Тайна семейства Пи

Тайна семейства Пи

Сообщение Stas » Чт ноя 04, 2021 7:40 am

Как то принято [tex]\pi[/tex] больше связавать с окружностью ..
Но есть семейство которое в своём кругу имеет её полный аналог .
Выглядет он так ..
О-2.jpg
О-2.jpg (20.94 КБ) Просмотров: 1248


Это частный случай эллипса , где при равенстве диаметров замкнутая кривая имеет форму окружности .
Рассчитывается она так l = [tex]\pi[/tex] * D , где D равно полусумме d 1 и d 2 .

Чем отличается одно семейство эллипсов от другого ? Длиной кривой которой опреляется форма эллипса .
Для каждого семейства она имеет одну и ту же величину независимую от форм эллипсов .
Можно назвать это признаком семейства .
К примеру ..
Э-1.jpg
Э-1.jpg (17.42 КБ) Просмотров: 1248


Эллипс приведённый на рисунке имеет длину кривой определяющую его форму такую же , как на рисунке выше при условии , что они являются представителями одного семейства .
Размеры диаметров при этом разные и определяют форму кривой .
Можно назвать их операторами задающими тот или иной вид эллипса .

Так диаметров у эллипса два то соответственно чисел [tex]\pi[/tex] тоже появляется два , по диаметру d 1 и по диаметру d 2.
В этом случае , привычное для нас число [tex]\pi[/tex] будет иметь несколько непривычное определение и будет представлять полуссуму из [tex]\pi[/tex]1 и [tex]\pi[/tex]2 .
Назовём их [tex]\pi[/tex] частными .
На самом деле специально их как то можно не выделять , они имеют свойство определять себя сами .
Если число [tex]\pi[/tex] указано как меньшее по сравнению со стандартным значит оно взято по большему диаметру , если больше стандартного значит взято по меньшему .
А если они равны тому [tex]\pi[/tex] которое мы все привыкли применять , то можно смело утверждать что форма кривой эллипса представлена окружностью .

Как пример применения ..
В предушей теме о вписанном в куб шаре я предложил вписать в куб эллипсод вращения форма которого задана числом [tex]\pi[/tex] = 3 при условии что его длинный диаметр будет равен длине куба .
Легко просчитать что этом случае отношение объёмов куба и " приблизительно имеющего форму шара " будет иметь соотношение равное числу 2 .

Кстати , до появления спутников астрономы делились на две непримеримые группы , те кто считал что Земля вытянута по полюсам и те кто считал что Земля вытянута в зкваториальной плоскости . ;)

Если считать сказанное выше как вводную часть , а так как мы находимся многозадачной среде , то самое время предложить задачу ..

Итак , докажите что окружность и квадрат являются представителями одного семейства ..
Для этого вам надо указать его признак и оператор (ы) дающего нам возможность трансформировать окружность в квадрат или наоборот .
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Rados » Чт ноя 04, 2021 10:03 am

Задачка очень АКТУАЛЬНАЯ!
Очевидно, что "традиционными" методами геометрических построений её решить будет довольно сложно, потому что ПОКАЗАТЬ графически последовательные изменения формы замкнутой линии (что называется ДЕформацией) обычными средствами (циркулем и линейкой?) нас не научили.
Теоретически эллипс и окружность - это топологически ОДНО-мерные инварианты, то есть, имеют только ОДНО измерение - ДЛИНУ (l).
А со-отношение двух диаметров d1/d2 - это величина НЕ одномерная, потому что единицы измерения при этом "взаимно пропорциональны", так как концы диаметров "связаны" с линией эллипса в противоположных точках, а сами диаметры связаны в одной точке, называемой серединой диаметра!
При равенстве диаметров эллипс преобразуется в окружность, а при уменьшении одного из диаметров другой диаметр "автоматически" и пропорционально увеличивается. При этом длина замкнутой кривой линии (эллипса либо окружности) остаётся постоянной, а её кривизна меняется НЕ скачкообразно, а плавно.

