Изогнутый конус

[Гость]

Если заданный "рог изобилия" помещается во внутреннее пространство тора, то горизонтальное сечение тора и этого "рога" ДЕЛИТ поверхность тора и "рога" на две симметричные половины, так ведь?!
А если такого ограничения в условиях задачи нету, (то есть, области определения функций R и r НЕ ЗАДАНЫ), то и РЕШЕНИЙ в этой задачке может быть МНОЖЕСТВО.

Да так и есть. Делит на две зеркально симметричные половины. Но в моём примере рог вписан в тор,и направляющая линия изгиба часть дуги окружности, в пределе вся окружность. На практике достаточно дуги 180[tex]^\circ[/tex] . Оба радиуса конечны и для конкретного конуса R,r=const
А у Radosа схема отображает более сложный случай и R можно продолжать до [tex]\infty[/tex]. Направляющая линия - спираль Архимеда вроде. Это к нему вопрос.
Замечание учту, в том смысле что надо более чётко сформулировать условия задачи. А "окончательное решение" не даром в кавычках, никакое оно не окончательное. Просто хороший наглядный пример, где графически показано что объем тела остаётся неизменным при изгибе.
Я просто обрадовался что нашёл новый источник с построением и несколько поспешил. Пользуясь случаем поправлю ссылку. Выходные данные этой работы пока не обнаруживаются https://studfile.net/preview/5185302/page:10/
Что касается "копать до обеда", так ещё покопаем. До раздела "физика" докапаемся...

[Rados]

На практике достаточно дуги 180 гр.

В таком случае получается нечто вроде "бычьего рога".

бычий рог.jpg (56.98 КБ) Просмотров: 661

Высота конуса при вращении превращается в половину длины центральной (фиолетовой) оси тора .
Здесь надо заметить, что величина R = const, а величина r - это ПЕРЕМЕННАЯ (от 0 до 1/2 диаметра тора)!
Следовательно, кривизна дуги, в которую превращается высота конуса, будет равна заданному значению R.
А величина r не может быть больше R.
При этом площадь основания "бычьего рога" (изогнутого конуса) будет равна [tex]\pi[/tex] [tex]r^{2 }[/tex], но эта площадь НЕ ЯВЛЯЕТСЯ частью поверхности "рога"... Окружность (красного цвета) принадлежит поверхности тора, то есть, является линией пересечения изогнутого конуса, вписанного в тор, с поверхностью именно ЭТОГО (заданного?) ТОРА...

В топологии такая поверхность (2D) так же считается НЕзамкнутой.

[Rados]

наглядный пример, где графически показано что объем тела остаётся неизменным при изгибе.

Если ОБЪЁМ тора уже задан величинами R и r, то тогда внутренний объём изогнутого конуса зависит только от заданной величины дуги (в полярных координатах) и заданного радиуса кривизны R. Необходимо также найти СООТНОШЕНИЕ между величинами R и r, удовлетворяющее условиям задачи.
То есть, в задаче должно быть указано ЧТО требуется отобразить графически (в заданном масштабе): развёртку наружной поверхности "рога изобилия" или площадь сечения этого трёхмерного ТЕЛА?!
А если уж "копать до физики", то нужно иметь в виду конкретный МАТЕРИАЛ, из которого состоит это тело!

[Гость]

