Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Сб май 23, 2020 3:41 pm

Древнейшие геометрически задачи, многие из которых сейчас отностятся к категрии "Занимательная математика", не только до сих пор "будоражат умы" непрофессиональных математиков, но и зачастую используюся как повод для открытия каких-нибудь "НОВЫХ ОСНОВ НАИВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ". Как бы подчёркивая превосходство сакральных смыслов гоеметрических построений (графиков и схем) над "прагматичным" инженервным мышлением!
Одной из таких "нерешённых" задач по прежнему считается т.н. "задача фараона" или по-другому "колодей Лотоса".
В переводе египтолога Касперо, представленном в небольшой статье, эта задача была сфорумулирована следующеми словами: «Эти иероглифы (???) выдолбили жрецы бога Ра. За стеной находится колодец Лотоса, как круг Солнца; возле колодца положен один камень, одно долото, две тростинки. Одна тростинка имеет три меры, вторая имеет две меры. Тростинки скрещиваются всегда на поверхности воды колодца Лотоса, и эта поверхность является одной мерой выше дна. Кто сообщит числа наидлиннейшей прямой, содержащейся в ободе колодца Лотоса, возьмёт обе тростинки, будет жрецом бога Ра».
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Сб май 23, 2020 4:02 pm

В настоящее время в Интернете можно найти МНОЖЕСТВО вариантов решения этой задачи - различными математическими методами, которые ПРОВЕРИТЬ на практике никаким "египетским жрецам" и даже фараонам было БЫ невозможно!
На наш (не профессионально-математический взляд) наиболее успешным решением этой задачи можно считать Решение «задачи фараона» посредством программы «Mathematica»: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/3327-ar.pdf
Не вдаваясь в глубину изложения этого ДОКАЗАТЕЛЬСТВА приведёт сразу полученный результат этих вычислений = 1.
Точно к такому же решению можно прийти намного проще, если просто проанализировать условие самой задачи - без чертежа, над которым "ломают голову" не только Математики, но и супер-современные Компьютерщики!
Для начала просто публикуем "картинку", на которой изображается ПРОЦЕСС решения этой задачи, который был вполне доступен даже "малограмотным строителям древних пирамид".
Если такое решение не очень понятно профессиональным математикам, то тогда придётся объяснять эту картинку ТЕКСТОМ (буквами на русском языке)!
Вложения
Задача без фараона.jpg
Задача без фараона.jpg (82.03 КБ) Просмотров: 4066
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Сб май 23, 2020 9:20 pm

Если внимательнее прочитать условия этой "задачки", то скорее всего её просто "не так поняли" современные Высшие Математики...
На всех схемах колодец изображется ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ, но в Древнем Египте таких колодцев просто не было "в натуре"!
Об этом же дословно говорится в переводе, который не совсем корректно сформулировал какойто "египтолог Касперо": колодец Лотоса, как круг Солнца!
Вполне очевидно, что при строительстве из камня такие колодцы имели форму усечённого КОНУСА.
Поэтому и схема (в диаметральном разрезе" этого гидросооружения наверняка конструировалась совсем просто - именно ДВУМЯ "модулями" (мерами длины 1D): Одна тростинка имеет три меры, вторая имеет две меры.
Сравнение этих мер МЕЖДУ СОБОЙ делается не "скрещиванием" (как перевёл этот египтолог) , а "наложением" одной длины на другую. Разница между этими "тростинками" даёт половинный модуль "двойки" = 1. Зачем в этом тексте указаны "камень и долото" - это мы пока ещё не выясняли... Но эту "задачку" правильнее называть именно "КОЛОДЕЦ ЛОТОСА", потому что фараоны такими "ПРАГМАТИЧНЫМИ задачками" не занимаются!
Решение приводим на "картинке" (2D), а более точные "ЧЕРТЕЖИ египетских жрецов" за три тысячелетия НЕ СОХРАНИЛИСЬ... :?
Вложения
Колодец-Лотоса-2.0.gif
Колодец-Лотоса-2.0.gif (192.13 КБ) Просмотров: 4055
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Сб май 23, 2020 9:50 pm

