Математический форум

Возможно ли построение квадрата со стороной равной [tex]\pi[/tex] .
Набор инструментов неограничен.

Если в условиях задачи ДОПУСКАЕТСЯ замена прямых отрезков (сторон правильного 4-угольника) на 4 дуги длиной [tex]\pi[/tex],
то тогда эта задачка похожа на ОБРАТНУЮ задачку "сделать квадратуру круга" циркулем и линейкой.
То есть, ВМЕСТО периметра из четырёх равных прямых отрезков представить фигуру из 4 дуг длиной равных "числу ПИ", но при этом ПЛОЩАДЬ такой криволинейной фигуры должна быть равной площади исходного квадрата?
Если такая "замена переменной" допускается, то РЕШЕНИЕ УЖЕ ЕСТЬ...

Похоже первое решение уже предложили .. я его засчитываю ..

Но хотелось бы узнать возможно ли это для более привычного нашему уху квадрата сторонами которого являются отрезки прямых ..

Исходя из заголовка я предлагаю участникам форума дискуссионную тему , где каждый волен высказать своё мнение ..

Надеюсь в ваш перечень инструментов входит такой инструмент как элементарная логика ..

Предлагается найти не решение задачи , а дать аргументированный ответ на заданный вопрос ..

Считайте что этот вопрос из раздела - инженеры шутят ..

для более привычного нашему уху квадрата

Построить такой "квадрат" ГРАФИЧЕСКИ очень просто - это есть "привычный нашему глазу" ЧЕТЫРЁХ-угольник, сумма углов у которого равна 360 градусов, все стороны РАВНЫ по длине, а противоположные стороны взаимно ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.
С топологической кочки зрения ВСЕ такие 4-угольники "гомеоморфны окружности 1D" (но не кругу 2D).
НО!!!
Площадь квадрата(2D) можно поделить на ДВЕ равные части , каждая из которых уже не будет "выглядеть привычным квадратом".
И площадь круга (2D) тоже можно поделить на ДВЕ равные части, но в любом случае эти части будут всегда выглядеть ОДИНАКОВО - как ПОЛУ-КРУГ.
А если мы "имеем в виду" периметр квадрата как сумму всех его сторон, то тогда "число [tex]\pi[/tex]" придётся просто ЗАМЕРИТЬ на "линии с делениями", то есть, на числовой оси X.
А это противоречит условиям задачи, так как линейка ДОЛЖНА БЫТЬ "без делений".
Например, если Я просто нарисую "привычный нашему глазу" КВАДРАТ и обозначу ДЛИНУ каждой его стороны "числом [tex]\pi[/tex]", то периметр такого квадрата будет равен 4[tex]\pi[/tex], а длина диагоналей = [tex]\pi[/tex] х [tex]\sqrt{2}[/tex].

Но такое "доказательство" НИКТО всерьёз даже принимать не станет...

А если всё-таки ДОПУСТИТЬ замену прямых отрезков на дуги с ОДИНАКОВОЙ кривизной?!
Тогда решение будет СООТВЕСТВОВАТЬ обратной задаче "квадратуры круга", то есть криволинейный четырёхугольник по площади будет РАВЕН исходному квадрату с заданной длиной стороны.
Для гостей Форума задача УСЛОЖНЯЕТСЯ, поэтому я готов УДВОИТЬ ставку до 400 рублей!

Хотелось хотя одним глазком глянуть на линейку где есть число [tex]\pi[/tex] отмеченное с точностью которую уже насчитали японские математики ..
Тем не менее в условии сказано - набор инструментов не ограничен ..

Я не против публикации вашего решения ..

Мне нужно чтобы построили логическую цепочку рассуждений и дали аргументированный ответ на вопрос ..

Если что , то моё мнение - да такой квадрат построить можно и даже с позиций " чистой математики " , но остальным надо потвердить или опровергнуть моё заключение ..

где есть число [tex]\pi[/tex] отмеченное с точностью, которую уже насчитали японские математики ..