В случае преобразования окружности в периметр квадрата диаметры окружности d1= d2 "превращаются" в диагонали квадрата, а длина периметра принимает прямоугольную форму, потому что концы диаметров "связаны" с замкнутой линией периметра и образуют вершины прямоугольника (ромба либо квадрата) с равными сторонами.
Но соотношение РАВНЫХ между собой диагоналей квадрата или диаметров окружности 1d/2d = 2d/1d = 1 остаётся ПОСТОЯННЫМ коэффициентом.
А соотношение ДЛИНЫ замкнутой линии К ДЛИНЕ "среднеарифметической" диагонали будет величиной переменной:
4 > [tex]\pi[/tex] > 3
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Stas » Чт ноя 04, 2021 10:58 am

С определением признака я согласен . Это действительно диагонали , их длина и ориентация действительно постоянны и не зависят от формы замкнутой линии .
Что может являтся оператором позволяющим определять степень трансформации ?
Не стоить вычислять , надо всего лишь указать что задаёт форму ..
Последний раз редактировалось Stas Чт ноя 04, 2021 11:09 am, всего редактировалось 1 раз.
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Stas » Чт ноя 04, 2021 11:00 am

Я не говорил что задача решается при помощи циркуля и линейки ... это поможет ?
Ваш вариант представляет интерес , но в данном случае есть вариант проще ..
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Rados » Чт ноя 04, 2021 11:51 am

Что может являтся оператором позволяющим определять степень трансформации ?

ХОРОШИЙ ВОПРОС...
Во-первых, задданные условия (исходные данные) уже являются "определителями трансформации"!
Длина замкнутой линии - это либо периметр МНОГО-угольника, либо длина окружности или эллипса = l.
В топологии такое "семейство фигур" называется КОНТУРОМ, а все замкнутые линейные контуры - "гомеоморфными".
Во-вторых, длина этой ЭАДАННОЙ линии является ПОСТОЯННОЙ величиной, то есть, МЕРОЙ измерения (модулем) должны быть одинаковые линейные единицы измерения - независимо от их названия: метры, километры, аршины, вёрсты... и даже (не побоюсь этого слова) АСТРОНОМИЧЕСКИЕ единицы.
При этом ЛЮБАЯ такая фигура является "односложно связным компактом", у которого заданная длина контура всегда БОЛЬШЕ любого расстояния между противоположными сторонами. То есть, в нашем случае ни d1 и ни d2 НЕ МОГУТ БЫТЬ "равными нулю", инача со-отношения 1d/2d или 2d/1d просто не имеют смысла.
Но если к многоугольникам применить формулу определения "числа Эйлера", то у квадрата (без диагоналей) тоже получается В-Р+Г = 4 - 4 + 0 = 0.
А у окружности (без диаметров) вообще нет ни одной "вершины", а "ребро" только ОДНО - сама замкнутая линия.

По логике выходит, что "оператором" преобразования ФОРМЫ (трансформации) является КРИВИЗНА замкнутой линии (контура)!
У окружности таким "оператором является ПОСТОЯННАЯ длина радиуса. А у эллипса эта величина является ПЕРЕМЕННОЙ.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Rados » Чт ноя 04, 2021 12:19 pm

в данном случае есть вариант проще

Наверное, именно в ДАННОМ случае мы уже нашли ДВА "экстремальных значения" числа [tex]\pi[/tex].
4 > [tex]\pi[/tex] > 3
Если считать "квадрат" ЧЕТЫРЁХ-угольным контуром, а "треугольник" - ТРЁХ-угольным конутром, то это тоже фигуры "одного семейства" (по Эйлеру).
4-4+0=0
3-3+0=0
... ... ... ...
N - N + 0 = 0 (это многоугольник с бесконечным числом вершин)
0 - 0 + 0 = 0 (а это - геометрическая нульмерная точка).