возле колодца положен один камень, одно долото, две тростинки

Если по условяим задачи что-то ПОЛОЖЕНО, значит ЭТО как-то тоже необходимо было использовать при определении размеров этого сооружения.
Тростинка, судя по всему" - это не "палка о двух концах", а какая-то лента из гибкого (растительного?) материала! Известно из Истории, что из тросника египтяне делали даже ЛОДКИ.
"Первая лодка, названная «Ра», спроектированная по рисункам и макетам лодок Древнего Египта, была построена специалистами с озера Чад (Республика Чад) из папируса, добытого на озере Тана в Эфиопии, и вышла в Атлантический океан от побережья Марокко (устье реки Лукос у Лараша) 25 мая 1969 года. По прошествии 56 суток и более 5000 км пути «Ра» стал сгибаться из-за конструкционных недостатков, вызванных небольшим расхождением её конструкции с египетской схемой, погружаться кормой в воду и, в конце концов, разломился на части. Команда была вынуждена оставить судно. Однако, несмотря на неудачу, уверенность Хейердала в правильности его теории лишь возросла, так как папирусная лодка не выдержала лишь несколько дней до конца пути.
На следующий, 1970 год, другая лодка, «Ра-II», доработанная с учётом опыта предыдущего плавания, была построена мастерами с озера Титикака в Боливии и также из Марокко 17 мая отправилась в плавание, на этот раз увенчавшееся полным успехом — лодка достигла Барбадоса, продемонстрировав тем самым, что древние мореплаватели могли совершать трансатлантические переходы. Успех экспедиции «Ра-II» многими был расценен как свидетельство того, что ещё в доисторические времена египетские мореплаватели, намеренно или случайно, могли совершать путешествия в Новый Свет" (конец цитаты)...

Следовательно, строительством колодцев занимались не только жрецы (для религиозных целей), но и "просто грамотные" архитекторы - для общехозяйственных целей. Потому что (как поётца в одной песенке): "Патамушта без воды - и не туды, и не сюды"... тем более в таком жарком АФРИКАНСКОМ климате! Надо полагать, что "папирусные ленты" (а не палки) были своеобразными МЕРНЫМИ лентами - наподобие "банального" портновского МЕТРА = 150 см. А камень служил ОТВЕСОМ для "опирания на стенки колодца" (на дно колодца).
А ещё в тексте условий этой задачки говорится о "прямой, содержащейся в ободе колодца Лотоса".. Очевидно, что под "термином" ОБОД имелась в виду ОКРУЖНОСТЬ (периметр?) этого сооружения. Для этого и нужно было долото, чтобы через него изгибать эти "мерные ленты" (через равные промежутки) и делать ОТМЕТКИ на "ободе колодца лотоса"...
На следующей схеме даётся чертёж этого сооружения - в более ТОЧНОМ соответствии с условиям этой "задачки".
Насколько я ещё помню Начертательную Геометрию за первый курс ВУЗа, для решения этой задачки вообще не требуется Высшего Математического образования!

А кто не верит - пусть ПРОВЕРИТ!
Вложения
штурвал фараона.jpg
штурвал фараона.jpg (43.24 КБ) Просмотров: 4055
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Вс май 24, 2020 11:00 pm

Кто сообщит ЧИСЛА наидлиннейшей прямой, содержащейся в ободе колодца Лотоса?

Кто сообщит ЧИСЛА наидлиннейшей прямой, содержащейся в ободе колодца Лотоса
Обод – это наверняка длина окружности, а не какой-то обруч от колеса. В тексте перевода указано, что это «наидлиннейшая прямая», но на самом деле (геометрически) это именно ЗАМКНУТАЯ КРИВАЯ ЛИНИЯ, которую требуется «сообщить жрецам» в виде какого-то ЧИСЛА!
В реальности от «претендентов на звание жреца» требовалось ИЗМЕРИТЬ длину окружности конкретного колодца (обод колодца), используя для измерений только конкретные данные – МЕРЫ (модули) длины в виде двух «тростинок».
Таким числом в геометрии является «число ПИ» - как постоянный для всех правильных окружностей коэффициент – соотношение длины окружности (обода) к радиусу этой окружности. Но Древние Египетские строители таких «терминов и определений» не использовали, поэтому требовалось ПОКАЗАТЬ «жрецам» свои навыки в точности таких измерений. При этом никаких вычислительных машин, калькуляторов и даже циркуля с линейкой претендентам не выдавалось, надо было использовать только ТО, что было ДАНО в этой задачке! Значит, эту задачку уже в то время УМЕЛИ решать сами жрецы, а также строители, которые колодец Лотоса построили именно с ЭТИМИ измерительными инструментами.