Вопрос тоже довольно АКТУАЛЬНЫЙ!
Во-первых, СЧИТАЛИ не японские математики, а какая-то SUPER-ЭВМ (машина Тьюринга?). Причём это "число" машина представляет как ДЕСЯТИЧНУЮ дробь, а в результате получается БЕСКОНЕЧНОЕ дробление "линейки", то есть, ПРЯМОЙ линии на равные части, кратные 10. Такой же "результат" получается при вычислении [tex]\sqrt{2}[/tex] - тоже в переводе на ДЕСЯТИЧНУЮ дробь.
Во-вторых, вопрос "ГДЕ" - это совсем "из другой оперы", которая в математике называется ТОПО-логией. Но в Википедии "число [tex]\pi[/tex]" тоже можно НАЙТИ на числовой оси, на которой "кто-то" РАЗМОТАЛ линию окружности на заранее размеченной "линейке".

Поэтому "квадратура" - это НЕ линия, а именно ПЛОЩАДЬ (2D), которую МЫ "привыкли слушать ушами" именно в "квадратных" единицах измерения.
Но ведь КРУГ "на равные квадратики НЕ ДЕЛИТСЯ" - об этом знали даже "древние землемеры", поэтому даже обычные лепёшки делили не на "квадратики", а на СЕКТОРА. "Половину пополам" - получаем четверть лепёшки с прямыми углами. Если их сложить немного ПО-ДРУГОМУ, то получится "квадратная лепёшка"... у которой не хватает ещё 4 частей, называемых в ГЕО-метрии СЕГМЕНТАМИ КРУГА.
Если Я их добавлю, то 400 рублей снова останутся у меня в кармане!
Схему публикую БЕЗ КОММЕНТАРИЕВ, думаю, что для ДИЗАЙНЕРОВ такая "перестановка частей" (комбинаторика) вполне ПОНЯТНА и логична!
Если "кто-то" сможет ОПРОВЕРГНУТЬ такое решение - пусть предложит ДРУГОЙ вариант!

ДА...
Сначала, действительно, НАДО БЫЛО эту задачку решать именно "с помощью циркуля и линейки", используя свойства ДИА-гоналей квадрата и ДИА-метров круга! Поэтому дополнительно публикую оригинал (фото) этого чертежа, выполненного именно "циркулем и линейкой без делений":

На фото тоже ВИДНО, что площадь "криволинейного четырёхугольника" АВСD равна площади прямоугольного квадрата АВСD...
"С точностью до деформации" (как говорил Г. Перельман)...
При этом все ТОПОЛО-логические свойства этой фигуры ГОМЕОМОРФНЫ квадрату и кругу, что тоже можно ДОКАЗАТЬ математически!

Набор инструментов неограничен .

Компьютер - это тоже отличный инструмент для составление дизайнерских композиций из ЧАСТЕЙ квадрата и круга!
МОДУЛЬНЫЙ ПРИНЦИП : "скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... скопировал - вставил ... повернул ... " ... ... (ну и тд)...

Рисовать "циркулем и линейкой" такие узоры - занятие тоже ИНТЕРЕСНОЕ ... но нудное.
Зато полезное ... ... когда больше НЕЧЕМ заняться

Оно ещё более полезно когда доступа к комьютеру не имеешь ..

Есть такое понятие у философов - носит название "бритва Оккама" .
" Альберт Эйнштейн так сформулировал принцип бритвы Оккама: «Всё следует упрощать до тех пор, пока это возможно, но не более того»."

Лично мне понравился как ход ваших рассуждений так и построения сделанные вами..

Однако в вопросе который задал я все элементы аргументации уже давно решены , их просто нужно скомпоновать для ответа .
Образно говоря нужно сложить пазлы чтобы получить законченую картинку ..

Следуя совету Альберта Эйнштейна, "число [tex]\pi[/tex]" необходимо и ДОСТАТОЧНО знать как соотношение 22/7 - без перевода этой ДРОБИ в десятичную систему счисления. Из этого следует, что [tex]\pi[/tex] НЕ МОЖЕТ БЫТЬ указано как линейный РАЗМЕР, потому что у него НЕТ "единиц измерения".
Просто для решения таких задач конструктор (проектировщик или дизайнер) должен ОПРЕДЕЛИТЬСЯ с основными модулями проектируемого ОБЪЕКТА (из чего он состоит)...
А выполнить ГРАФИЧЕСКИ построение криволинейной фигуры, РАВНОЙ по площади стандартному "квадрату" - НЕ ПРОБЛЕМА!
Проблема - ДОКАЗАТЬ "нематематикам", что это ВОЗМОЖНО не только теоретически, но и ПРАКТИЧЕСКИ ... ... "с точностью до деформации"!

