Сколько членов прогрессии надо взять?

[Гость]

Сумма первых 3 членов геометрической прогрессии, все члены которой — положительные числа, равна 21. Третий член прогрессии больше первого на 9. Сколько членов этой прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равна 189?

[Andy]

Составьте сначала два уравнения, которые следуют из условия задачи.

[Евва]

Геом. прогрессия [tex]a_{1 } ; a_{2 } ; a_{3}[/tex] ; ... [tex]a_{n }[/tex] ; ...
[tex]a_{1 }[/tex]>0 и q>0
Из идеи Andy .
[tex]\begin{array}{|l} a_{1 } + a_{2 }+ a_{3 } = 21 \\ a_{3 } = a_{1 }+9 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a_{1 }+ a_{1 }q + a_{1 } q^{2 } = 21 \\ a_{1 } q^{2 } = a_{1 } +9 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a_{1 }+ a_{1 }q + a_{1 } q^{2 } = 21 \\ a_{1 } = \frac{9}{ q^{2 }-1 } \end{array}[/tex] (Мы заменяем)

[tex]\frac{9}{ q^{2 } -1}[/tex]+[tex]\frac{9q}{ q^{2 } -1}[/tex]+[tex]\frac{9 q^{2 } }{ q^{2 } -1}[/tex]=[tex]\frac{21}{1}[/tex]

9+9q+9[tex]q^{2 }[/tex]=21[tex]q^{2 }[/tex]-21

12[tex]q^{2 }[/tex]-9q-30 =0 ; D=81+1440=1521=[tex]39^{2 }[/tex]

[tex]q_{1 ,2}[/tex]=[tex]\frac{9 \pm 39}{2.12}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]q_{1 }[/tex]=2 , [tex]q_{2 }[/tex]= -[tex]\frac{30}{24}[/tex] <0 выпадают

q=2 ; Мы возвращаемся к [tex]a_{1 }[/tex]=[tex]\frac{9}{ q^{2 } -1 }[/tex]

[tex]a_{1 }[/tex]=[tex]\frac{9}{ 2^{2 }-1 }[/tex]= 3

Тогда геом. прогрессия будет 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ; 96 ; ...

3+6+12+24+48+96 =189

Подряд надо взять 6 членов .