ГРАФИЧЕСКИ можно преобразовать равносторонний треугольник в эллипс, тогда периметр треугольника будет равен длине контура эллипса = l ,
а каждая из сторон треугольника будет равна l : 3 . Но у треугольников НЕТ ДИАГОНАЛЕЙ ;)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Stas » Чт ноя 04, 2021 1:03 pm

Есть два повода для размышления - это свойство диагоналей и треугольник Рело ..
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Rados » Чт ноя 04, 2021 2:45 pm

Есть два повода для размышления

Тогда опять вернёмся к ПРОИСХОЖДЕНИЮ "терминов и определений", Stas!
[tex]\pi[/tex] - это со-отношение ДВУХ чисел (модулей), то есть именно КО-эффициент, не имеющий определённой ВЕЛИЧИНЫ (реального измерения).
В теории чисел [tex]\pi[/tex] считается "трансцендентным" числом, то есть как бы НЕ ВХОДИТ "в семейство" РАЦИО-нальных чисел.
Франц Рёло, конешно, НЕ математик, но его ЗНАЧИТЕЛЬНЫЙ вклад в ТРЁХ-мерную ГЕО-метрию явно недооценен "теоретиками цифровизации".
А ПОКАЗАТЬ его "изобретения" сейчас можно только с помощью "искусственного интеллекта", а не карандашом на бумаге или мелом на школьной доске.
Аналогично и с измерением т.н. "ТРЁХ-мерной СФЕРЫ", которая как бы НЕ ВПИСЫВАЕТСЯ в традиционную "квадратно-кубическую" систему МЕР и десятичную систему дробных чисел.
ReuleauxTetrahedron_Animation.gif
ReuleauxTetrahedron_Animation.gif (248.74 КБ) Просмотров: 1235

Гриша Перельман "что-то ТАМ доказал математически", но ПОКАЗАТЬ графически это не захотел (или не сумел?)...
Потому что СФЕРА "в традиционном понимании" - это "замкнутая ПОВЕРХНОСТЬ(2D), не имеющая толщины", то есть её собственный ОБЪЁМ(3D) = 0, но площадь такой поверхности(2D) измеряется в "квадратных" единицах измерения, то есть такими же как и площадь треугольников, квадратов и кругов!
Вложения
Dvuug.gif
Dvuug.gif (481.49 КБ) Просмотров: 1235
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Stas » Чт ноя 04, 2021 3:30 pm

Чем треугольник Рело отличается от стандартного треугольника ?
Есть ведь не только такие единицы измерения как длина , широта и высота .. ;)
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Stas » Чт ноя 04, 2021 3:38 pm

" Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке[9]. Тем не менее подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции[10], а также в Мадридском кодексе[9] " Историки они такие .. ;)

Но во всяком случае построить его с помощью одного циркуля не составляет проблем ..
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Stas » Чт ноя 04, 2021 3:56 pm

Вы же меня уже хорошо знаете дружище Rados .. ;)
Я был не я если бы не подложил психологическую , как говорили в моём детстве , подлянку .. ;)
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Сообщение Rados » Чт ноя 04, 2021 4:12 pm

Чем треугольник Рело отличается от стандартного треугольника ?

Тоже "вопрос, конешно, интересный"!
У каждой стороны "НЕстандартного треугольника Рёло" кроме длины есть ещё т.н. "радиус кривизны", который НЕ равен половине диаметра окружности, в которую он вписывается. Но при этом РАВЕН длине стороны "обычного" треугольника, потому что стороны треугольника, ВПИСАННОГО в окружность, являются НЕ диаметрами, а ХОРДАМИ...
Как Франц Рёло "вписал" свой треугольник в периметр квадрата, в "обычной" (средней?) школе тоже не показывали.
Но найти в Интернете такое решение сейчас МОЖНО...

