расстояние между концами шнурка зависит от его формы
Ну, конечно, ЗАВИСИТ!
Шнурок - это не линия (1D) на плоскости, а трёх-МЕРНЫЙ объект (3D) в трёхмерном пространстве!
Любой материальный объект, расположеный в НАШЕМ трёхмерном пространстве занимает вполне определённый ОБЪЁМ = V. Следовательно и материальный шнурок имеет не только длину, но и т.н. "площадь сечения". А форму такому НЕ жёсткому объекту можно придать такую, какую НАДО - с помощью ДЕФОРМАЦИИ. В школьной ГЕО-метрии такого "понятия" не было, а в ТОПО-логии такие преобразования называются "отображениеми".
Возьмите вместо шнурка отрезки гибкой проволки, тогда это будет НАГЛЯДНЕЕ, чем "абстрактный" шнурок!
Сечение этих отрезков нас (в данном случае) не интересует, разбираемся с вариантими СО-ЕДИНЕНИЯ этих "палочек"!
Возьмём для начала ОДНУ такую прямую "палочку" и назовём её латинской буквой "I". Если рядом с ней ПАРАЛЛЕЛЬНО положить точно такой же отрезок "I", то их сумму можно назвать "римской цифрой ДВА"... А если расположить их вот так "Х", то это будет уже "римская цифра ДЕСЯТЬ". При этом у двух отрезков МЫ так же видим 4 конца (как математические точки), а у "десятки" появляется ещё ОДНА точка пересечения (или соединения/разбиения).
Если соединить изогнутый отрезок с прямым отрезком, то получится фигура, гомеоморфная (похожая по форме) на букву "Р" или на букву "Ь".
А если соединить КОНЦЫ кривого отрезка с прямым отрезком, то получится буква "D", у которой концов нет, но длину можно измерить как сумму двух отрезков.
Соотношение длины полуокружности к длине диаметра этой же полуокружности всегда одно и тоже = 11/7 = [tex]\pi[/tex] : 2
А внутри буквы "D" тоже есть "пустое множество точек", так же как и МЕЖДУ цифрой "I" и цифрой "II"... При этом параллельные линии НЕ СОЕДИНЯЮТСЯ и не пересекаются, но расстояние МЕЖДЕ НИМИ тоже можно измерить, как длину "перемычки" в букве "Н"...
В азбуке Морзе такие "расстояния" можно увидеть на телеграфной ленте, а различить "на слух" можно по ДЛИТЕЛЬНОСТИ звука и длительности ПАУЗЫ, которую тоже можно считать "ПУСТЫМ МНОЖЕСТВОМ"...
Это тоже ТОПО-логия, а не "просто арифметика"...