Нахождение предела

Нахождение предела

Сообщение biathlonworld01 » Пн окт 22, 2018 6:28 pm

Помогите,пожалуйста доказать, что предел существует и найти его...
[tex]\lim_{n \to \infty}sin sin sin...sin1[/tex], где sin употребляется n раз
biathlonworld01
 
Сообщения: 5
Зарегистрирован: Пн окт 22, 2018 6:22 pm

Re: Нахождение предела

Сообщение Andy » Пн окт 22, 2018 7:51 pm

Может быть, нужно попробовать сначала доказать монотонность и ограниченность этой последовательности, задав её рекуррентно? Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Аватара пользователя
Andy
 
Сообщения: 353
Зарегистрирован: Вт июл 29, 2014 6:24 pm
Откуда: Республика Беларусь, Минск

Re: Нахождение предела

Сообщение biathlonworld01 » Ср окт 24, 2018 7:09 am

Andy писал(а):Может быть, нужно попробовать сначала доказать монотонность и ограниченность этой последовательности, задав её рекуррентно? Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Да, если последовательность сходится,то она, как известно, имеет предел. Только как его найти понять пока не могу, ведь sin-ограниченная функция, и у меня нет старшей степени, на которую я могла бы разделить выражение
biathlonworld01
 
Сообщения: 5
Зарегистрирован: Пн окт 22, 2018 6:22 pm

Re: Нахождение предела

Сообщение Andy » Ср окт 24, 2018 4:37 pm

Рассматриваемая последовательность ограничена сверху числом [tex]\sin{1};[/tex] она монотонно убывает, оставаясь при этом положительной, и ограничена снизу числом [tex]0.[/tex] Значит, у неё должен существовать предел, расположенный на отрезке [tex][0,~\sin{1}].[/tex]

Понятно, что рассматриваемая последовательность задаётся формулами [tex]a_1=\sin{1},~a_{n+1}=\sin{a_n}.[/tex] При переходе к пределу если [tex]a_n \to 0,[/tex] то и [tex]a_{n+1} \to 0.[/tex] Значит, в силу единственности предела искомый предел равен нулю.

Указанные мной выше рассуждения. возможно, нуждаются в уточнениях, но, думаю, идейно верны. Их я имел в виду, взявшись ответить Вам.
Аватара пользователя
Andy
 
Сообщения: 353
Зарегистрирован: Вт июл 29, 2014 6:24 pm
Откуда: Республика Беларусь, Минск

Re: Нахождение предела

Сообщение biathlonworld01 » Ср окт 24, 2018 7:40 pm

Andy писал(а):Рассматриваемая последовательность ограничена сверху числом [tex]\sin{1};[/tex] она монотонно убывает, оставаясь при этом положительной, и ограничена снизу числом [tex]0.[/tex] Значит, у неё должен существовать предел, расположенный на отрезке [tex][0,~\sin{1}].[/tex]

Понятно, что рассматриваемая последовательность задаётся формулами [tex]a_1=\sin{1},~a_{n+1}=\sin{a_n}.[/tex] При переходе к пределу если [tex]a_n \to 0,[/tex] то и [tex]a_{n+1} \to 0.[/tex] Значит, в силу единственности предела искомый предел равен нулю.

Указанные мной выше рассуждения. возможно, нуждаются в уточнениях, но, думаю, идейно верны. Их я имел в виду, взявшись ответить Вам.

Огромное Вам спасибо за решение и такое подробное объяснение! Я очень Вам благодарна, что помогли мне разобраться в данном вопросе...спасибо ещё раз!
biathlonworld01
 
Сообщения: 5
Зарегистрирован: Пн окт 22, 2018 6:22 pm


Вернуться в Пределы (lim)



cron