Обычную сферу (2D) тоже можно разделить на ЧЕТЫРЕ (равных по площади) треугольника, но такие треугольники должны быть ВЫПУКЛЫМИ, то есть, НЕплоскими фигурами. Развёртка КУБА получается из 6 одинаковых квадратов, а развёртка СФЕРЫ - из 4 одинаковых треугольников Рёло.
А "по Эйлеру" КУБ является "гексаэдром" (выпуклым шестигранником), а пирамидка является "тетраэдром" (выпуклым четырёхгранником).
Эти фигуры тоже геоморфны - согласно формуле В - Р + Г = 2, но сравнивать их по величине можно только по площади поверхности (2D)
... А в данной задачке мы сравниваем ЛИНЕЙНЫЕ модули - длину контура к диаметру (или к радиусу кривизны).
У эллипса радиус кривизны - величина ПЕРЕМЕННАЯ, а длина "периметра" - ЗАДАННАЯ (постоянная).
Аналогично можно сравнить сумму катетов с постоянной гипотенузой, если взять т.н. "Египетский треугольник" с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5.
Вершиной такого треугольника будет ПРЯМОЙ угол, а длина каждого из катетов будет меняться от 1 до 6, но в сумме всегда составлять 7 единиц.
И тогда вершина этого треугольника "нарисует" на плоскости эллипс, у которого большой диаметр будет равен 7, а малый - немного меньше радиуса окружности, описанной вокруг этого "Египетского треугольника"...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Rados » Чт ноя 04, 2021 4:31 pm

Про Франца Рёло Вы вспомнили очень даже КСТАТИ, Stas!!!

Цитирую по Википедии:
"Внёс значительный вклад в развитие теории машин и механизмов. В монографии «Теоретическая кинематика» (1875) разработал и изложил основные положения структуры и кинематики механизмов. Дал определение машины, сформулировал понятие кинематической пары и построил на его базе учение о механизмах, указал на методы синтеза механизмов. Механизм Рёло определял как замкнутую кинематическую цепь принуждённого движения с одним закреплённым звеном.
Занимался проблемами эстетичности технических объектов, промышленным дизайном. В своих конструкциях придавал большое значение внешним формам машин, за что Рёло при жизни называли «поэтом в технике» (конец цитаты)...

Замкнутая кинематическая цепь в современном "хайтеке" (и в кибернетике) обозначается термином BLOCK-CHAIN (цепочка блоков)...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Stas » Чт ноя 04, 2021 4:48 pm

Уже тепло , особенно кстати упоминание о прямом угле ..
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Rados » Чт ноя 04, 2021 9:19 pm

упоминание о прямом угле

Вот именно - "О ПРЯМОМ"!
Это у него просто НАЗВАНИЕ такое, потому что ДИА-гонали квадрата пересекаются ПОД УГЛОМ = 90 гр. (а не "сто гр." как было НАПИСАНО у нашего боцмана в записной книжке). :lol:
Если вместо "традиционной квадратизации" поверхность разделить треугольниками, то это называется ТРИ-АНГУЛЯЦИЕЙ.
А из 6 равностронних треугольников составляется правильный шестиугольник, но единицы измерения площади всё-равно называются "квадартными" = [tex]1^{2 }[/tex].
Соответственно и "корень из единицы" называется "квадратным", а не "линейным" = [tex]1^{1 }[/tex].

