Трапеция

Трапеция

Сообщение leonidzilb » Сб мар 23, 2019 12:50 am

дана прямоугольная трапеция и диагонали перпендикулярны.Отношение параллельных сторон 4 к9. Даны площади треугольников. Нужно найти длины диагоналей.Попробовал написать систему уравнений. 2 как расчет площадей и 2 через Пифагора. Система не разрешилась.
Вложения
scan-1.jpg
scan-1.jpg (78.12 КБ) Просмотров: 1652
leonidzilb
 
Сообщения: 1
Зарегистрирован: Сб мар 23, 2019 12:48 am

Re: Трапеция

Сообщение Евва » Вт дек 07, 2021 7:10 am

Пусть AB=4a ,CD=9a ,AD=h , [tex]\angle[/tex]ADB=[tex]\alpha[/tex] и AC[tex]\cap[/tex]BD т.O .
Знаем AC[tex]\bot[/tex]BD .
AC=x=? BD=y=?

([tex]\triangle[/tex]ABD) [tex]\angle[/tex]ABD=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
([tex]\triangle[/tex]AOB) [tex]\angle[/tex]OAB=180[tex]^\circ[/tex]-(90[tex]^\circ[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]OAB=[tex]\alpha[/tex]
Тогда [tex]\triangle[/tex]ADO[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]AOB (1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{ AD^{2 } }{ AB^{2 } }[/tex]=[tex]\frac{ S_{ADO } }{ S_{AOB } }[/tex] ; [tex]\frac{ h^{2 } }{16 a^{2 } }[/tex]=[tex]\frac{108}{48}[/tex] ;[tex]h^{2 }[/tex]=36[tex]a^{2 }[/tex] ; h=6a (1)

[tex]S_{ABCD }[/tex]=2.108+48+243
[tex]\frac{(9a+4a)h}{2}[/tex]=507 ;13.ah=1014 ; ah=78 (2)

Заменяем (1) в (2) .
a.6a=78 ; [tex]a^{2 }[/tex]=13 ; a=[tex]\sqrt{13}[/tex]
из (1) h=6a=6[tex]\sqrt{13}[/tex] т. е. h=6[tex]\sqrt{13}[/tex]

Уже знаем a=[tex]\sqrt{13}[/tex] , h=6[tex]\sqrt{13}[/tex] .
([tex]\triangle[/tex]ADC-прямоугольны) [tex]h^{2 }[/tex]+81[tex]a^{2 }[/tex]=[tex]x^{2 }[/tex] ; [tex]x^{2 }[/tex]=468+81.13 ;[tex]x^{2 }[/tex]=1521[tex]\Rightarrow[/tex] x=39
([tex]\triangle[/tex]ABD-прям.) [tex]h^{2 }[/tex]+16[tex]a^{2 }[/tex]=[tex]y^{2 }[/tex] ; [tex]y^{2 }[/tex]=468+16.13 ;[tex]y^{2 }[/tex]=676 [tex]\Rightarrow[/tex] y=26

Ответ: AC=39 , BD=26
Евва
 
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс мар 28, 2021 9:01 pm
Откуда: Болгария

Re: Трапеция

Сообщение Rados » Чт янв 06, 2022 5:55 pm

Попробовал написать систему уравнений

Можно попробовать другой вариант - ГРАФИЧЕСКИЙ.
Известно, что:
1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту = 507х[tex]1^{2 }[/tex]
2. Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними (как площадь любого выпуклого четырехугольника) = 507х [tex]1^{2 }[/tex]
3. Синус прямого угла между диагоналями = 1.
4. Серый треугольник подобен зелёному треугольнику, а соотношение их площадей = 48/243

Правильный ответ см. на правильном чертеже:
Площадь трапеции = 507.jpg
Площадь трапеции = 507.jpg (42.2 КБ) Просмотров: 462
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3200
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Трапеция

Сообщение Rados » Пт янв 07, 2022 2:33 pm

В условиях также было указано соотношение сторон (гипотенуз подобных треугольников) = 4/9.
Из подобия треугольников СЛЕДУЕТ, что катеты этих треугольников тоже соответствуют такой КРАТНОСТИ: у серого треугольника кратность = 4, а у зелёного кратность = 9.
Поэтому сразу получаем длину катетов серого треугольника 12 и 8.
Аналогично длина катетов зелёного треугольника 27 и 18.
Проверяем по площади белых треугольников (8х27):2 = 108... (18х12):2 = 108.
Это решение совпадает с "алгебраическим" вариантом, но представляется более наглядно и ПРОЩЕ!
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3200
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ


Вернуться в Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, трапеция



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1