Система уравнений с логарифмами

[Гость]

Вот сама система

IMG_20200827_012448.jpg (130.5 КБ) Просмотров: 3100

Я нашёл решение сначала графически, потом очень длинным решением, но есть ощущение, что можно гораздо проще решить)

[Гость]

Ответ : х=9 ,у=27 ?

[Гость]

[tex]\begin{array}{|l} x^{log_{3 }y} = 27y \\ y^{log_{3}x}= 81x \end{array}[/tex]
Mы кладем [tex]log_{3 }[/tex]y=a ,[tex]log_{3 }[/tex]x=b [tex]\Rightarrow[/tex] y=[tex]3^{a}[/tex] ,x=[tex]3^{b}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}( 3^{b})^{a} = 27.3^{a} \\ (3^{a})^{b} = 81.3^{b} \end{array}[/tex] (Мы-вычитаем)

[tex]\begin{array}{|l} 3^{ab} = 3^{3}.3^{a} \\ 0=27.3^{a} -81.3^{b}\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 3^{ab} = 3^{3+a} \\ 3^{4}.3^{b} = 3^{3}.3^{a} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} ab=3+a \\ 3^{4+b}=3^{3+a} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} ab = 3+a\\ 4+b=3+a \end{array}[/tex]
Система легко решается и мы ее получаем ([tex]a_{1 }[/tex]=3 ;[tex]b_{1 }[/tex]=2) и ([tex]a_{2 }[/tex]= -1;[tex]b_{2 }[/tex]= -2)

Тогда 1 случай у=[tex]3^{3}[/tex] ,х=[tex]3^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] (9;27)

2 случай у=[tex]3^{-1}[/tex] ,х=[tex]3^{-2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ([tex]\frac{1}{9}[/tex];[tex]\frac{1}{3}[/tex])