Первый замечательный предел в градусах

[Гость]

Здравствуйте.
Наткнулся недавно на обсуждение темы первого замечательного предела для синуса, выраженного в градусах. Как известно, в классическом варианте этот предел доказывается через длину дуги и, как следствие, может считаться доказанным для функций, выраженных в радианах. Но поскольку он уже доказан для радиан, разве нельзя считать его доказанным и для градусов. Если градусная мера угла стремится к нулю, разве не будет весь предел стремиться к единице? В конце концов, в точке x = 0 разрыва не существует (то есть переменная x не просто стремится к нулю, а вполне им является), и если на графике подпредельной функции просто заменить радианы на градусы, то не изменится ничего.
Объясните, пожалуйста.

[Andy]

Наткнулся недавно на обсуждение темы первого замечательного предела для синуса, выраженного в градусах.

Где именно, если не секрет, обсуждалась такая тема?

[Гость]

Наткнулся недавно на обсуждение темы первого замечательного предела для синуса, выраженного в градусах.

Где именно, если не секрет, обсуждалась такая тема?

На форуме dxdy. Ответ получился π/180. Но если положить π = 180°, то ведь всё равно выходит единица.

[Andy]

А что должно получиться в пределе, по-Вашему?

[Prorab]

Вся путаница рождается из того, что мы называем одним словом «синус» две разные функции. sin(x) в матанализе — это функция, у которой производная в нуле равна единице по определению (через ряд, через дифференциальное уравнение, через длину дуги — неважно). Градусная мера — это уже функция f(x) = sin(πx/180), и у неё производная в нуле — π/180.

Первый замечательный предел — это не свойство «угла вообще», а следствие конкретного выбора масштаба, при котором производная синуса обращается в единицу. Радиан — единственная единица, где это так, потому что радиан определяется через эту единицу. В градусах матанализ был бы возможен, но все формулы несли бы лишний множитель π/180 — именно поэтому радиан «естественнее», а не наоборот. Мы не доказываем предел для радиан, мы строим теорию так, чтобы он был единицей.