А что уже ИЗВЕСТНО НАМ?
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Вс май 24, 2020 11:03 pm

А что уже ИЗВЕСТНО НАМ?
В предыдущих построениях мы уже нашли, что ДИАМЕТР колодца точно соответствует длине большой (красной) «тростинки» = 3а, а длина малой (синей) «тростинки» = 2а.
На следующей схеме рисуем диаметр колодца и проводим правильную окружность (красной линией), радиус которой будет соответствовать соотношению 3/2 (половине длины красной «тростинки»). Синюю линию закрепляем на одном конце диаметра, а второй конец будет «упираться в красную линию» как ХОРДА этой же окружности = 2 а. Центр окружности нам находить не требуется, потому что нам ДОСТАТОЧНО трёх точек, определяющей красную линию именно как ДАННУЮ окружность с диаметром = 3а. Длина дуги А0-А1 равна длине «тростинке» - по условию задачи, поэтому «в натуре» положение этой «тростинки» на «ободе колодца» мы закрепляем дугой А0-А1, чтобы «в натуре» изогнутый диаметр совместился с линией окружности. При этом красная «тростинка» будет деформироваться «на изгиб» без излома, а синяя работает «на растяжение». Последовательно переставляя эту дугу по линии окружности откладываем трижды длину диаметра на линии окружности. И видим, что в результате у нас остаётся зазор между точками А3 и А0, который необходимо тоже чем-то измерить и соотнести с длиной красной «тростинки».
Вложения
Число пи по дуге.jpg
Число пи по дуге.jpg (205.08 КБ) Просмотров: 4035
Последний раз редактировалось Rados Вс май 24, 2020 11:48 pm, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Вс май 24, 2020 11:05 pm

Если соединить второй конец синей линии другим концом диаметра (условной чёрной стрелкой), то получим прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой (красной линией) будет диаметр = 3а, а большим катетом (синей линией) будет хорда = 2а. Приставляя этот треугольник прямы углом последовательно к точкам А0, А1, А2, А3 и А4. Находим на линии окружности дополнительные (серые точки), между которыми длина дуги точно соответствует недостающей длине дуги АЗ-АО.
Вложения
Число пи египтеское 1.0.jpg
Число пи египтеское 1.0.jpg (267.17 КБ) Просмотров: 4035
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Вс май 24, 2020 11:15 pm

Продолжая такую разметку по всей длине окружности определяем, что каждая дуга состоит ровно из СЕМИ частей, которые по длине равны 1/7 части длине дуги А0-А1 и длине дуги А3-А0. Таким образом, линия окружности получает недостающую часть длины и замыкается двадцать второй (по счёту) дугой, что и требовалось по условию задачи!
Очевидно именно таким способом - делением длины изогнутой «тростинки» на семь равных частей, а не увеличением числа сторон вписанного в окружность многоугольника – решалась эта «задачка фараона» древними египетскими строителями…

Без всяких сложных вычислений и ПРИ ЛЮБЫХ единицах измерения длины этот "древнейший коэффициент" можно записть (и запомнить) в виде обычной дроби = 22/7, что уже неоднократно доказывалось и на других "натуральных" примерах на этом Форуме!
А вычисление на супер-мощных вычислительных МАШИНАХ значение этого ТРАНСЦЕНДЕНТНОГО числа никакой пользы для реальной инженервной деятельности НЕ ДАЁТ, а только отнимает ВРЕМЯ...

22/7 = 3,142
Об этом ЗНАЛИ не только "египетские жрецы", но и греческие геометры ещё две тыщи лет тому назад!
Вложения
Число пи египтеское 2.0.jpg
Число пи египтеское 2.0.jpg (117.56 КБ) Просмотров: 4035
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Вт май 26, 2020 3:27 pm

Но ЭТО "ещё не всё" доказательство соотношения длины окружности к диаметру ЭТОЙ же окружности!
У некоторых НЕматематиков могут возникнуть сомнения в том, что эти ГРАФИЧЕСКИЕ построения могли БЫ убедить "египетских Жрецов бога Ра" (как это требуется в тексте "задачи Фараона")! Например, если ПРОСТО соединить концы "красной тростинки", то длина "обода" будет соответствовать ЦЕЛОМУ числу = 3. Но тогда неизвестно - каким числом будет обозначен ДИАМЕТР такой сплошной (красной) линии, так как он соответственно УМЕНЬШИТСЯ на какую-то неопределённую ВЕЛИЧИНУ! А если таким же образом соединить концы "синей синей тростинки", то длина "синего обода" будет оответствовать тоже ЦЕЛОМУ числу = 2. Но так же будет неизвестно будет ЧИСЛО, которым определяется диаметр синей окружности!

