Великая теорема Ферма
Формула Великой теоремы Ферма третьей степени:
[tex]A^3+B^3=C^3[/tex] (1)
Представим числа [tex]A, B, C[/tex] как сумму задаваемого натурального числа [tex]x[/tex] и неизвестных натуральных чисел [tex]a, b, c[/tex] соответственно, при которых формула (1) является равенством:
[tex]A=x+a; B=x+b; C=x+c[/tex]
Подставим эти соотношения в формулу (1):
[tex](x+a)^3+(x+b)^3=(x+c)^3[/tex] (2)
После преобразования формулы (2) получим:
[tex]2x^3+3(a+b)x^2+3(a^2+b^2)x+(a^3+b^3)=x^3+3cx^2+3c^2x+c^3[/tex] (3)
В левой и правой части формулы (3) находятся многочлены, заданные в канонической форме. В соответствии с теоремой о равенстве многочленов, для того чтобы заданные в канонической форме два многочлена были равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты их членов, содержащие число [tex]x[/tex] в одинаковых степенях, т. е. подобных членов.
Из формулы (3) следует, что подобные члены в сравниваемых многочленах, несмотря на неизвестность чисел [tex]a, b, c,[/tex] имеют разные коэффициенты. Следовательно, формула (3) не является равенством. Соответственно, формулы (2) и (1) также не являются равенствами.
Таким образом, уравнение Великой теоремы Ферма третьей степени не имеет решения в натуральных числах.
Аналогичным способом выполняется доказательство Великой теоремы Ферма для любого показателя степени.