Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся методом математической индукции.
База индукции: Для $n=1$ очевидно, что последовательность сходится к единице, т.к. $1$ само является единицей.
Предположение индукции: Пусть утверждение верно для всех натуральных чисел меньших, чем $n$.
Шаг индукции: Рассмотрим произвольное натуральное число $n$. Если $n$ четное, то $f(n) = \frac{n}{2}$, иначе $f(n) = 3n+1$. В обоих случаях $f(n) < n$. По предположению индукции, последовательность, определенная для $f(n)$, сходится к единице. Следовательно, существует натуральное число $k$, такое что $f^{(k)}(f(n)) = 1$. Тогда $f^{(k+1)}(n) = f(f^{(k)}(n)) = f(f^{(k)}(f(n))) = f^{(k+1)}(f(n)) = 1$. Таким образом, последовательность, определенная для $n$, также сходится к единице.
Таким образом, мы доказали, что для любого натурального числа $n$ последовательность, определенная правилом Коллатца, сходится к единице.
Заметим, что функция $f(n)$, определенная для любого натурального числа $n$ правилом Коллатца, имеет два варианта своего значения в зависимости от четности/нечетности $n$:
Если $n$ четное, то $f(n) = \frac{n}{2}$.
Если $n$ нечетное, то $f(n) = 3n+1$.
Обозначим через $f^{(k)}(n)$ k-ую итерацию функции $f$ для числа $n$.
Докажем утверждение для любого натурального числа $n$ методом математической индукции:
База индукции: Пусть $n=1$. Тогда очевидно, что последовательность сходится к единице, т.к. $1$ само является единицей.
Предположение индукции: Пусть утверждение верно для всех натуральных чисел меньших, чем $n$. То есть, существует такое натуральное число $k$, что $f^{(k)}(m) = 1$ для любого натурального числа $m < n$.
Шаг индукции: Рассмотрим произвольное натуральное число $n$. Если $n$ четное, то $f(n) = \frac{n}{2}$. В этом случае, по предположению индукции, последовательность, определенная для $f(n)$, сходится к единице, т.е. существует такое натуральное число $k_1$, что $f^{(k_1)}(f(n)) = 1$. Тогда $f^{(k_1+1)}(n) = f(f^{(k_1)}(n)) = f(f^{(k_1)}(f(n))) = f^{(k_1+1)}(f(n)) = 1$. Таким образом, последовательность, определенная для $n$, также сходится к единице.
Если же $n$ нечетное, то $f(n) = 3n+1$. В этом случае, по предположению индукции, последовательность, определенная для $f(n)$, также сходится к единице, т.е. существует такое натуральное число $k_2$, что $f^{(k_2)}(f(n)) = 1$. Тогда $f^{(k_2+1)}(n) = f(f^{(k_2)}(n)) = f(f^{(k_2)}(f(n))) = f^{(k_2+1)}(f(n)) = 1$. Таким образом, последовательность, определенная для $n$, также сходится к единице.