По условиям "задачи Фараона" это надо ПОКАЗАТЬ соответствие соотношения длины окружности к длине ЛЮБОГО диаметра, используя только то, что было ДАНО "претендентам". А именно всего ДВЕ "тростинки", каждую из которых НЕЛЬЗЯ разрезать на части!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Вт май 26, 2020 4:01 pm

НЕЛЬЗЯ разрезать на части!

В тексте задачи такого ограничения прямо не указано, но если ФИЗИЧЕСКИ разрезать ХОРДУ, которая стягивает концы ДУГИ, то "нефакт", что кривизна новой окружности будет соответствовать новому диаметру!
Значит, НАДО ПОКАЗАТЬ, что полученное нами сотношение для "красной линии" будет соответствовать точно такому же соотношению для "синий линии".
Для этого будем считать (не разрезая), что эти "тростинки" СОСТОЯТ из одинаковых по величине "модулей" (составных частей).
Известно (по тексту задачи), что красная "тростинка" состоит из ТРЁХ мер (модулей), а каждый такой "модуль" из семи равных частей, как мы определили по "недостающей дуге". Если записать это в виде простой формулы, то обозначим наш "модуль" буквой М, значит длина "красного диаметра = 3М.
На схеме это было показано как СУММА дуг: (А0А1 + А1А2 + А2А3) = 3М.
Если взять только ОДНУ половину этой дуги, а середину обозначить точкой А5, тогда "красная тростинка" будет состоять из суммы двух дуг:
3М = (А0А5 + А5А3).
Вложения
Два полукруга_цвет.jpg
Два полукруга_цвет.jpg (351.24 КБ) Просмотров: 4017
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Вт май 26, 2020 4:06 pm

Аналогично на этот же "обод колодца Лотоса" накладывается и "синяя тростинка" длиной = 2M:
2М = (А0А1 + А1А2).
Вложения
3синих и 2половины кросных.jpg
3синих и 2половины кросных.jpg (80.52 КБ) Просмотров: 4017
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Вт май 26, 2020 4:36 pm

Для проверки соответствия построения дополнительных (серых) точек используем полученный ранее прямоугольных треугольник А0 - А1 - А5, у которого гипотенуза является "красной тростинкой", а больший катет "синей тростинкой". При этом гипотенуза соответствует длине диаметра = 3M, а больший катет - длине хорды = 2M.
На следующей схеме ВИДНО, что количество равных "красных дуг" соответствует числу 6 (штук), а количество таких же "синих дуг"соответствует числу 4 (штуки). Соотношение 3/2 - точно соответствует заданным "мерам" длины "тростинок".

Теперь для определения длины окружности (L) надо ДОБАВИТЬ недостающую дугу = m.
L = 3 x 7m + m = 22 m
D = 7m
L/D = 22m/7m = 3 + 1/7

Это соотношение Дрeвние Греки потом назвали "числом [tex]\pi[/tex]".
Вложения
3синих и 2половины кросных_цвет.jpg
3синих и 2половины кросных_цвет.jpg (305.84 КБ) Просмотров: 4016
Последний раз редактировалось Rados Вт май 26, 2020 5:01 pm, всего редактировалось 2 раз(а).
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Вт май 26, 2020 4:51 pm

А что потом предлагали Египетские Жрецы "претендентам", которые решили ЭТУ задачку?
Читаем в тексте превода: "Кто сообщит числа наидлиннейшей прямой, содержащейся в ободе колодца Лотоса пусть возьмёт обе тростинки..."