у него НЕТ "единиц измерения"

"Какой МЕРОЙ измеряете - такой результат и получите" (библейская истина, между прочим)...
Многие из некоторых "НЕматематиков" уже просто привыкли воспринимать (на слух?) "квадратные" метры именно как "радиусы в квадрате", а не в КРУГЕ.
Об этом мы здесь уже тоже "дискутировали".
Термин "в кубе" подразумевает измерение ОБЪЁМА(3D), то есть [tex]R^{3 }[/tex] - это не "кубический радиус", а ТРЕТЬЯ степень линейного размера.
А термин "в квадрате" подразумевает измерение ПЛОЩАДИ (2D), то есть [tex]R^{2 }[/tex] - это не "квадратный радиус", а ВТОРАЯ степень линейного размера. Обозначать линейный размер (длину, ширину или высоту) как [tex]R^{1 }[/tex] как "эР в первой степени" просто НЕ ПРИНЯТО, но это вовсе не означает, что R "в никакой степени" не имеет никаких единиц измерения.
Это уже относится к "Теории чисел", а не к пространственным измерениям "в натуре".
"Двадцать два локтя по кругу соответствуют семи локтям по диаметру" = 22/7, а "локти" в числителе и знаменателе просто СОКРАЩАЮТСЯ.
Вместо "локтей" можно принять за "модуль" (единицу длины) микроны, миллиметры, метры, километры, астрономические единицы ... и даже (не побоюсь этого слова) - ФУТЫ или дюймы!

" Из этого следует, что \displaystyle \piπ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ указано как линейный РАЗМЕР, потому что у него НЕТ "единиц измерения". "

Я бы не стал горячится , в предыдушем посте вы великолепно строили то что невозможно быть построено ..
В ваших комментариях я вижу что вы нашли все необходимые для ответа пазлы , осталось малое - сложить их ..
Не стоит усложнять простое ..

Не стоит усложнять простое

Согласен...
Можно просто взять ПРОИЗВОЛЬНЫЙ "линейный модуль" как расстояние (1D) МЕЖДУ концом иглы и концом карандаша циркуля и ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО выполнять графические построения в соответствия с условиями задачи...
А компьютер "самостоятельно" такие операции выполнять НЕ СПОСОБЕН, потому что "у него рук нету"...

Вообще-то "некоторые из многих" современных школьников слишком увлекаются всякими "идеями Хай-Тека", упуская из виду совсем элементарные понятия!
А ведь БЕЗ ЧЕРТЕЖА (или простой схемы) сейчас не обходится ни один Потребитель продукции этого "Хай-Тека"!
Поэтому и такие "простые задачки" на "построение круга в квадрате" или наоборот - "квадрата в круге" КАЖУТСЯ им невыполнимыми простыми инструментами - циркулем и линейкой - без "подсказки из Википедии" или других "популярных источников информации".
Использовать ВМЕСТО циркуля шнурок от ботинка - это, конешно, ОРИГИНАЛЬНО и даже "кривативно", но это не есть "проективная геометрия", которая требуется в любом инженерном деле!

Хочу здесь же предложить аналогичную задачку "для Будущих Хай-техников":
Дано:
Лист металла толщиной 10 мм и размером "метр на метр".
Требуется вырезать в нём круглое отверстие такого размера, чтобы оставшаяся часть листа была ВДВОЕ БОЛЬШЕ вырезанной части!
Резать металл "в натуре" будут ДРУГИЕ специалисты, но им НУЖЕН ЧЕРТЁЖ "в произвольном масштабе" с указанием РАЗМЕРОВ этого отверстия!

Ну , не обязательно ручками - можно и " пораскинуть мозгами " желательно своими ..
Меня вполне устроит описание последовательности процессов ..

Как то вы грустно о светлом будущем или предсказание Стива Хокинга вспомнилось ?
Он романтик , а для конца нашей цивилизации достаточно хорошего геомагнитного шторма чтобы мы снова начали с каменного века ..
Возможно так и появляются новые виды обезьян на этой планете ..

Задачу в новую тему !
Желательно только уточнить что подразумевается под словами ВДВОЕ БОЛЬШЕ - площадь , объём или масса .
Ну , инженеры практики они такие зануды ..