Чему равна площадь белого полукруга?

Re: Чему равна площадь белого полукруга?

Сообщение Rados » Ср окт 27, 2021 9:51 am

такому мячику Таня не обрадуется

Вооот!
Поэтому Таня и плачет... А продвинутые Физики сразу догадались, что Танин мячик - это НЕ шар, и НЕ куб, а именно резиновая "гиперсфера"!
Если БЫ это был резиновый шар, то он бы утонул - тоже по Закону Архимеда: "Если тело, погружённое в жидкость НЕ всплывает на поверхность (2D), ...значит, оно УТОНУЛО!" :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Чему равна площадь белого полукруга?

Сообщение Stas » Ср окт 27, 2021 12:46 pm

:D
Stas
 
Сообщения: 593
Зарегистрирован: Вт июл 28, 2020 2:35 pm

Re: Чему равна площадь белого полукруга?

Сообщение BogdDenis » Ср июл 13, 2022 11:08 pm

По условию задачи катеты треугольника равны 3 и 4, а гипотенуза - 5. Это треугольник соблюдает теорему Пифагора ( сумма квадратов катеты равна квадрату гипотенузы): [tex]3^{2 }[/tex]+[tex]4^{2 }[/tex]=[tex]5^{2 }[/tex]
Но давайте докажем, что теорема Пифагора работает и для треугольника с сторонами 3а, 4а и 5а, где а > 0 и число а [tex]\in[/tex] R. Подставим эти стороны в теорему Пифагора и получаем: [tex](3a)^{2 }[/tex]+[tex](4a)^{2 }[/tex]=[tex](5a)^{2 }[/tex], что потом приводит к этой формуле [tex]3^{2 }[/tex]+[tex]4^{2 }[/tex]=[tex]5^{2 }[/tex]
Можно в равенстве перемножить на a, и формула будет верна.
Это сразу облегчает доказательство, преумножив на [tex]\frac{ \pi }{8}[/tex]. Почему именно на эту дробь? В числителе понятно - это констант для нахождение площади круга, но для чего нужно разделять на 8? дело в том, что 8 = 4 [tex]\cdot[/tex] 2. Двойка нужна, чтобы найти половину круга, а четвёрка - квадрат двойки. Получается, что половина катеты, которые являются диаметрами являются радиусами круга. Это нужно для нахождение площади круга ( S = [tex]\pi R^{2 }[/tex] ). Отсюда мы можем заменить на площадь синих и красных полуокружностей и тогда получим сумма площади синих и красных полукруга равной площади белой полукруга.

А вообще, в любом прямоугольном треугольника сумма площади полукруга с диаметром катеты равна площади полукруга с диаметром гипотенузы. Достаточно взять теорему Пифагора и перемножить на [tex]\frac{ \pi }{8}[/tex]. Это можно сказать вывел ещё одну свойству прямоугольного треугольника.
BogdDenis
 
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Ср июл 13, 2022 10:26 pm

Re: Чему равна площадь белого полукруга?

Сообщение Rados » Чт июл 14, 2022 12:25 pm

Вернёмся к условиям задачки, коллеги!
Там было написано, что чёрный треугольник - именно ЕГИПЕТСКИЙ, а мы уже потом как бы "сами догадались" про со-ОТНОШЕНИЕ сторон этого треугольника! А в теореме Пифагора говорится не о ПОЛУ-окружностях на сторонах треугольника, а о квадратах!
Из школьной ГЕО-метрии мы так и ЗАПОМНИЛИ: "Квадрат гипотенузы равен сууме квадратов катетов", так ведь?!
То есть, т.н. "число [tex]\pi[/tex]" в этой задачке ЗНАТЬ НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО!

Rados писал(а):Кстати, "о терминах и определениях", которые НАДО ЗНАТЬ:
В топологии ПЛОЩАДЬ фигуры - это поверхность (2D), о-граниченая замкнутой линией (1D), которую можно назвать КОНТУРОМ или "границей территории".
Квадрат, круг и треугольник считаются в топологии ГОМЕОМОРФНЫМИ фигурами.

То есть, задачку "про белый полукруг" можно отобразить даже ТРЕУГОЛЬНИКАМИ:
В топо-графии такой метод называется ТРИАНГУЛЯЦИЕЙ.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Чему равна площадь белого полукруга?

