости" НЕ ИМЕЕТ по определению, а измеряется только "квадратными" ед. изм. [tex]1^{2 }[/tex], а не кубиками, пирамидками, шарами или рублями...

А вот СКОРОСТЬ СВЕТА в формуле Эйнштейна тоже почему-то указана как "цэ в квадрате"!
КТО этот "парадокс" сможет объяснить простым инженерам: математики, физики или экономисты?!

[Rados]

реалии строительства , однако ..

Я вот тоже вспомнил такую же "экономическую шутку" про ремонт фасадов - из СВОЕЙ практической деятельности (в молодости и в стране советов).
Будучи ещё студентами мы с друзьями организовали бригаду по ремонту фасадов с подвесных люлек. А сметами занимался тоже наш знакомый прораб, который принимал выполненный ОБЪЁМ работ и подписывал соответствующие "бумаги по зарплате" (наряды). И мы ему как-то раз приписали в нарядах такую строчку:
"Закат солнца вручную":
Ед. изм. - дн.
Кол-во - 22.
Цена за ед. - 00 руб. оо коп.
Стоимость работ - 00 руб. оо коп.
И наш доблестный прораб эту приписку НЕ ЗАМЕТИЛ, потому что сумма "итого" по зарплате не изменилась...
Но потом кто-то из бухгалтеров заинтересовался - ОТКУДА взялась такая "расценка с нулевой стоимостью"?
Да тоже ОТТУДА - "БОГ ДАЛ"...

[Stas]

Ну .. про закат солнца вручную - эту задачу давно решили в армиии , копаете от обеда и до заката- ума палата ужина не требует ..

Закрывает наряды мастер , а не прораб и уж тем более не бригадир , если это не так значит мастер в отпуске ..
Прораб контролирует объёмы сметы , бухгалтер выход за пределы запланированной сметы ..

Как инженер я обязан владеть двумя диалектоми русского языка- литературным и народным - это помогает в общение с элитой общества и народом , хотя бы в переводе чего желают те и эти ..
Кстати , экономика это дитё математики - и то и это абстрактны ..

Почему [tex]С^{2 }[/tex] нужно спросить у жены Энштейна , сам он в этом деле похоже не очень соображает ..
Во всяком случае , по правилам как математики так и физики константу не имеет никакого смысла возводить в квадрат .. я об этом говорил ещё будучи школьником ..
Ну , в те времена не относился я к тем немногим гениям которые понимали этот научный труд , увы ..

[Rados]

Почему "це в квадрате" нужно спросить у жены Энштейна

Ну воот!
Почему "пирамида В КУБЕ" уже как бы Любому ... понятно.
А про ускорение "в секунду за секунду" - это ВАМНЕКНАМ?!!
Секунду ведь тоже НИКТО нарисовать не сможет!

[Stas]

Есть много приборов которые отрисовывают временную шкалу ..
К примеру , у медиков - кардиограф , у геологов - сейсмограф , у физиков .. и т. д.
Было бы желание ..

[Rados]

Было бы желание ..

Шкала - это понятие ЛИНЕЙНОЕ, так ведь?! Поэтому никто даже не задумывается "о толщине (или ширине?) градусов на шкале".
А вопрос был "про секунды В КВАДРАТЕ" - в формуле ускорения:
а = S/[tex]t^{2 }[/tex], где S - длина пути в метрах, t - время "в КВАДРАТНЫХ секундах".
Осцилограф - он же САМ вообще не понимает "о чём речь", а многие из некоторых НЕматематиков тоже интересуются:
"Что это за КВАДРАТНЫЕ секунды" и как их отобразить графически?
А ГЕО-метрия на такие "вопросы" отвечать вообще ОТКАЗЫВАЕТСЯ!

[Stas]

Это всего лишь изменение скорости во времени .. больше или меньше она стала за какой то промежуток времени ..
Геометрически это отображается векторами ..

[Stas]

Шкалы бывают не только линейные , а вот временные процессы которые на ней отображаются имеют , к примеру , амплитуду или частоту ..

При построении графиков по точкам часто результатирующая линия имеет вид прямой , которая определяет усреднённое значение , но ведь точное значение имеет отклонение от этой прямой ..
Если это имеет важное значение , то значение этих отклонений от среднего указываются построением дополнительных линий ..
Хотя , на мой взгляд конечно , можно было бы построить линию той или иной ширины , включающую все возможные отклонения ..

Линии разной ширины используются в картографии и эта ширина помогает нам без лишней сложности получить дополнительную информацию ..

[Rados]

Линии разной ширины

Если "принять соглашение о ширине линии", то тогда её надо называть не "линией (1D)", а ПОЛОСОЙ или лентой!
А в ТРЁХмерном пространстве такая лента(2D) может быть даже ОДНОСТОРОННЕЙ и "без толщины" - как "Лента Мёбиуса", например...
У такого "математического объекта" тоже ПЛОЩАДЬ есть (как произведение длины на ширину), а ОБЪЁМА (увы!) НЕТУ!
Площадь ленты тоже измеряется в "квадратных" ед. изм = [tex]1^{2 }[/tex].
Так что "не думай о секундах свысока"... Потому что ИХ множество, но "физически" НЕ СУЩЕСТВУЮЩЕЕ множество (пустое по отношению к пространству)...
Это тоже такое "абстрактно-математическое" понятие, а не "физический объект"...