Задачка, которая была решена более 40 лет тому назад

Задачка, которая была решена более 40 лет тому назад

Сообщение Rados » Пн авг 19, 2019 1:39 pm

В учебном пособии "Наглядная топология" (Москва, "НАУКА", Главная редакция физико-математичсой литературы) на странице 137 есть такая задачка, ответ на которую считается "общеизвестным". Нынешнему поколению "молодых математиков" (без знания ОСНОВ топологии) эта задачка вряд ли "по зубам"...
Но попробовать МОЖНО!
Вложения
топология 008.jpg
топология 008.jpg (525.36 КБ) Просмотров: 3459
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Задачка, которая была решена более 40 лет тому назад

Сообщение Rados » Пн авг 19, 2019 2:57 pm

Доказать-то МОЖНО...
Только за такие доказательства уже никто "миллион тысячелетия" не получит.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Задачка, которая была решена более 40 лет тому назад

Сообщение Rados » Пт авг 23, 2019 7:00 pm

Чтобы решать эту "задачку", надо сначала ОПРЕДЕЛИТЬ термины, которые многим Высшим Математикам кажутся слишком "заумными".
Что такое ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ?
В математике "без чисел" принято изображать произведение БУКВАМИ.
Например:
а х b - подразумевается (геометрически) площадь какого-то прямоугольника со стороной "а" не равной стороне "b".
То есть, топологически это есть ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух линейных величин, которое в геометрии может обозначатьСЯ одной буквой = S (площадь поверхности).
a x b x c - подразумевается некий ОБЪЁМ какого-то параллелепипеда со сторонами "a", "b" и "с", длина которых отлична от нуля, а эти ОТРЕЗКИ не равны между собой. Это произведение ТРЁХ величин можно тоже обозначить ОДНОЙ буквой V ... или записать как произведение ДВУХ величин = S х с.
При этом сумма линейных размеров всегда больше каждого из отрезков, а площадь и линейный размер "не входят" в сумму S + c.
Топологически это значит, что отрезок "с" НЕ ПРИНАДЛЕЖИТ множеству отрезков a х b.
Но в декартовой СИСТЕМЕ координат эти ТРИ отрезка могут пересекаться в одной точке (0D).
При этом никакой из отрезков НЕ МОЖЕТ быть равным нулю в трёхмерном ОБЪЁМЕ = a x b x c.
А точка, не имеющая никакого размера, МОЖЕТ принадлежать НЕСКОЛЬКИМ отрезкам в точке пересечения этих отрезков.
Следовательно, площадь (2D) можно определить как величину какой-то ОБЛАСТИ, ограниченную ЗАМКНУТОЙ линией (1D), которая разбивает бесконечную величину неопределённой поверхности на ДВЕ области (внутреннюю и внешнюю).
Кажущаяся "очевидность" этой теоремы Жордана объясняется лишь тем, что "МЫ" имеем в виду очень простые линии - окружность, контур выпуклого многоугольника, периметр квадрата, прямоугольника или треугольника - которые в топологии являются ГОМЕОМОРФНыМИ фигурами.
Внутренняя область поверхности (2D) - "ограниченная", а внешняя - "НЕограниченная".
А если отрезок "c" не пересекается с ЗАМКНУТЫМ контуром a + b, то произведение (a + b) x c - НЕ ИМЕЕТ СМЫСЛА!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Задачка, которая была решена более 40 лет тому назад

Сообщение Rados » Пт авг 23, 2019 7:55 pm

Вот пример НЕВОЗМОЖНОГО "в натуре" 3D-мёбиуса!
В топологии такая фигура ОДНОМЕРНАЯ = (1D)!
Вложения
3D-мёбиус.gif
3D-мёбиус.gif (9.63 КБ) Просмотров: 3430
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Задачка, которая была решена более 40 лет тому назад

Сообщение Rados » Сб авг 24, 2019 1:44 pm

Интересно СРАВНЕНИЕ таких фигур не на плоскости (2D), а "в общественном пространстве" (3D).
ПОКАЗАТЬ в Интернете такую "ленту Мёбиуса" можно только в виде МАКЕТА из бумаги, а потом эту ленту сфотографировать из различных положений - фотоаппаратом.
Но тогда "кто-нибудь" из Математиков может назвать это ФОКУСОМ!
Дескать, "так и Любой Дурак УМеет, ты НА ЦИФРАХ докажи!"

Попробуем "на цифрах"?!
По условиям Мёбиуса его лента имеет как бы (условно) ОДНУ поверхность листа Мёбиуса, но площадь этой поверхности не определена, так как "стремитСЯ к бесконечности" во все стороны листа.
Но!!!
Вырезая из "обычного" лист бумаги ПОЛОСУ определённой ШИРИНЫ, эта "бесконечность листа 2D" нарушается. Ибо из неё ВЫНИМАЕТСЯ какая-то определённая ЧАСТЬ шириной "а" (1D) и длиной "b". Математически получается, что эта "односторонняя" полоса имеет какую-то ПЛОЩАДЬ (a x b) = S. Но никаких "квадратных единиц измерения" МЫ (пока) указать не можем. А когда МЫ склеиваем эту ленточку как завещал нам Мёбиус, то МЫ эту площадь ФАКТИЧЕСКИ преВРАЩАЕМ в (S + S) ... но (по условию Мёбиуса) МЫ так и считаем эту ленту "ОДНО-сторонней поверхностью = S (без толщины).
А когда "МЫ" разрезаем такую ленту ВДОЛЬ-ПОПОЛАМ, то математически мы делим не площадь 2S, а только ширину (1D) ленты, то есть (a : 2). Если теперь посчитать длину как S : 1/2 а, то получается "в натуре", что "бесконечная длина" увеличилась ВДВОЕ!
И если продолжать такое деление "вдоль-пополам", то ФАКТИЧЕСКИ длина этой ЗАМКНУТОЙ ленты будет постоянно удваиваться.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Задачка, которая была решена более 40 лет тому назад

Сообщение Rados » Сб авг 24, 2019 4:44 pm

В качестве "наглядного доказательства" решения задачи 205 можно рассмотреть т.н. "ленту Пуанкаре в 3D-сфере", которая указывает своей шириной (1D) на толщину сферы (2D).
Внешнюю и внутреннюю поверхность сферы Пуанкаре на этом фото НЕ ВИДНО, потому что иначе ПОКАЗАТЬ третье измерение такой СФЕРЫ (толщину) не получается.
Но определить (и вычислить в "квадратных" сантиметрах) внешнюю и внутреннюю площади ПОВЕРХНОСТЬ сферы Пуанкаре, измерив её диаметр (1D) и толщину (1D) у такой 3D-сферы МОЖНО!
Вложения
Лента Пуанкаре в 3D-сфере.jpg
Лента Пуанкаре в 3D-сфере.jpg (609.5 КБ) Просмотров: 3425
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ


Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4

cron