Изогнутый конус

Изогнутый конус

Сообщение Гость » Пт апр 22, 2022 10:23 am

Имеенм конус высотой h, радиус основания r. Изгибаем этот конус по дуге окружности радиусом R, так чтобы высота совпала с дугой окружности. Как найти площадь произвольного сечения данной фигуры и её объем. В какой литературе рассматриваются фигуры такого рода?
Гость
 

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Чт апр 28, 2022 2:06 pm

Фигура "такого рода" - это бараний рог или мифо-логический "Рог Изобилия"...
См. в Википедии:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0 ... 0%B8%D1%8F
бараний рог.jpg
бараний рог.jpg (23.93 КБ) Просмотров: 291
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2855
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Пт апр 29, 2022 10:38 am

Да эта фигура, точнее тело, действительно похожа на рог, только не бараний а скорее коровий. Но это не математическое определение, а хотелось бы иметь точное решение задачи и соответствующие формулы. По запросу "curved cone" в Гугле нашел вот такую картинку: https://forums.autodesk.com/t5/image/se ... bl-1&px=-1
Гость
 

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Пт апр 29, 2022 11:11 am

Появилась весьма плодотворная мысль вписать изогнутый конус в сегмент тора. Тогда, по известной формуле объема тора https://wikimedia.org/api/rest_v1/media ... 7acb407767 т.е. объем тора равен объему цилиндра, "согнутого в кольцо", объем сегмента получаем поделив эту формулу на число сегментов. Далее, известно, что объем конуса 1/3 объема цилиндра с одинаковым основанием и высотой. По аналогии, наверное, можно найти и объем изогнутого конса. Так ли это?
Гость
 

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт апр 29, 2022 3:02 pm

По аналогии, наверное, можно найти и объем изогнутого конуса. Так ли это?

Объём "рога изобилия" можно вычислить аналогично объёму конуса, только вместо высоты нужно определить длину дуги от кончика "рога" до центра основания конуса.
В Грузии есть даже такие сосуды для вина V = 0,5 л
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2855
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Пт апр 29, 2022 4:53 pm

Rados писал(а):
только вместо высоты нужно определить длину дуги от кончика "рога" до центра основания конуса.
V = 0,5 л

Именно это я и имел ввиду. А сосуды у меня такие есть - даже два, один из натурального рога быка, другой из хрусталя...
Вообще- то задача возникла при расчёте резонатора.Там ещё развёртки надо строить, хотя его поверхность относится к неразвертываемым. Спасибо за ответ, в общих чертах направлене поиска решения понятно, мне нужно было чтобы кто-нибудь покритиковал..
Гость
 

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Чт май 05, 2022 7:13 pm

tmp_4298-Curved_cone_bended_cone500135823.jpg
tmp_4298-Curved_cone_bended_cone500135823.jpg (145.18 КБ) Просмотров: 232
Вот эскиз по этой теме. Слева прямой круговой конус, вид сбоку или разрез по оси. И вид снизу. Справа тело, получаемое при изгибе этого конуса по радиусу R. Высота становится дугой окружности. Красными линиями изображен тор, в который вписан изогнутый конус. Вид с верху и разрез тора.
Гость
 

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Чт май 05, 2022 7:27 pm

Теперь, если мы будем проводить секущие плоскости, перпендикулярные плоскости рисунка, и проходящие через точку О, то все сечения изогнутого конуса будут кругами для слошного тела или окружностями для полого. Как и для тора, в который он вписан. С объемом вроде разобрались. Осталось ещё два сечения - по плоскости рисунка, оно изображено справа синими линиями. И цилиндрической поверхностью, получаемой движением окржности радиусом R, на рисунке пурпурный штрихпунктир. Очевидно, оно будет такое же как у прямого кругового конуса по оси
Гость
 

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 8:08 am

его поверхность относится к неразвертываемым

В предыдущем комментарии очень хорошо ПОКАЗАНО (графически) преобразование прямого конуса в криволинейный конус.
По объёму оба конуса получаются РАВНЫМИ, но чтобы сделать РАЗВЁРТКУ криволинейного конуса, надо его отобразить ОБРАТНО в прямой конус.
С топологической кочки зрения оба эти фигуры ГОМЕОМОРФНЫ, но при переводе графической "модели" (чертежа) в материал надо будет учитывать физические свойства самого материала, такие как "неразрывность при растяжении и сжатии"!
Если у прямого конуса ВСЕ образующие равны по длине, то у криволинейного конуса такого "уравнения" НЕ получится! Это сразу заметно на чертеже "рога внутри тора", если представить (мысленно), что это как бы разрез рога в плоскости чертежа по центральной оси тора.
Может быть, для расчётов поверхности такого криволинейного конуса необходимо перейти из декартовой (прямоугольной) системы координат - в полярную систему координат?! Тогда формулы (как математические модели) для такого "рога изобилия" будут СООТВЕТСТВОВАТЬ форме криволинейного конуса заданной кривизны (R) - на каждом из сечений такого конуса, которые представляют собой окружности и имеют переменный радиус (r) - от 0 до r - в зависимости от угла поворота плоскости сечения, проходящего через точку O перпендикулярно плоскости чертежа по радиусу R.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2855
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 8:25 am

