логарифмические уравнения

[Гость]

Решите логарифмические уравнения подробно

[Гость]

3 зад.( [tex]log_{5 }x)^{2}[/tex]+[tex]log_{\frac{1}{5} }[/tex]x=2

Воспользуемся формулой [tex]log_{a^{n} }[/tex]b=[tex]\frac{1}{n}[/tex][tex]log_{a }[/tex]b ;n[tex]\ne[/tex]0

В нашем случае [tex]log_{\frac{1}{5} }[/tex]x=[tex]log_{5^{-1} }[/tex]x=[tex]\frac{1}{-1}[/tex][tex]log_{5 }[/tex]x=-[tex]log_{5 }[/tex]x

Уравнение будет
([tex]log_{5 }x)^{2}[/tex]-[tex]log_{5 }[/tex]x-2=0
Мы кладем [tex]log_{5 }[/tex]x=y

[tex]y^{2}[/tex]-y-2=0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]y_{1 }[/tex]=2 ,[tex]y_{2 }[/tex]=-1

[tex]log_{5 }[/tex]x=2 или [tex]log_{5 }[/tex]x=-1

[tex]5^{2}[/tex]=x или [tex]5^{-1}[/tex]=x

[tex]x_{1 }[/tex]=25 ; [tex]x_{2 }[/tex]=[tex]\frac{1}{5}[/tex]

[Andy]

Рассмотрим первое уравнение.
[tex]\lg{x}+\lg(x-8)=1+\lg{2},[/tex]
[tex]\lg{x}+\lg(x-8)=\lg{10}+\lg{2},[/tex]
[tex]\lg(x^2-8x)=\lg{20},[/tex]
[tex]x^2-8x=20,[/tex]
[tex]x^2-8x-20=0,[/tex]
[tex]x^2-8x+16-36=0,[/tex]
[tex])x-4)^2-6^2=0,[/tex]
[tex](x-4+6)(x-4-6)=0,[/tex]
[tex](x+2)(x-10)=0;[/tex]
[tex]x_1=-2[/tex] -- этот корень не подходит, потому что, согласно определению логарифма, для заданного уравнения должно выполняться неравенство [tex]x>0,[/tex] а оно не выполняется; [tex]x_2=10[/tex] -- этот корень подходит и является единственным решением заданного уравнения.

Ответ: [tex]x=10.[/tex]

[Andy]

Рассмотрим второе уравнение.
[tex]\log_7(2x^2-5x+31)=2,[/tex]
[tex]\log_7(2x^2-5x+31)=\log_7{49},[/tex]
[tex]2x^2-5x+31=49,[/tex]
[tex]2x^2-5x-18=0,[/tex]
[tex]D=(-5)^2-4 \cdot 2 \cdot (-18)=25+144=169,~\sqrt{D}=13,[/tex]
[tex]x_1=\frac{5-13}{4}=-2,~x_2=\frac{5+13}{4}=4,5.[/tex]

Ответ: [tex]x \in \{-2,~4,5 \}.[/tex]