Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
Уравнение Великой теоремы Ферма запишем следующим образом:
[tex]x^n+a^n=(x+b)^n[/tex] (1)
Здесь: [tex]x[/tex]- переменная величина; [tex]a, b[/tex]- натуральные числа.
Для удобства изложения материала двучлен в левой части формулы (1) обозначим следующим образом:
[tex]x^n+a^n=D[/tex] (2)
Бином [tex](x+b)^n[/tex]делиться без остатка на двучлен [tex](x+b)[/tex]. Двучлен [tex]D[/tex], если формула (1) является равенством, также должен делиться без остатка на двучлен [tex](x+b)[/tex], при этом частное от деления должно быть равно [tex](x+b)^{n-1}[/tex]. Если двучлен [tex]D[/tex] делится на двучлен [tex](x+b)[/tex]с остатком, то формула (1) не является равенством, при этом остаток от деления в соответствии с теоремой Безу будет представлять собой двучлен нулевой степени, т.е. некоторое число [tex]Q[/tex]. Это число равно тому значению двучлена [tex]D[/tex], которое он получает при [tex]x=-b.[/tex] Подставляя это значение числа [tex]x[/tex] в двучлен [tex]D[/tex], получим:
[tex]Q=(-b)^n+a^n\ne 0[/tex] (3)
Остаток не равен нулю. Следовательно, формула (1) не является равенством:
[tex]x^n+a^n\ne(x+b)^n[/tex] (1)
Таким образом, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в натуральных числах при любых показателях степени.