И цилиндрической поверхностью, получаемой движением окружности радиусом R

В данном случае поверхность получится НЕ цилиндрическая, а криволинейно-КОНИЧЕСКАЯ, поэтому без перехода в полярную систему координат составить уравнение поверхности такого "рога изобилия" будет невозможно!
Подробнее см. по ссылке в Википедии:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0 ... 0%B0%D1%82
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2855
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Пт май 06, 2022 5:14 pm

Да, полярная система координат упрощает дело. В ней удобно строить различные спирали. Все образующие рассматриваемого конуса-рога будут частью дуг неких спиралей, причем не спиралей Архимеда.
Вот уж совсем неожиданный пример изогнутого конуса:Изображение. Вероятные отклонения траекторий космического аппрата.
Гость
 

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 6:15 pm

отклонения траекторий космического аппрата

Это отклонение уже ЗА пределами двухмерной геометрии Евклида. То есть (на фото?) подразумевается ТРЁХмерное (сферическое?) отображение траектории в трёхмерном пространстве Вселенной. А это уже НЕ полярные, а СФЕРИЧЕСКИЕ координаты перемещения космических ОБЪЕКТОВ.
Для решения задачки "про изогнутый конус" больше подойдёт вот такая СХЕМА, совмещённая с осями координат Декартовой системы координат, в которой ось тора показана фиолетовой окружностью с радиусом R = 1, а ось Z перпендикулярна плоскости Вашего экрана (z = 0).
Но сечение "кривого рога" МЕНЯЕТСЯ от начальной (красной) точки с диаметром d = 0 до красной сферы с d = 16r ...
А противоположные образующие конуса имеют РАЗНУЮ КРИВИЗНУ!
Причём выпуклая сторона конуса (синияя линия) получится длинее вогнутой стороны (зелёной линии). И при повороте оси сечения радиус кривизны синей линии постоянно УВЕЛИЧИВАЕТСЯ - от 1 до 2, а радиус кривизны зелёной линии наоборот УМЕНЬШАЕТСЯ - от 1 до 1/2 ...
Радис тора (кривизны фиолетовой линии) при этом остаётся постоянным R = 1...

Такая фигура шибко похожа на "змею, пожирающую собственный хвост", которую Древние греки называли Уроборос.
Вообще-то такую задачку полезно было БЫ опубликовать в разделе "Математическая задача месяца"! Потому что одно дело НАРИСОВАТЬ такую фигуру ГРАФИЧЕСКИ, а совсем другое дело - задать поверхность такой фигуры АЛГЕБРАИЧЕСКИ (в виде каких-то формул)...
В Википедии таких формул вроде бы ещё НЕТ?!!
Вложения
Уроборос.jpg
Уроборос.jpg (194.75 КБ) Просмотров: 199
криволинейный конус.jpg
криволинейный конус.jpg (57.1 КБ) Просмотров: 199
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2855
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 7:39 pm

неожиданный пример изогнутого конуса

Совсем неожиданный пример получается, если ПРОДОЛЖИТЬ увеличивать радиус R > 2
Если закрасить сечение "кривого рога", то получается криволинейная фигура (2D), площадь которой ограниченна синией спиралью, зелёной спиралью и отрезком на оси Х (от от зелёной точки до синей точки). Х = длине синего радиуса = 2R фиолетового. Площаль (2D)этого сечения можно определить по какой-то формуле...
Зелёный радиус уменьшаться > 0 уже "не способен", так ведь?! А синий радус кривизны синей дуги может увеличинастья "до бесконечности"! И тогда синяя кривая вырождается в ПРЯМУЮ ЛИНИЮ, но площадь сечения (серый цвет на схеме) будет НАКЛАДЫВАТЬСЯ "само на себя"... То есть, каждый оборот синего радиуса даёт ещё один слой (наложение по оси z)... Такая поверхность - это уже "риманова метрика", а такой "кривой рог" шибко похож (гомеоморфен?) на "улитку"!

Такая задачка для 3D-моделирования довольно интересная... :roll:
улитка.jpg
улитка.jpg (53.68 КБ) Просмотров: 198
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2855
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 7:46 pm

Риманова геометрия - см. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0 ... 0%B8%D1%8F
Конструкторы тоже иногда шутят: "Не забуду мать родную и правило буравчика"! :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2855
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Пт май 06, 2022 10:57 pm

Rados писал(а):Такая задачка для 3D-моделирования довольно интересная.

