Раскрытие неопределенностей по Фихтенгольцу (стр.65)

Раскрытие неопределенностей по Фихтенгольцу (стр.65)

Сообщение Гость » Чт окт 12, 2017 11:06 am

Интуитивно понятно, но хотелось бы понять формально почему из того что 1/n(^1-k) стремится к 0 следует что и "подавно" [tex](n+1)^k - n^k[/tex] стремится к 0. Объясните, пжал-ста кто нибудь.
Гость
 

Re: раскрытие неопределенностей по Фихтенгольцу (стр.65)

Сообщение nathi123 » Чт окт 12, 2017 12:38 pm

Потому что [tex]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}.\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{2}}=...\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{k}}=0[/tex].
k<0; [tex]n^{k}=\frac{1}{n^{-k}}\Rightarrow[/tex]
[tex]A= \lim_{n \to \infty}[(n+1)^{k}-n^{k}]=\lim_{n \to \infty}n^{k}[(1+\frac{1}{n})-1]=\lim_{n \to \infty}n^{k}.\frac{1}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^{-k}}.\frac{1}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{1-k}}=0[/tex].
Всегда рада помочь.
nathi123
 
Сообщения: 54
Зарегистрирован: Пт июл 07, 2017 7:40 pm

Re: раскрытие неопределенностей по Фихтенгольцу (стр.65)

Сообщение Гость » Чт окт 12, 2017 1:47 pm

Прошу прощения, но что то я не "догоняю" (n+1)^k - n^k ведь не равно n^k (1- 1/n +1) почему же пределы приравниваются?
Гость
 

Re: раскрытие неопределенностей по Фихтенгольцу (стр.65)

Сообщение nathi123 » Чт окт 12, 2017 8:40 pm

Преобразуем так : [tex](n+1)^{k}=[n(1+\frac{1}{n})]^{k}=n^{k}(1+\frac{1}{n})^{k}\Rightarrow[/tex]
[tex]0 <( n+1)^{k}-n^{k}=n^{k}[(1+\frac{1}{n})^{k}-1]; (1+\frac{1}{n})^{k}=(\frac{n+1}{n})^{k}<(\frac{n+1}{n})^{1}[/tex] потому что [tex]\frac{n+1}{n}>1; k<0<1[/tex].
[tex]\lim_{n \to \infty}[( n+1)^{k}-n^{k}]=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{-k}}.\frac{1}{n}=0[/tex] .
Eсть теарема : Если [tex]a_{n }\le c_{n }\le b_{n }[/tex] и [tex]\lim_{n \to \infty}a_{n } = \lim_{n \to \infty} b_{n } =A \Rightarrow \lim_{n \to \infty}c_{n }=A[/tex].(Теорема о двух милиционеров или теперь полицейских).
nathi123
 
Сообщения: 54
Зарегистрирован: Пт июл 07, 2017 7:40 pm


Вернуться в Пределы (lim)