Трисекция угла.

Всё, что не упомянуто выше.

Трисекция угла.

Сообщение magnit31 » Сб май 27, 2017 1:05 am

Решение Трисекции угла.
1) Краткое решение.
2) Более подробное решение.
1) Краткое решение.
Никто не удосужился применить для решения Трисекции угла - известный с древних времен - Египетский треугольник.
Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. - малый катет - 3 - большой катет - 4 - гипотенуза - 5
Чертим любой произвольный угол. Произвольно циркулем отмечаем дугу. Чертим Египетский треугольник, малый катет которого, равен длине этой дуги . Тогда большой катет Египетского треугольника, будет иметь значение 133,3333.... % от малого катета. А гипотенуза 166,6666....% от малого катета, то есть стороны этого треугольника подчиняются условию отношению сторон 3:4:5. Циркулем отнимаем с большого катета 133,3333.... малый катет, получаем 33,3333....% или 1/3 длины дуги угла. Отмерим на дуге 2 раза с помощью циркуля расстояние равный 33,3333.... и отметим их точками. Эти 2 точки соединяем с началом угла - таким образом произвольный угол разделен на три абсолютно равные части.
Задача Трисекции угла решена.
magnit31
 
Сообщения: 5
Зарегистрирован: Сб май 27, 2017 1:01 am

Re: Трисекция угла.

Сообщение magnit31 » Пт июн 02, 2017 4:32 pm

Более подробное решение.
С произвольной точки А, чертим 1 луч - АВ, с правой стороны этого луча, с этой же точки проводим 2 луч - АС. Эти 2 луча образуют - произвольный угол ВАС.
Циркулем проводим на любом расстоянии от точки, дугу этого произвольного угла. Циркулем и линейкой 3 лучом делим этот угол ВАС - пополам. Точку пересечения 3 луча с дугой ВС, отмечаем точкой D, который делит дугу ВС пополам.
Дугу DС с помощью циркуля и линейки делим пополам 4 лучом.
Точку пересечения 4 луча и дуги, отмечаем точкой Е.
С помощью циркуля и линейки, делим угол ВАЕ пополам 5 лучом.
Точку пересечения 5 луча с дугой отмечаем точкой F.

С помощью линейки соединяем точки В и F - и получаем хорду ВF.
С помощью линейки соединяем точки F и Е - получаем хорду FЕ.
С помощью линейки соединяем точки Е и С - получаем хорду ЕС.
===================================================================
Отдельно, в стороне, с помощью линейки чертим горизонтальную прямую 1,
С помощью линейки и циркуля чертим перпендикулярную к этой прямой 1, вертикальную прямую 2.
Точку пересечения этих 2 прямых, обозначаем буквой О.
С точки О в правую сторону по горизонтальной прямой 1, отмеряем 4 раза хорду ЕС и конец 4 хорды отмечаем точкой, буквой М.
С точки О вверх по вертикальной прямой 2, 3 раза отмеряем хорду ЕС и конец 3-й хорды отмечаем точкой, буквой К.
С помощью линейки соединяем точки К и М и получаем треугольник ОКМ, который подчиняется условиям Египетского треугольника.
=====================================================================
С точки К этого треугольника ОКМ, вниз по вертикально прямой 2, отмерим циркулем последовательно хорды ВF, FE и EC.
Конец 3-й хорды ЕС, отметим точкой, буквой О1.
С помощью циркуля и линейки строим горизонтальную,перпендикулярную прямой 2 прямую 3, проходящуюся через точку О1.
Гипотенузу треугольника ОКМ - КМ, продлеваем до пересечения с этой горизонтальной прямой 3 и точку их пересечения отмечаем буквой М1.
Полученный таким образом треугольник О1 К М1, тоже подчиняется условиям Египетского треугольника.
=======================================================================
С помощью циркуля на стороне О1 М1 этого треугольника,отмерим длину равную стороне О1 К и отметим точкой, буквой N.
Циркулем отмерим длину отрезка NM1 и на дуге ВС угла ВАС, 2 раза отмерим его начиная с точки В. Первую точку отмера обозначим буквой X, вторую буквой Y. Линейкой соединим эти 2 точки X и Y с началом угла ВАС .
Таким образом произвольный угол ВАС, разделен на 3 равные части - это углы ВАX,XAY и YAC.
magnit31
 
Сообщения: 5
Зарегистрирован: Сб май 27, 2017 1:01 am

Re: Трисекция угла.