Как минимум один человек её решил в 2017 году:"Я же сконструировал "улитку" в CAD-системе, поэтому все поверхности имеют точное математическое описание. Уникальность моего корпуса в том, что ни одна из известных мне CAD-систем не позволяет построить спираль Архимеда (или подобную) штатными средствами. Пришлось выполнить крайне сложную работу. На мой взгляд, правильные улитки потому раньше никто и не делал, так как их исключительно сложно спроектировать. В результате, у меня есть твердотельная модель пригодная для обработки на 3-осевом станке с ЧПУ или выращивания на 3D-принтере."
Источник цитаты http://forum.vegalab.ru/showthread.php?t=80057
Там куча видио... Но у меня была задача попроще. Однако это инженерное решение, а если продолжать с увеличением радиуса как в вашем примере то будет уже чистая математика, абстракция.
В Википедии действительно нет соответствующих формул. Я вывожу некотырые, пока всё на бумаге, а 3D CAD у меня нет. Проблема в том, что нет общепринятого названия для обсуждаемого тела, это усложняет поиск готовых решений. Построения интересные, спасибо.
Гость
 

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 11:44 pm

нет общепринятого названия для обсуждаемого тела

Очевидно, что в различных сферах деятельности применяются различные ТЕРМИНЫ и ОПРЕДЕЛЕНИЯ, уважаемый Гость!
В топологии, например, такие "тела" называются МНОГООБРАЗИЯМИ.
А в музыкальной среде аналогичные "многообразия" называются ТРУБАМИ...
Мы здесь тоже начали дискутировать "про коровий рог", а потом перешли в ГЕОМЕТРИЮ на плоскости...
Нарисовать на листе бумаги (2D) трёхмерный криволинейный конус - действительно - очень непросто!
А найти какой-то "чисто математический" способ РАСЧЁТА всех требуемых параметров такого ИЗДЕЛИЯ можно только с помощью специальных ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ формул... То есть, такое "3D-рисование" ДАНО даже не каждому компьютеру (или продвинутому ай-тишнику)...

По-моему, сейчас ЕСТЬ даже специальные уравнения перевода формул из одной систему координат в другую, но это тоже "шибко спецефическая" ЗАДАЧА!
Гриша Перельман это УМЕЕТ делать, но на таких Форумах он вообще ничего не публикует...
Труба.jpg
Труба.jpg (31.65 КБ) Просмотров: 189
Последний раз редактировалось Rados Сб май 07, 2022 12:12 am, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2855
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 11:51 pm

Вот ещё есть аналогичные исследования - уже в сфере БИО-технологий...https://miem.hse.ru/edu/ee/selforganized_structures/
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2855
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Сб май 07, 2022 8:50 pm

Нашлось в гугле "окончательное решение" вопроса о развёртке поверхности с помощью методов начертательной геометрии Изображение. Взято отсюда:[urlhttps://studfile.net/preview/5185302/[/url]
Но алебраические методы никто не отменял, продолжаю копать в этом направлении, как закончу, напишу подробно и чертежик сделаю.
Гость
 

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Вс май 08, 2022 5:10 pm

"окончательное решение" вопроса о развёртке поверхности

Если заданный "рог изобилия" помещается во внутреннее пространство тора, то горизонтальное сечение тора и этого "рога" ДЕЛИТ поверхность тора и "рога" на две симметричные половины, так ведь?!
А если такого ограничения в условиях задачи нету, (то есть, области определения функций R и r НЕ ЗАДАНЫ), то и РЕШЕНИЙ в этой задачке может быть МНОЖЕСТВО.
На схеме Radosa сечение тора и "рога" - это ПЛОСКОСТЬ (z = 0), величина R тора (постоянная, но внешний радиус (R синего цвета) изменяется от 1 до 2, а внутренний радиус (R зелёного цвета) изменяется от 1 до 0.
Следовательно, ТОР имеет ЗАМКНУТНОЕ внутреннее пространство (объём), в который уже НЕ впишется "рог изобилия" при следующем повороте R ...

А если этот "криволинейный конус" НЕ вписывается в заданный объём тора, то тогда величина R не определена, и такая "улитка" может увеличиваться "до бесконечности"!
Гость
 

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Вс май 08, 2022 6:15 pm

такая "улитка" может увеличиваться "до бесконечности"!

При соответствующем увеличении Z такой "криволинейный конус" будет представляться как "бараний рог"...
То есть, в условиях этой "задачки" НЕТ ДАННЫХ для построения конкретной 3D-модели!

Но алебраические методы никто не отменял, продолжаю копать в этом направлении, как закончу, напишу подробно и чертежик сделаю.

Это аналогично армейской шутке - "копать от забора до обеда" ... или ещё хотя лет 5. :lol:
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 2855
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

След.

Вернуться в Стереометрия



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

cron