ДОКАЗАТЕЛЬСТВО BЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Уравнение Великой теоремы Ферма запишем уравнение следующим образом:
[tex]a^n=(b+x)^n-b^n[/tex] (1)
Здесь: [tex]b,x[/tex] – заданные взаимно простые числа; [tex]b[/tex] – четное число; [tex]x[/tex]- нечетное число; [tex]a[/tex]– если целое, то нечетное число, взаимно простое с числами [tex]b[/tex], [tex](b+x)[/tex]
Для упрощения доказательства рассмотрим частный случай:
[tex]a^3=(b+x)^3-b^3[/tex] (2)
После преобразования уравнения (2) получим:
[tex]a^3=x(3b^2+3bx+x^2)[/tex] (3)
Трехчлен в скобках не делится на число [tex]x[/tex]. Следовательно, если [tex]a[/tex] целое число, то число [tex]a^3[/tex] должно делиться на число [tex]x.[/tex] Это возможно только в том случае, если:
[tex]a=kx[/tex] (4)
Тогда, подставив значение числа [tex]a[/tex] из равенства (4) в формулу (3) и произведя преобразования, получим:
[tex]k^3x^2 =(3b^2+3bx+x^2)[/tex] (5)
Из анализа формулы (5) следует, что трехчлен в скобках не делится на число [tex]x^2[/tex]. Следовательно, формула (5) не является равенством при условии, что выполняется равенство (4), и что число [tex]a[/tex] является целым числом:
[tex]k^3x^2 \ne(3b^2+3bx+x^2)[/tex] (6)
Следовательно, уравнение Великой теоремы Ферма третьей степени не имеет решения в целых числах.
Аналогичным методом выполняется доказательство для любого показателя степени. Таким образом, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в целых числах для любой степени.