Сообщение magnit31 » Вт июн 13, 2017 5:42 pm

magnit31 писал(а):Решение Трисекции угла.
1) Краткое решение.
2) Более подробное решение.
1) Краткое решение.
Никто не удосужился применить для решения Трисекции угла - известный с древних времен - Египетский треугольник.
Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. - малый катет - 3 - большой катет - 4 - гипотенуза - 5
Чертим любой произвольный угол. Произвольно циркулем отмечаем дугу. Чертим Египетский треугольник, малый катет которого, равен длине 3 ХОРД этой дуги . Тогда большой катет Египетского треугольника, будет иметь значение 133,3333.... % от малого катета. А гипотенуза 166,6666....% от малого катета, то есть стороны этого треугольника подчиняются условию отношению сторон 3:4:5. Циркулем отмерим с большого катета 133,3333.... малый катет, получаем 33,3333....% или 1/3 длины дуги угла. Отмерим на дуге 2 раза с помощью циркуля расстояние равный 33,3333.... и отметим их точками. Эти 2 точки соединяем с началом угла - таким образом произвольный угол разделен на три абсолютно равные части.
Задача Трисекции угла решена.
magnit31
 
Сообщения: 5
Зарегистрирован: Сб май 27, 2017 1:01 am

Re: Трисекция угла.

Сообщение Гость » Сб июн 17, 2017 11:54 am

При всём уважения, Ваше решение о трисекции угла неправильно. Всё дело в том, что Вы делите хорду дуги угла на трёх равных частей, а не самой дуги. Разделив таким образом хорду на трёх равных частей и проводя из вершины угла полупрямые к точкам деления, получим точки на дуги, которые делят дуги угла на трёх частей - две части из них (по концам) равные, а третья (по середине) отличается от них по длине. Даже при грубом наброске на бумаги, это хорошо видно.
С уважением: С. Александров deltasasa@yandex.com
Гость
 

Re: Трисекция угла.

Сообщение magnit31 » Сб июн 17, 2017 12:09 pm

3 хорды - 3/8 + 3/8 + 1/4
Погрешность у меня получается в разнице сумме Хорд;
2.0521208599540122-2.0483718196654007 = 0.0037490402886115
На сегодняшний день - это решение ТУ -с самой малой погрешностью.
magnit31
 
Сообщения: 5
Зарегистрирован: Сб май 27, 2017 1:01 am

Re: Трисекция угла.

Сообщение Гость » Вс июн 18, 2017 4:05 pm

:!: Я решил общий случай, а не трисекцию - N- секцию острого (и не только) угла для нечётных N=2K+1 ! Алгоритм на удивление изящен и прост, что и требовалось доказать, сейчас продолжаю проверять и перепроверять его.Вы все просто не там вообще копаете, друзья! :!:
Гость
 

Re: Трисекция угла.

Сообщение magnit31 » Вс июн 18, 2017 4:23 pm

Удачи !!!
magnit31
 
Сообщения: 5
Зарегистрирован: Сб май 27, 2017 1:01 am

Re: Трисекция угла.

Сообщение Гость » Пн июн 19, 2017 9:38 pm

N-секция оказалась ошибкой, но готовлю алгоритм трисекции угла классическими построениями циркулем и линейкой без меток методом последовательных приближений, неминуемо достигающих цели, это реально и довольно просто. На практике оказывается важной острота зрения и аккуратность чертежа.Есть ли уже такое решение не изучал, не знаю.
Гость
 

Re: Трисекция угла.

Сообщение Гость » Ср ноя 08, 2017 9:34 am

Я могу поделить циркулем и линейкой (без меток) угол 60 градусов с точностью синуса и косинуса 6 знаков после запятой. A уже с помощью угла в 20 градусов (с отмеченной точностью) можно построить много других углов. Например угол в 1 и 2 градуса используя угол 18 градусов который легко строится циркулем и линейкой(без меток). Но это кому-то нужно?.
Гость
 

Re: Трисекция угла.

Сообщение Andy » Чт ноя 09, 2017 10:44 am

Если верить этой статье, то задача решена в общем виде. :o
Аватара пользователя
Andy
 
Сообщения: 390
Зарегистрирован: Вт июл 29, 2014 6:24 pm
Откуда: Республика Беларусь, Минск

Re: Трисекция угла.

Сообщение Гость » Вт сен 25, 2018 5:45 pm

Вот верное решение трисекции. Все просто и точно
Гость
 

Re: Трисекция угла.

