"Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

"Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Пн май 27, 2019 4:56 pm

Строим из восьми египетских треугольников - прямоугольник с размерами 6 х 8, получаем площадь S = 48 "квадратиков".
Переставляем эти же восемь треугольников в квадрат 7 х 7, получаем S = 49 "квадратиков"!
На чертеже этот дополнительный квадратик сразу появился!

Cтроим квадрат 8 х 8 и делим его на две части - 3 х 8 и 5 х 8, а затем делим каждый прямоугольник ровно пополам, но с таким расчётом, чтобы собрать из полученных частей прямоугольник 5 х 13. По площадям имеем два четырёхугольника по 20 "квадратиков" и два треугольника по 12 "квадратиков"...
В результате перестановки получаем прямоугольник с размерами 5 х 13 = 65 "квадратиков", то есть те же 64 "квадратика" + 1 дополнительный.
НО!!!
Почему этот дополнительный "квадратик" не появился в прямоугольнике?
Может быть, Евклид что-то "недосчитал", а математики за 2300 лет этого так и не заметили?!! :D
Вложения
где +1.jpg
где +1.jpg (311.31 КБ) Просмотров: 4752
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Ср июл 03, 2019 12:33 pm

Предложенная Форуму "Задача месяца" никем (пока) так и не решена...
Либо это никого из "математиков" уже не интересует, либо никто не хочет ТРАТИТЬ СВОЁ ВРЕМЯ на решение этой простой задачки.
Предлагаю ПРОДЛИТЬ эту задачку ещё на один месяц!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Чт июл 18, 2019 2:26 pm

Даём подсказку для решения этой "задачки":
Во втором случае (при делении квадрата на составляющие фигуры) дополнительная "квадратная единица площади" (64 +1) НЕ ЯВЛЯЕТСЯ КВАДРАТОМ "в геометрическом смысле"!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Павел » Чт авг 08, 2019 3:48 pm

Условие задачи не исключает возможности перекрывания областей фигур.
Допустим, "квадратик" - тот, что не совсем квадратик - если обращаться к подсказке - окажется ромбом с площадью 10.
Годится?
Павел
 
Сообщения: 44
Зарегистрирован: Чт авг 08, 2019 3:45 pm

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Чт авг 08, 2019 4:08 pm

Годится именно как "догадка", но не совсем точно, то есть не = 10.
В действительности этот "единичный квадрат" = +1 размазан по диагонали Большого Прямоугольника = 5 х 13.
Но "визуально" заметить это можно только при большом увеличении чертежа.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Павел » Чт авг 08, 2019 5:34 pm

Вы не вполне поняли мой ответ, а я (не видя Вашей иллюстрации ко второй задаче) - не вполне корректно воспринял условие.
Куда в варианте Вашем делось (1/65*100, т.е.<2)% площади фигуры - мне вполне понятно.
Со своей стороны я шёл иным путем: больший прямоугольник - разделил на два равных прямоугольника 5х4, меньший на треугольники делится однозначно (хотя именно его был у меня соблазн разделить на четырёхугольники с двумя непрямыми углами). Два прямоугольника поместил по краям выстраиваемого, а большими катетами треугольников - перекрыл оставшийся периметр. При этом часть площади фигур - совпала. Если треугольники размещать на одном уровне (так, чтобы основание одного и противолежащий угол другого были на одном расстоянии от меньшей стороны построенной фигуры) - между их гипотенузами и обращёнными внутрь фигуры сторонами малых прямоугольников - будет ромб свободного пространства площадью в 10кл. /как треугольники на одном уровне ни размести, пока периметр не прервётся/. (Понятно, что разместить треугольники можно и иначе - уменьшив или увеличив площадь пустого ромба в интервале [11/3; 49/3]).
Таков другой ответ на вашу задачу - вполне отвечающий описанным условиям.
...
Впрочем, по моему мнению - Ваш - изящнее! (но и в Вашем случае - в центре пустой ромб!)
Павел
 
