Косоугольный треугольник, взаимоотношения сторон. ВТФ.

Косоугольный треугольник, взаимоотношения сторон. ВТФ.

Сообщение Гость » Пн авг 05, 2019 11:43 pm

ТЕОРЕМА.

Дано:

Косоугольный треугольник (треугольник без прямого угла и равных сторон), в котором наименьшая сторона [tex]a\ge1[/tex].

Требуется доказать:

Наибольшая сторона данного треугольника, возведённая в степень [tex]n\ge2[/tex] (натуральное число) не может быть выражена через сумму двух меньших сторон возведённых в ту-же степень при любых действительных значениях [tex]a,b,c[/tex] (стороны треугольника)
треугольники.jpeg
исходный и последний треуольники
треугольники.jpeg (236.29 КБ) Просмотров: 2333
(смотри Рис-1 вложения).
В виде формулы это записывается следующим образом:

[tex]{c^n}\ne{a^n+b^n}[/tex] (1)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Будем строить доказательство от обратного.
Допустим, уравнение (1) выполняется при каких-то значениях [tex]a,b,c,n[/tex] то-есть:

[tex]c^n=a^n+b^n[/tex] (2)

Из исходного треугольника, по теореме синусов, находим:

[tex]\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}[/tex] (3)

[tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] – углы исходного треугольника.
Из (3) получим:

[tex]a=c\frac{sin\alpha}{sin\gamma}, b=c\frac{sin\beta}{sin\gamma}[/tex],

[tex]a+b>c[/tex],

[tex]{c\frac{sin\alpha}{sin\gamma}+c\frac{sin\beta}{sin\gamma}}>c[/tex],

Домножим в последнем неравенстве каждый член соответственно на [tex]a^{n-1},b^{n-1},c^{n-1}[/tex] и, с учётом (2), получим:

[tex]a^{n-1}c\frac{sin\alpha}{sin\gamma}+b^{n-1}c\frac{sin\beta}{sin\gamma}=c^{n-1}c[/tex],

В последнем равенстве сократим левую и правые части на [tex]c[/tex],

[tex]{a^{n-1}\frac{sin\alpha}{sin\gamma}+b^{n-1}\frac{sin\beta}{sin\gamma}}=c^{n-1}[/tex],

[tex]a^{n-1}sin\alpha+b^{n-1}sin\beta=c^{n-1}sin\gamma[/tex],

[tex]sin\gamma=sin(\alpha+\beta)[/tex],

[tex]a^{n-1}sin\alpha+b^{n-1}sin\beta=c^{n-1}sin(\alpha+\beta)=c^{n-1}(sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta)[/tex],

[tex]a^{n-1}=c^{n-1}cos\beta, b^{n-1}=c^{n-1}cos\alpha[/tex],

Суммируем правые и левые части двух последних равенств,

[tex]a^{n-1}+b^{n-1}=c^{n-1}(cos\beta+cos\alpha)[/tex],

Из последнего равенства найдём [tex]c^{n-1}[/tex],

[tex]c^{n-1}=\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}[/tex], (4)

Далее, из треугольника (смотри Рис-2 вложения) со сторонами [tex]a^{n-1},b^{n-1},c^{n-1}[/tex] и углами [tex]\delta,\varphi,\lambda[/tex] после дополнительных построений (опустим из вершины противолежащей [tex]c[/tex] перпендикуляр на эту самую сторону) получим:

[tex]c^{n-1}=t+m[/tex],

[tex]t= a^{n-1}cos\varphi[/tex],

[tex]m= b^{n-1}cos\delta[/tex],

[tex]c^{n-1}=a^{n-1}cos\varphi+b^{n-1}cos\delta[/tex], (5)

Приравняем (4) и (5), получим:

[tex]\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}=a^{n-1}cos\varphi+b^{n-1}cos\delta=\frac{a^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}+\frac{b^{n-1}}{cos\beta+cos\alpha}[/tex],

[tex]cos\varphi=\frac{1}{cos\beta+cos\alpha}, cos\delta=\frac{1}{cos\beta+cos\alpha}[/tex],

[tex]cos\varphi=cos\delta[/tex],

или,

[tex]a^{n-1}=b^{n-1}[/tex]

[tex]a=b[/tex]

что противоречит исходным данным.
Гость
 

Вернуться в Треугольники



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3