Сообщение Гость » Ср май 13, 2020 3:51 am

Я аналитически показываю, почему циркулем и линейкой не найти координаты важных точек. Формулы точные и полезны при автоматизированном построении схемы Архимеда


Изображение
Гость
 

Re: Трисекция угла.

Сообщение Rados » Ср май 13, 2020 10:34 am

Решение Трисекции угла.
1) Краткое решение.
2) Более подробное решение.


1. Краткое решение: С помощью циркуля и линейки эта задача не решается, потому что "разделить на три" можно только ТО, что "составлено из трёх частей": 1 + 1 + 1 = 3/1.Одна третья часть Единицы (в десятичной системе счёта) представляет собой периодическую БЕСКОНЕЧНУЮ дробь =
0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333.
А три целых ТРОЙКИ в ДЕСЯТКУ укладываются "свободно", но полную десятку НЕ СОСТАВЛЯЮТ: 3/10 + 3/10 + 3/10 = 9/10 ... 0,3 + 0,3 + 0,3 = 0,9
2. Общее техническое решение: деление ЛЮБОГО угла на три равные части производится простым измерением значения угла в градусах и делением этого числа на три - с помощью вычислительной ТЕХНИКИ: арифмометра, калькулятора или современного компьютера. При этом необходимая точность ЗАДАЁТСЯ "количеством знаков после запятой"...

Например:
Никто не удосужился применить для решения Трисекции угла - известный с древних времен - Египетский треугольник

Задаём компьютеру "задание": нарисовать полуокружность диаметром D=5d. От одного конца диаметра провести дугу = 4d, а от другого конца дугу - 3d.
Обе дуги пересекутся с полуокружностью в ОДНОЙ ТОЧКЕ, при этом угол между ними будет непременно ПРЯМЫМ углом = 90 градусов ... только "по Пифагору", а не по Цельсию!
Далее просто "даём задание" компьютеру ИЗМЕРИТЬ два других угла полученного "египетского" треугольника и разделить ЧИСЛО градусов на 3 с точностью "до сотых градуса". Проверяем сумму углов в "египетском" треугольнике: 90,00 + 52,05 + 37,95 = 180,00.
При этом значение КАЖДОГО из углов ДЕЛИТСЯ на 3.
Записываем значение градусов в десятичном виде:
52,05 : 3 = 17,35
37,95 : 3 = 12,65

Задача решена "с точностью до 1% = 1/100.
"А кто не верит - пусть проверит"...
;)

ТРИ-секция на плоскости - это по сути "деление СЕКТОРА" на три равные части. Единицы измерения при этом различаются тем, что в одном случае - это градусы (часть ОКРУЖНОСТИ), а в другом случае (в треугольнике) - это ЛИНЕЙНЫЕ сотношения прямых ОТРЕЗКОВ.
Вложения
ТриСЕКЦИЯ угла.jpg
ТриСЕКЦИЯ угла.jpg (60.35 КБ) Просмотров: 2894
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Трисекция угла.

Сообщение Rados » Сб май 16, 2020 6:56 pm

Andy писал(а):Если верить этой статье, то задача решена в общем виде. :o

Если "задача РЕШЕНА в общем виде", то такие построение возмжны для ЛЮБОГО угла!
Цитирую Автора этого решения:
«На математических сайтах я читал, что многие до сих пор пытаются решить эту задачу и, не скрою, конкуренция здорово подстегивала. На сегодняшний день доказано, что хотя трисекция угла в общем случае невыполнима с помощью циркуля и линейки — существуют кривые, с помощью которых это построение выполнить можно: улитка Паскаля или трисектриса, конхоида Никомеда, конические сечения, спираль Архимеда, а также при построении с помощью плоского оригами. Мне же хотелось придерживаться условий задачи. И тогда я обратился к Теореме Морлея и попробовал решить задачу через окружность Ламуна, но, к сожалению, достиг тупиковой ветви, и тогда мне пришла в голову идея воспользоваться доказательством Гильберта с помощью гиперболы Киперта и правилом третьего круга», — рассказал Акылбек.
(конец цитаты)...