Но давайте тогда ПРЕД-ПОЛОЖИМ, что произведение ДВУх разных со-множителей (например, катет на катет) даёт нам величину ПЛОЩАДИ = 1 кв. м.?!!
Как найти длину каждого из этих РАЗНЫХ сторон ПРЯМО-угольника?!
Могу только "предположить", что это может быть прямоугольник с размерами 577,367 мм х 173, 2 мм = 1 кв.м.
"А кто не верит - пусть проверит" :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Stas » Пт ноя 05, 2021 2:17 am

Помимо линейных есть ещё угловые меры ..
Треугольник Рело имеет сумму углов в 360 градусов , такую же сумму углов имеет квадрат
Если мы мысленно прокрутим процесс трансормирования от квадрата к окружности , то можно будет догадаться что оператором в этом семействе является именно сумма углов .
Она будет меняться от 360 градусов у квадрата до 720 у окружности ..
Именно сумма углов будет указывать однозначно на форму трасформируемого четырёхугольника .
Последний раз редактировалось Stas Пт ноя 05, 2021 2:28 am, всего редактировалось 1 раз.
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: тайна семейства Пи

Сообщение Stas » Пт ноя 05, 2021 2:27 am

Забавный парадокс , окружность представляет угол 360 градусов , а четырёхугольник представленный ею же имеет сумму углов в два раза большую .
Не стоит забывать , что на самом деле мы рассматриваем не окружность , а эллипс имеющий форму окружности .
Окружность это геометрическая фигура гуляющая сама по себе и представляет из себя кривую все точки которой равноудалены от геометрического центра .
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Тайна семейства Пи

Сообщение Rados » Пт ноя 05, 2021 10:09 am

окружность представляет угол 360 градусов

По-моему, как раз именно в этих ЦИФРАХ и кроется "тайна семейства Пи", дружище Stas!
Деление ДЛИНЫ окружности на указаное КОЛИЧЕСТВО ДУГ (360 штук) - это просто такое ПРИНЯТОЕ (заданное кем-то) условие, причём "обязательное" только именно для ПРАВИЛЬНОЙ окружности. А в этой задачке необходимо определить со-отношение ЗАДАННОЙ длины (l) НЕправильной (деформированной) окружности к ДЛИНЕ "среднеквадратичного" диаметра = [tex]\sqrt{d1 х d2}[/tex].
Очевидно, что вместо градусов здесь нужно переходить на РАДИАНЫ, чтобы "в семейных со-отношениях [tex]\pi[/tex]" была одинаковая МЕРА (длина к длине). А так как эллипс тоже является симметричной фигурой, то лучше взять ПОЛОВИНУ его длины, концы которой соединяются с Большим диаметром.
И тогда можно ПОКАЗАТЬ наглядно, что сумма углов у полукруга равна сумме углов в "обычном" треугольнике = 2[tex]\pi[/tex] : 2 = 180 гр.

Кое-какие соображения у меня уже "возбудились", но прежде чем их публиковать, надо бы их ПРОВЕРИТЬ на графических построениях.
Я (к сожалению) не владею навыками компьютерного программирования, но такие графические построения "в движении" (превращение эллипса в окружность и обратно в эллипс) с точностью до деформации можно было БЫ показать в виде файла *gif
Или нарисовать ОТДЕЛЬНЫЕ позиции такого преобразования - как бы "покадрово" - с пояснениями по каждой позиции?
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Тайна семейства Пи

Сообщение Rados » Пт ноя 05, 2021 10:25 am

Ещё цитата из Википедии:
"Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы.
Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан».

Таблица перевода градусов в радианы тоже есть в Википедии:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0 ... 0%B0%D0%BD
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Тайна семейства Пи

Сообщение Stas » Пт ноя 05, 2021 12:11 pm

Мы же рассматриваем не окружность , а зллипс имеющий форму окружности ..
Он вполне полно имеет все признаки квадрата ..
А его диаметры вполне можно рассматривать как диагонали ..
А они имеют свойства делить противополжные углы квадрата строго пополам ..
Гляньте на первый рисунок и посчитайте сумму углов ..

Как вы помните сумма углов в треугольнике Рело тоже не 180 градусов , а 360 ..

Радианы имеют отношение только к окружности , в случае эллипсов расчёт может стать неовравданно сложным , если имеет смысл его делать ..
Stas
 
Сообщения: 586
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

След.

Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

cron