I. Постановка задачи:
Прямой круговой конус имеющий высоту h и радиус основания r преобразуем путем изгиба по дуге так, чтобы высота h совпала с дугой окружности радиусом R. Изучим геометрические свойства полученного тела в сравненнии с исходным конусом.
II. Очевидно, что в результате такого преобразования получется тело, не равное исходному, так как изогнутый конус имеет новое свойство - дополнительный радиус кривизны.В отличии от исходного конуса, все образующие которого равны, у изогнутого конуса образующие имеют различную длинну и являются кривыми. Тем не менее некоторые параметры исходного тела будут равны аналогичным параметрам преобразованного. Во-первых радиусы основания r у обоих тел равны по условию задачи. Во-вторых равными окажутся и их объемы V, что будет показано ниже. В-третих длинна дуги направляющей окружности l равна высоте h исходного тела, опять же по условию задачи.
III. Вывод формул и построение сечений.
Сначала построим осевое сечение исходного тела.Им будет равносторонний трегуольник с основанием 2r, высотой h и углом при вершине [tex]\alpha[/tex]
Радиус произвольног сечения плоскостью, параллельной основанию, r0 можно найти по формуле r0=h0*tg( [tex]\alpha[/tex]/2), где h0 - расстояние от вершины конуса до секущей плоскости.
Так как угол [tex]\alpha[/tex] для каждого конкретного конуса является постоянным, можно принять k= tg( [tex]\alpha[/tex]/2), где k - угловой коэффициэнт, k=const.
Тогда уравнение (1) примет вид r0=k*h0 где h0 переменная зависящая от расстояния секущей плоскости от вершины. Это типичное уравнение первой степени с угловым коэффициэнтом.
Для построения сечения изогнутого конуса перейдём в полярную систему координат. В данном примере для наглядности длинна дуги окружности выбрана 1/4 от полной окружности.
Построим сечение изогнутого конуса плоскостью, заданной центром координат, вершиной конуса и центром основания конуса. Очевидно,
что дуга окружности изгиба лежит в этой же плоскости. В ней же находятся радиус R а также наибольшая и наименьшая образующая изогнутого конуса.Преобразуем уравнение (1), заменив высоту h0 на длинну дуги окружности l0, равную [tex]\varphi[/tex][tex]\frac{pi R }{180}[/tex] h0=k [tex]\varphi[/tex] [tex]\frac{pi R}{180}[/tex] (2) для градусной меры угла [tex]\varphi[/tex].
Однако в нашем примере удобней будет использовать радианы.
Кривые, частью дуг которых будут наибольшая и наименьшая образующая изогнутого конуса задаются в полярной системе координат уравнениями вида:
[tex]\triangle[/tex]R=R [tex]\pm[/tex]kR[tex]\varphi[/tex] (3)
где [tex]\triangle[/tex]R приращние иходного радиуса изгиба R.
Так как по условиям задачи R=const для каждого конкретного конуса,
имеем два уравнения первой степени с одной переменной ([tex]\varphi[/tex]) в полярной системе координат.
Обозначим радиальную координату точек дуги наибольшей образующей изогнутого конуса Rвнеш. т.к. эта дуга является внешней по отношению к дуге изгибающей окружности.
Радиальную координату наименьшей образующей аналогично обозначим Rвнут.
Rвнеш=R+kR[tex]\varphi[/tex]
Rвнут=R-kR[tex]\varphi[/tex]
Площадь сечения криволинейной фигуры, заданой образующими изогнутого конуса и его основанием 2r найдем по формуле S=S(Rвнеш)-S(Rвнут), где S(Rвнешн),S(Rвнут) соотвественно площади криволинейных фигур, ограниченных дугами Rвнешн,Rвнут и осями координат.
Применив интегралы получим:
S= [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{\pi/2}[ R+\varphi kR]^{2 }[/tex]d[tex]\varphi[/tex]- [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{ \pi/2}[ R-\varphi kR]^{2 }[/tex]d[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{k R^{2} \pi^2}{4}[/tex]
Так как на итервале 0; [tex]\pi[/tex]/2 длинна дуги окружности l равна R[tex]\pi[/tex]/2 a высота h=l по условию задачи, можем выразить r через k:
r=kh=kR[tex]\pi[/tex]/2
Площадь осевого сечения прямого кругового конуса равна S=rh=(kR[tex]\pi[/tex]/2)(R[tex]\pi[/tex]/2)= [tex]\frac{kR^{2}\pi^2}{4}[/tex]
Мы доказали равенство площадей сооответствующих сечений исходного и преобразованного тела.
Продолжение следует...

[Гость]

То есть, в задаче должно быть указано ЧТО требуется отобразить графически (в заданном масштабе): развёртку наружной поверхности "рога изобилия" или площадь сечения этого трёхмерного ТЕЛА?!
А если уж "копать до физики", то нужно иметь в виду конкретный МАТЕРИАЛ, из которого состоит это тело!

Уважаемый Rados, конечной целью является развертка. Радиус r постоянный для каждого конкретного конуса, переменный r0. Конус задает тор а не наооборот. Тор мне понадобился просто как вспомагательный "инструмент" для лучшего понимания. Что касается материала то об этом лучше в разделе физика. Но никаких секретов нет, это листовой металл.