Сообщение Rados » Чт июл 14, 2022 12:38 pm

Площадь белого треугольника равна сумме площадей красного и синего треугольников.
Но площадь белого полу-КРУГА не равна площади белого треугольника!
Значит, ДЕЛИТЬ "число [tex]\pi[/tex]" НЕ ИМЕЕТ СМЫСЛА, а равенство фигур по площади НЕ ЗАВИСИТ от формы фигур!
Триколор Пифагора.jpg
Триколор Пифагора.jpg (48.64 КБ) Просмотров: 904
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Чему равна площадь белого полукруга?

Сообщение Rados » Чт июл 14, 2022 12:47 pm

По условию задачи катеты треугольника равны 3 и 4, а гипотенуза - 5

В условиях задачи вообще нет таких "арабских" ЧИСЕЛ: 3...4...5...
Но мы можем сразу "догадаться" (посчитать в уме - без калькулятора), что площадь чёрного треугольника = 6 х [tex]1^{2 }[/tex].
Чему равна площадь красного треугольника нам НЕ ИЗВЕСТНО!
Чему равна площадь синего треугольника нам тоже не известно!
Но в сумме площадь этих ДВУХ треугольников будет равна площади белого треугольника!
Это видно по чертежу даже БЕЗ ВЫЧИСЛЕНИЙ!
Последний раз редактировалось Rados Чт июл 14, 2022 1:14 pm, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Чему равна площадь белого полукруга?

Сообщение Rados » Чт июл 14, 2022 12:53 pm

BogdDenis писал(а):... но для чего нужно разделять на 8? дело в том, что 8 = 4 х 2. Двойка нужна, чтобы найти половину круга, а четвёрка - квадрат двойки. .


Квадрат можно разделить на ДВЕ равные (по площади) части: либо на два прямоугольных треугольника, либо на два прямоугольных четырёхугольника!
Но за единицу измерения ПЛОЩАДЕЙ надо брать одинаковые единицы измерения (модули площади) = [tex]1^{2 }[/tex].
Тогда сделаем ещё один чертёж, чтобы ПОКАЗАТЬ наглядно (графически), что
"Площадь ПЯТИ серых полукругов равна сумме площадей ТРЁХ синих полукругов и ЧЕТЫРЁХ красных полукругов"...
А площадь треугольника АВС равна ШЕСТИ чёрным квадратам.
Арабские цифры нам для этого вообще не понадобились!
Просто потому что чёрный треугольник (в условиях задачи) был назван ЕГИПЕТСКИМ! :lol:
АВС - египетский полуквадрат.jpg
АВС - египетский полуквадрат.jpg (52.2 КБ) Просмотров: 904
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Чему равна площадь белого полукруга?

Сообщение Rados » Чт июл 14, 2022 1:39 pm

Проверим по теореме Пифагора!
Обозначим длину АВ буквой с, длину ВС буквой а, длину АС буквой b.
Тогда получим уравнение:
[tex]a^{2 }[/tex] + [tex]b^{2 }[/tex] = [tex]c^{2 }[/tex]
При этом a/3 = b/4 = c/5 = [tex]1^{1 }[/tex], следовательно:
[tex](a:3)^{2 }[/tex] + [tex](b:4)^{2 }[/tex] = [tex](с:5)^{2 }[/tex]
1/9 + 1/16 - 1/25 = О
Теперь обе части уравнения можно делить (или умножать?) на любое N > 0
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Чему равна площадь белого полукруга?

Сообщение Rados » Чт июл 14, 2022 5:55 pm

Вот ещё картинка "для НЕматематиков" - вообще без цифр, формул и букв!
Чтобы было ПОНЯТНО - в каких "ед. изм." измеряется сумма площадей и в каком соотношении состоят стороны "египетского" треугольника!
"Сумма единиц красного цвета + сумма единиц синего цвета равна сумме единиц серого цвета".
Но КОЛИЧЕСТВО единиц НЕ ОДИНАКОВОЕ ...5 > 4 > 3 > O!
3_4_5_без цифр.jpg
3_4_5_без цифр.jpg (76.99 КБ) Просмотров: 904
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3222
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Пред.

Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

cron