МОЛОДЕЦ АКЫЛБЕК!
Архимед и его последователи ПЫТАЛИСЬ решать эту простую задачку "с помощью циркуля и линейки", а Высшие Математики "решили", что ТАКОГО решения у этой задачи НЕТУ! Акылбек им не поверил и решил ПРОВЕРИТЬ САМ!
Теперь математики будут ВЫНУЖДЕНЫ проверять Акылбека, чтобы ОПРОВЕРГНУТЬ его решение или НАЙТИ какую-нибудь ОШИБКУ!
Но если ПОКАЗАТЬ "проверяющим" НЕСКОЛЬКО вариантов трисекции угла на компьютере, то это также будет подвергнуто СОМНЕНИЮ, потому что ...... "в условиях задачи Великого Архимеда было СКАЗАНО, это надо сделать с помощью циркуля и линейки" ... а не с помощью вычислительной ТЕХНИКИ!
Последний раз редактировалось Rados Сб май 16, 2020 9:45 pm, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Трисекция угла.

Сообщение Rados » Сб май 16, 2020 7:23 pm

Трисекция ПРЯМОГО УГЛА ни у кого не вызывается сомнения - это уже как бы "аксиома" 90 : 3 = 30
Половина прямого угла тоже легко делитСЯ на три "в цифровом виде":
45 : 3 = 15
В общем виде это деление можно записать как последовательность:
... 2[tex]\pi[/tex] ... [tex]\pi[/tex] ... 1/2[tex]\pi[/tex] ... 1/4[tex]\pi[/tex] ... и тд ...
Но почему НЕЛЬЗЯ разделить эти "половинки" ещё на три???
... 2/3 [tex]\pi[/tex] ... 1/3[tex]\pi[/tex] ... 1/6[tex]\pi[/tex] ... 1/12[tex]\pi[/tex] ... [tex]\pi[/tex]цу же МОЖНО так делить? ;)

Но это требуется ПОКАЗАТЬ ГРАФИЧЕСКИ, а не делением "числа ПИ" на НЕчётное количество "едоков" ... к тому же "в десятичной системе счёта"!
Компьютер "про пицу" ничего НЕ ЗНАЕТ, поэтому попробуем дать ему задание сделать ТРИСЕКЦИЮ на экране монитора:
Вложения
Трисекция 45.jpg
Трисекция 45.jpg (58.55 КБ) Просмотров: 2850
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Трисекция угла.

Сообщение Rados » Сб май 16, 2020 7:30 pm

[tex]\pi[/tex] : 4 делится на ТРИ - это ФАКТ!!!
А если взять ПРОИЗВОЛЬНЫЙ угол Х[tex]\pi[/tex]:3 ... тогда ПРОВЕРИТЬ "градусами" не получается?
Но ведь задача-то РЕШЕНА?!!

А кто не верит - пусть ПРОВЕРИТ ;)
Вложения
Трисекция 34.40.4.jpg
Трисекция 34.40.4.jpg (47.7 КБ) Просмотров: 2849
Трисекция 34.jpg
Трисекция 34.jpg (52.26 КБ) Просмотров: 2849
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Трисекция угла.

Сообщение Rados » Сб май 16, 2020 9:24 pm

Вот пожалуйста - ещё один вариант трисекции угла, который меньше [tex]\pi[/tex]!
Делается это ТАК:
1. Пересекаем оба луча окружностью с центром в вершине этого угла - получаем две точки.
2. Соединяем эти точки отрезком прямой и используем его как ДИАМЕТР второй окружности.
3. Делим эту окружность ТРЕМЯ диаметрами на 6 равных секторов - получаем точки 1...2...3 ... 4 ...2* ... 3*.
4. Точки 2 и 3 делаем "шарнирами", а точки 2* и 3* соединяем вместе!
5. На первой окружности отмечаем искомые точки, которые делят дугу (1-4) ровно на три части (1-2) + (2-3) + (3-4).

Величину угла "в градусах" при этом вычислять НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО!
Вложения
Трисекция ЛЮБОГО m 180.jpg
Трисекция ЛЮБОГО m 180.jpg (59.09 КБ) Просмотров: 2845
Трисекция ЛЮБОГО.jpg
Трисекция ЛЮБОГО.jpg (54.07 КБ) Просмотров: 2846
Последний раз редактировалось Rados Сб май 16, 2020 9:52 pm, всего редактировалось 3 раз(а).
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Трисекция угла.