Сообщения: 44
Зарегистрирован: Чт авг 08, 2019 3:45 pm

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Пт авг 09, 2019 1:43 pm

другой ответ на вашу задачу - вполне отвечающий описанным условиям

Правильный ответ может быть НАЙДЕН различными методами. А "геометрический смысл" этой математической головоломки именно в том, что площадь (2D) может быть представлена не только "квадратными" единицами измерения.
Вытянутый по диагонали Большого Прямоугольника (со сторонами 5 х 13) ПАРАЛЛЕЛОГРАММ как раз и составляет РАЗНИЦУ = 65 - 64 = 1.
Но так уж "укоренилось" на бытовом уровне понимания ЕДИНИЦ измерения площади, что "визуально" ищется именно ПРЯМОУГОЛЬНАЯ фигура - КВАДРАТНЫЙ элемент, а не "вторая степень измерения".

А из-за "традиционно-кубических" представлений ОБЪЁМА (3D) получаются более сложные "иллюзии пространства", ... чем весьма эффектно пользуются профессиональные иллюзионисты и многие художники - например, Мауриц Эшер: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1 ... 0%B8%D1%81
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Пт авг 09, 2019 5:56 pm

Вот пример аналогичной "оптической 3D-иллюзии":
Поток воды из "горизонтального" направления переходит в "вертикальный" (относительно Наблюдателя), а затем снова "превращается в горизонтальный"!
М А Г И Я ? ! !
:lol:
Вложения
Escher_Waterfall.jpg
Escher_Waterfall.jpg (136.22 КБ) Просмотров: 4568
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Павел » Сб авг 10, 2019 12:30 pm

Знакомая картинка, конечно я не Сальвадор Дали, но квадрат-перевёртыш и сам изображу без труда, или ещё-какой нехитрый 3D - невозможный, но вполне складный 2D - объект.
Вопрос в мышлении - образное - будет искать квадрат, математическое - потерянную площадь...
...
Как найти внутреннюю диагональ параллелепипеда (в конкретном случае: спичечного коробка) имея лист бумаги, линейку, карандаш, ну и сам объект?
Павел
 
Сообщения: 44
Зарегистрирован: Чт авг 08, 2019 3:45 pm

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Сб авг 10, 2019 2:31 pm

имея лист бумаги, линейку, карандаш, ну и сам объект?

"Сам Объект" в реальности всегда ТРЁХмерен.
"Диагональ палаллепипеда" - это УСЛОВНАЯ линия (1D), которой в реальности НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Следовательно, РАЗМЕР диагонали параллелепипеда можно только ВЫЧИСЛИТЬ математически и (желательно) ПОКАЗАТЬ результат на чертеже или цифрами с единицами измерения.

Но если предположить "чисто аналитически", то такая диагональ = 50 : 7
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Павел » Сб авг 10, 2019 3:02 pm

Методика:
На край листа бумаги кладём коробок.
Карандашом отмечаем точку на листе - там, где угол коробка оказался внутри листа (в смысле - не на краю).
Относительно отмеченной точки - разворачиваем коробок на 180[tex]^\circ[/tex] (либо переставляем его соответствующим образом).
Линейкой измеряем расстояние от угла листа - до верхнего угла коробка.
...
Понимаем, что прямое измерение (в смысле - действие линейкой) - точнее, чем опосредованно вычисленное из нескольких.
...
Линия-то есть, только коробок мешает к ней подобраться, но можно убрать коробок из реальности, оставив линию (её геометрическое положение)!
Измеряющий не ограничен коробком, коробок отложат - принявшись за расчёт, а изнутри коробок померить ещё проще - если спички не помешают. :) /толщину стенок коробка обсуждать не станем, абстракция, всё-ж таки/
...
А как можно решить данную задачу быстрее и ещё точнее?
Павел
 
Сообщения: 44
Зарегистрирован: Чт авг 08, 2019 3:45 pm

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Сб авг 10, 2019 4:39 pm

как можно решить данную задачу быстрее и ещё точнее?

Можно ВЫНУТЬ из коробка "ящик" со спичками и "внедрить" (сложить) образовавшуюся оболочку в поверхность 2D. Боковая поверхность коробка образует с верхней поверхностью ОДНУ общую "площадку" ПРЯМОугольной формы (2D). А расстояние (1D) между противоположными "вершинами" будет равно диагонали спичечного коробка в 3D.
Такие "задачки" решаются методами начертательной ГЕОметрии.
А как ДОКАЗАТЬ НЕВОЗМОЖНОСТЬ построения "Водопада" по картинке Эшера - это задачка из топологии.