Если СЛОЖИТЬ в одну прямую линию ОБЕ тростинки, то получится число 2 + 3 = 5, которое можно принять за диаметр следующего "колодца Лотоса"
Построить из "простых чисел" т.н. "египетский треугольник" уже намного проще, чем только по двум заданным "тростинкам" 2M и 3M.
Если гипотенуза прямоугольного треугольника = 5 (2+3), то большой катет будет равен 4 (2+2), а малый катет = 3. И такой треугольник непременно впишется ТОЧНО в окружность диаметром = 5M .
Вместо "модуля" = 7m в Древнем Египте можно было использовать только ЛОКОТЬ ФАРАОНА!

(А кто не верит - пусть проверит!) ;)
Последний раз редактировалось Rados Вт май 26, 2020 4:59 pm, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Вт май 26, 2020 4:57 pm

Это уже было проверено экспедицией Тура Хейердала на примере строительства из "модульных тростинок" - трансатлантических лодок "РА-I" и "РА-II" ещё 50 тому назад!
Вложения
17 мая 1970.jpg
17 мая 1970.jpg (118.83 КБ) Просмотров: 4016
boat.gif
boat.gif (15.59 КБ) Просмотров: 4016
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Вт май 26, 2020 11:11 pm

По некоторым археологическим сведениям в Древнем Египте линейным модулем являлся т.н. "локоть фараона" = 525 мм.
Тогда периметр "египетского треугольника" составляет 6300 мм = 2625 мм + 2100 мм + 1575 мм
Если "по заданию Фараона" будет указано принять диаметр "колодца Лотоса" равным 5 локтям, то нетрудно посчитать по схеме, что длина такого "обода колодца" будет равна 8250 мм:
Диаметр колодца = 525 ммм х 5 = 2625 мм.
Длина окружности = 3 х 5М+ 5m/7 = 7875мм + 375 мм = 8250 мм.
Проверяем "египетских стоителей" на современном калькуляторе:
8250 : 2625 = 3,142857142857142857142857142857142857 ... ... = [tex]\pi[/tex]
Вложения
три_четыре_пять.jpg
три_четыре_пять.jpg (59.24 КБ) Просмотров: 4007
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение ИгорьМорозов » Сб июл 23, 2022 5:36 am

Решение задачи Фараона, доступное для жреца.
1.Возьми число, любое. 2.Возведи в квадрат. 3.Прибавь пять. 4.Извлеки корень. 5.Вычти единицу. 6.Переверни число 1/х. Прибавь единицу. Получишь первое приближение для малого катета. Продолжите цикл с пункта 2, возвести в квадрат. Продолжая циклы, будешь получать значащие цифры для обоих катетов.
ИгорьМорозов
 
Сообщения: 2
Зарегистрирован: Сб июл 23, 2022 5:12 am

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение ИгорьМорозов » Сб июл 23, 2022 6:42 am

К задаче Фараона.
Мое решение, выложенное здесь, представляет собой циклическую последовательность, приводящие к результату со сколько угодно точностью (для иррационального числа). В задаче есть фраза "как круг солнца".Это можно интерпретировать следующим образом. Солнце, совершая цикл, каждый раз приближает жреца к искомому результату. Но конца этому пути нет, число бесконечное.
ИгорьМорозов
 
Сообщения: 2
Зарегистрирован: Сб июл 23, 2022 5:12 am

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Сб июл 23, 2022 10:51 am

Но конца этому пути нет, число бесконечное.

Потому что это число ЦИКЛИЧНОЕ...
1 : 7 = 0, 142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857...
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Сб июл 23, 2022 12:14 pm

Решение задачи Фараона, доступное для жреца

Если задача уже РЕШЕНА каким-то "жрецом", то эта же задача может быть решена ДРУГИМИ методами!
Тем более при современном развитии компьютерных технологий такие ГРАФИЧЕСКИЕ доказательства можно отобразить на экране монитора для интересующейся публики даже "без циркуля и линейки", то есть с помощью соответствующего ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ.

"А кто не верит - пусть проверит!"...
Число ПИ в рублях.jpg
Число ПИ в рублях.jpg (102.6 КБ) Просмотров: 828
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Аналитическое решение "Задачи Фараона".

Сообщение Rados » Сб июл 23, 2022 12:18 pm

АВС_3_4_5_12.jpg
АВС_3_4_5_12.jpg (77.07 КБ) Просмотров: 828
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3205
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

След.

Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

cron