Сообщение Rados » Сб май 16, 2020 9:34 pm

Аналогичные задачки мы решали на первом курсе Архитектурного факультета ЦСХИ - на факультативных занятиях по Начертательной Геометрии.
Преподаватель - Леонид Моисеевич Куперштох иногда "про это" даже стихи сочинял:
"Точки вездесущие по Октантам рыщут! Плоскости секущие себе тело ищут!" ... (дальше не помню)...
А его поговорку запомнил на всю жизнь: "А кто не верит - пусть проверит!" ;)
Аватара пользователя
Rados
 
Сообщения: 3558
Зарегистрирован: Вт ноя 20, 2018 8:36 am
Откуда: РОССИЯ

Re: Трисекция угла. Точное решение.

Сообщение Гость » Чт янв 20, 2022 9:42 pm

Представим себе пространственную систему, состоящую из вертикального отрезка АВ прямой, перпендикулярной ему прямой "a", отходящей от его нижнего конца "А", и двух перпендикулярных ему прямых лучей "b" и "c",исходящих из точки "B". Для упрощения последующих построений допустим, что проекция прямой "a" совпадает с гипотенузой "e" угла "Ǫ", между лучами "b"и "c". Теперь пусть линии "a" и "b", а также "a" и "c" попарно являются направляющими для образующих - отрезков прямых "ki" и "li", порождающих линейчатые боковые поверхности (не плоскости!) "F" и"G", которые в сечениях плоскостями "Vi", перпендикулярных прямой
"a", дают углы с вершинами на прямой "a" , по своей величине непрерывно увеличивающиеся по мере удаления от отрезка "AB".
Теперь на отдельных рисунках построим два угла: один "Ǫ1"- заданный, и второй "Ǫ2"-вспомогательный, построенный произвольно, как тройной, т.е., состоящий из трёх одинаковых углов "ɤ" На основании углов "Ǫ1" и "Ǫ2" строим равнобедренные треугольники высотой h=AB с основаниями соответственно "MN" и"PR". На основании PR отмечаем точки "S" и "T", разделяющие основания треугольников "APS", "АST" и "ATR" с равными углами "ɤ " при вершинах.
Следующий шаг на пути к решению - построение горизонтальных проекций треугольников, изображённых на рис. 2а и 2б. При этом предположим, что треугольники эти совпадают с сечениями пространственной конструкции, изображённой на рис.1, некими плоскостями "V1" и "V2", т.е., единственно возможное положение определяется длиной оснований. Получаем (см. рис 3) два тех же основания"NM" и "PR" уже ещё и других горизонтально
расположенных треугольников с общей вершиной в точке, определяющей горизонтальную проекцию прямой "AB" ("ABI "). На отрезок "PR" переносим точки "T" и "S". Теперь из "ABI " ) проводим лучи через точки "S" и "T", пересекая ими прямую "NM", получая на ней точки "X" и "Y".
Заключительный этап получения окончательного результата - перенос точек "X" и "Y" на основание "MN" треугольника с заданным углом "Ǫ1" при вершине. Они и будут определять положение лучей, делящих заданный угол "Ǫ1" на три равные части аналогично точкам "S" и "T" в случае вспомогательного угла "Ǫ2" .
При решении этой задачи использован приём преобразований, которые можно было бы назвать МЕТОДОМ НЕПОЛНОГО ПОДОБИЯ. Суть его в следующем.
Как известно, геометрическое подобие состоит, практически, лишь в изменении масштаба изображения. При этом, изменяются (в одинаковой степени увеличиваются или уменьшаются) все без исключения размеры по обеим осям (X и Y) , кроме угловых. Но, в принципе возможно и преобразование с изменением размеров лишь по одной из этих осей. При этом, изменение масштаба происходит, всего лишь, по одной из двух осей, но оно «контролируемое» и обратимое (т.е., может быть возвращённым в исходное состояние. В таком случае может быть получено т.н. НЕПОЛНОЕ ПОДОБИЕ фигуры. Это легче уяснить, если представить себе такие пары, составленные по принципу «фигура – неполное подобие», как «квадрат – ромб», «прямоугольник – параллелепипед», «окружность – эллипс» и др. Вероятно, особое место в такой системе занимает пара «угол – угол». Преобразование такого типа и реализуется с использованием пространственной системы осей, приведённой на рис.1.
В заключение можно отметить следующее.
1 Подбором параметров конструкции из отрезка "AB" и лучей "a", "b", "c" и величины вспомогательного угла "ɤ " можно обеспечить оптимальные условия для графических построений при различных значениях заданного для трисекции угла.
2 Очевидно, что приведённый способ пригоден для получения точных графических решений при выполнении задач на деление заданного угла на, практически, любое количество равных частей или на разделение того же угла на определённое количество частей, находящихся в заданном их соотношении.
Гость
 

Re: Трисекция угла. Точное решение.