Но такого раздела в этом Математическом Форуме нету, поэтому ничего "доказывать" МЫ здесь не будем, Павел!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Павел » Сб авг 10, 2019 5:01 pm

Быстрее:
- использовать штангельциркуль либо микрометр.
Точнее:
- названным измерительным устройством выполнить несколько серий прямых последовательных измерений всех четырёх возможных вн.диагоналей и вычислить арифметическое среднее.
Павел
 
Сообщения: 44
Зарегистрирован: Чт авг 08, 2019 3:45 pm

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Павел » Сб авг 10, 2019 7:00 pm

Пример реального 2D объекта:
- тень.
Павел
 
Сообщения: 44
Зарегистрирован: Чт авг 08, 2019 3:45 pm

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Вс авг 11, 2019 1:14 pm

Пример реального 2D объекта:

"Навести тень на плетень" тоже можно...
Но это уже "не в тему", ибо задача "про +1 "квадратик" РЕШЕНА.

Про "конус тени" здесь старается доказать (кому-то) Пивень Григорий Иванович.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Вс авг 11, 2019 7:06 pm

Для завершение "дискуссии про КВАДРАТЫ" даём топологическую разгадку головоломки Эшера "про Водопад".
Мариус Эшер искуссно ВПИСАЛ "ленту Мёбиуса" в своё изображение (2D) "реального Объекта". На самом деле ЗАМКНУТАЯ поверхность "воды" (на схеме показана синим цветом) представляет собой гибкую ленту с перевёрными концами, которые "склеены в нулевой точке" (жёлто-синий кружок с ДВУМЯ "нулевыми векторами). Все прочие "атрибуты" этого архитектурного "сооружения" просто маскируют этот топологический ФОКУС на поверхности картины (2D).
Вложения
фокус Escher_Waterfall.jpg
фокус Escher_Waterfall.jpg (130.4 КБ) Просмотров: 4551
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Вт сен 03, 2019 1:49 pm

Если попытаться взглянуть на "Супрематический квадрат" Малевича с обратной стороны, то в реальном пространстве (3D) нам этого никто не позволит!
Но с помощью компьютера можно себе представить даже и такой "фокус":
Вложения
Hermitage_museum.jpg
Вид "чёрного квадрата" с обратной стороны
Hermitage_museum.jpg (43 КБ) Просмотров: 4493
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Вт сен 03, 2019 5:52 pm

С помощью зеркала МЫ может представить отображение "одностороннего" листа Мёбиуса в трёхмерном пространстве.
Для этого вырежем из листа Мёбиуса ПРАВИЛЬНЫЙ КВАДРАТ (например, синего цвета) и соединим углы этого квадрата, не сгибая.
Тогда каждая диагональ квадрата "превратитСЯ" в ЗАМКНУТУЮ кривую (эллипс), и такой квадрат будет "гомеоморфен" 2D-сфере!
При этом площадь такого "сферического квадрата" будет равна площади исходного (плоского) квадрата.
Вложения
Синий квадрат Radosa.jpg
Синий квадрат Radosa.jpg (1.08 МБ) Просмотров: 4492
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Вс сен 15, 2019 5:17 pm

А если шахматную доску сделать не 8 х 8, а 7 х 7?
Всего фигур на таком "поле" поместится 28 штук = 14 чёрных + 14 белых.
Но чёрных клеток будет на одну больше, чем белых клеток! И эта "лишняя клетка" окажется в самом центре шахматной доски 7 х 7.
Вложения
Шахматы 7х7.jpg
Шахматы 7х7.jpg (1.22 МБ) Просмотров: 4470
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: "Неевклидовские квадраты" - найти один квадратик = +1

Сообщение Rados » Пн май 11, 2020 8:09 pm

Задачка может быть немного упрощена:
Надо найти "трёхцветную группу" площадь которой равняется семи квадратикам.
Вложения
Триколор+квадрат.jpg
Триколор+квадрат.jpg (87.86 КБ) Просмотров: 3589
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ


Вернуться в Математическая задача месяца



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1