[Гость]

Преобразуем уравнение (1), заменив высоту h0 на длинну дуги окружности l0, равную [tex]\varphi[/tex][tex]\frac{pi R }{180}[/tex] h0=k [tex]\varphi[/tex] [tex]\frac{pi R}{180}[/tex] (2) для градусной меры угла [tex]\varphi[/tex]

Явная опечатка, должно быть l0=[tex]\varphi[/tex][tex]\frac{\pi R }{180}[/tex] ; r0=k [tex]\varphi[/tex] [tex]\frac{\pi R}{180}[/tex]
Чортовы теги...

[Rados]

Радиус r постоянный для каждого конкретного конуса

Конкретный конус у Вас УЖЕ ЗАДАН - с радиусом кривизны оси изогнутого конуса = R.
Следовательно объём (3D) этого конуса равен одной трети объёма от 1/4 части "бублика", сеченим которого является КРУГ площадью = [tex]\pi r^{2 }[/tex].
Тор - это ДВУХ-мерная поверхность "бублика", а не его полный объём (3D), так ведь?
Значит требуется вычислить не "площадь осевого сечения", а именно площадь КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ (без учёта площади основания конуса).

[Гость]

Тор - это ДВУХ-мерная поверхность "бублика", а не его полный объём (3D), так ведь?
Значит требуется вычислить не "площадь осевого сечения", а именно площадь КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ (без учёта площади основания конуса).

Тор - поверхность, а его полный объем - "полноторие", как в википедии написано.
Равенство сечений мне было важно установить с точки зрения именно физики.
Площадь поверхности имеет значение при построении развертки, этим ещё займемся. Один пример уже есть, но мне он не особо нравится. Я другой хочу нарисовать, там-то тор и пригодится...
Поверхность интересует внутренняя, но при развертке это без разницы, толщиной материала можно принебречь.

[Rados]

Что касается материала, то об этом лучше в разделе физика.

Сделать такую модель из металла, можно не из листового металла , а из ОТРЕЗКА ТРУБЫ диаметром = 2r, изогнутую под 90 градусов по осевому радиусу = R.
У сантехников такое "тело" называется КОЛЕНО.
Наружная поверхность такого отрезка трубы - это "изогнутый ПОЛЫЙ цилиндр", то есть, площадь его боковой поверхности (2D).
Остаётся найти со-отношение 1/2 площади боковой поверхности изогнутого цилиндра и 1/2 боковой поверхности изогнутого конуса, имеющего такой же диаметр основания d = 2r. Тогда вычерчивать РАЗВЁРТКУ "кривого рога" на плоскости в 2D не обязательно!

вырезать из трубы.jpg (60.96 КБ) Просмотров: 644

[Rados]

Поверхность интересует внутренняя, но при развертке это без разницы, толщиной материала можно принебречь.

Тогда попробуйте "в натуре" ВЫВЕРНУТЬ наизнанку половину старой автомобильной покрышки, отрезать лишние части и снова сшить (или склеть) такую развёртку в виде изогнутого конуса.
Теоретически тоже "вполнее возможно", но пренебречь толщиной покрышки НЕ ПОЛУЧИТСЯ!

[Rados]

Если всё-таки использовать ТОР как вспомогательный контур, то центральная ось тора (фиолетовая линия) будет кривой линией c постоянным радиусом кривизны R = сonst. А высота "выпрямленного рога" (прямого конуса) будет определяться углом поворота плоскости сечения рога относительно плоскости, проходящей через вершину конуса. При этом радиус сечения рога r будет увеличиваться от нуля до заданной величины = 2r, то есть, будет ОГРАНИЧЕНА диаметром тора, равном диаметру основания прямого конуса.
Высота прямого конуса при изгибе до 180 градусов будет делиться на 4 равных дуги, каждая длиной = [tex]\pi[/tex]R/2. Исходя из этого легко вычислить объём каждой части рога.
А чтобы вычертить развёртку рога, разрезанного на две симметричные части по оси тора, нужно разложить половинки окружностей (красные отрезки) в каждом сечении перпендикулярно оси тора (l = [tex]\pi[/tex]хr). Полученые концевые точки будут лежать на поверхности развёртки рога по разным сторонам от оси тора. Но так как радиус кривизны у них не постоянный, то провести планую кривую линию можно не циркулем, а по лекалу.

половина развёртки рога.jpg (63.44 КБ) Просмотров: 639

Как потом в обратном порядке СОЕДИНИТЬ две таких выкройки, чтобы получить "кривой рог" - это уже ФИЗИЧЕСКИЙ процесс "в натуральном материале".