Сообщение Гость » Чт янв 20, 2022 10:00 pm

Гость писал(а):Представим себе пространственную систему, состоящую из вертикального отрезка АВ прямой, перпендикулярной ему прямой "a", отходящей от его нижнего конца "А", и двух перпендикулярных ему прямых лучей "b" и "c",исходящих из точки "B". Для упрощения последующих построений допустим, что проекция прямой "a" совпадает с гипотенузой "e" угла "Ǫ", между лучами "b"и "c". Теперь пусть линии "a" и "b", а также "a" и "c" попарно являются направляющими для образующих - отрезков прямых "ki" и "li", порождающих линейчатые боковые поверхности (не плоскости!) "F" и"G", которые в сечениях плоскостями "Vi", перпендикулярных прямой
"a", дают углы с вершинами на прямой "a" , по своей величине непрерывно увеличивающиеся по мере удаления от отрезка "AB".
Теперь на отдельных рисунках построим два угла: один "Ǫ1"- заданный, и второй "Ǫ2"-вспомогательный, построенный произвольно, как тройной, т.е., состоящий из трёх одинаковых углов "ɤ" На основании углов "Ǫ1" и "Ǫ2" строим равнобедренные треугольники высотой h=AB с основаниями соответственно "MN" и"PR". На основании PR отмечаем точки "S" и "T", разделяющие основания треугольников "APS", "АST" и "ATR" с равными углами "ɤ " при вершинах.
Следующий шаг на пути к решению - построение горизонтальных проекций треугольников, изображённых на рис. 2а и 2б. При этом предположим, что треугольники эти совпадают с сечениями пространственной конструкции, изображённой на рис.1, некими плоскостями "V1" и "V2", т.е., единственно возможное положение определяется длиной оснований. Получаем (см. рис 3) два тех же основания"NM" и "PR" уже ещё и других горизонтально
расположенных треугольников с общей вершиной в точке, определяющей горизонтальную проекцию прямой "AB" ("ABI "). На отрезок "PR" переносим точки "T" и "S". Теперь из "ABI " ) проводим лучи через точки "S" и "T", пересекая ими прямую "NM", получая на ней точки "X" и "Y".
Заключительный этап получения окончательного результата - перенос точек "X" и "Y" на основание "MN" треугольника с заданным углом "Ǫ1" при вершине. Они и будут определять положение лучей, делящих заданный угол "Ǫ1" на три равные части аналогично точкам "S" и "T" в случае вспомогательного угла "Ǫ2" .
При решении этой задачи использован приём преобразований, которые можно было бы назвать МЕТОДОМ НЕПОЛНОГО ПОДОБИЯ. Суть его в следующем.
Как известно, геометрическое подобие состоит, практически, лишь в изменении масштаба изображения. При этом, изменяются (в одинаковой степени увеличиваются или уменьшаются) все без исключения размеры по обеим осям (X и Y) , кроме угловых. Но, в принципе возможно и преобразование с изменением размеров лишь по одной из этих осей. При этом, изменение масштаба происходит, всего лишь, по одной из двух осей, но оно «контролируемое» и обратимое (т.е., может быть возвращённым в исходное состояние. В таком случае может быть получено т.н. НЕПОЛНОЕ ПОДОБИЕ фигуры. Это легче уяснить, если представить себе такие пары, составленные по принципу «фигура – неполное подобие», как «квадрат – ромб», «прямоугольник – параллелепипед», «окружность – эллипс» и др. Вероятно, особое место в такой системе занимает пара «угол – угол». Преобразование такого типа и реализуется с использованием пространственной системы осей, приведённой на рис.1.
В заключение можно отметить следующее.
1 Подбором параметров конструкции из отрезка "AB" и лучей "a", "b", "c" и величины вспомогательного угла "ɤ " можно обеспечить оптимальные условия для графических построений при различных значениях заданного для трисекции угла.
2 Очевидно, что приведённый способ пригоден для получения точных графических решений при выполнении задач на деление заданного угла на, практически, любое количество равных частей или на разделение того же угла на определённое количество частей, находящихся в заданном их соотношении.

Автор: к.т.н. Кудрявцев Геннадий Фёдорович
Гость
 

След.

Вернуться в Геометрия



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2