Изогнутый конус

Ответить


Смайлики
:D :) ;) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen: :geek: :ugeek:
BBCode ВКЛЮЧЁН
[img] ВКЛЮЧЁН
[flash] ВЫКЛЮЧЕН
[url] ВКЛЮЧЁН
Смайлики ВКЛЮЧЕНЫ
Обзор темы
LaTeX помочь
Каждая формула должна начинаться с [tex]\textrm{[tex]}[/tex] и заканчиваться с [tex]\textrm{[/tex]}[/tex].

   
   

Если вы не хотите добавлять вложения, оставьте поля пустыми.

Развернуть Обзор темы: Изогнутый конус

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Ср май 11, 2022 6:09 pm

Если всё-таки использовать ТОР как вспомогательный контур, то центральная ось тора (фиолетовая линия) будет кривой линией c постоянным радиусом кривизны R = сonst. А высота "выпрямленного рога" (прямого конуса) будет определяться углом поворота плоскости сечения рога относительно плоскости, проходящей через вершину конуса. При этом радиус сечения рога r будет увеличиваться от нуля до заданной величины = 2r, то есть, будет ОГРАНИЧЕНА диаметром тора, равном диаметру основания прямого конуса.
Высота прямого конуса при изгибе до 180 градусов будет делиться на 4 равных дуги, каждая длиной = [tex]\pi[/tex]R/2. Исходя из этого легко вычислить объём каждой части рога.
А чтобы вычертить развёртку рога, разрезанного на две симметричные части по оси тора, нужно разложить половинки окружностей (красные отрезки) в каждом сечении перпендикулярно оси тора (l = [tex]\pi[/tex]хr). Полученые концевые точки будут лежать на поверхности развёртки рога по разным сторонам от оси тора. Но так как радиус кривизны у них не постоянный, то провести планую кривую линию можно не циркулем, а по лекалу.
половина развёртки рога.jpg
половина развёртки рога.jpg (63.44 КБ) Просмотров: 435


Как потом в обратном порядке СОЕДИНИТЬ две таких выкройки, чтобы получить "кривой рог" - это уже ФИЗИЧЕСКИЙ процесс "в натуральном материале".

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Вт май 10, 2022 11:24 pm

Поверхность интересует внутренняя, но при развертке это без разницы, толщиной материала можно принебречь.

Тогда попробуйте "в натуре" ВЫВЕРНУТЬ наизнанку половину старой автомобильной покрышки, отрезать лишние части и снова сшить (или склеть) такую развёртку в виде изогнутого конуса.
Теоретически тоже "вполнее возможно", но пренебречь толщиной покрышки НЕ ПОЛУЧИТСЯ!

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Вт май 10, 2022 11:13 pm

Что касается материала, то об этом лучше в разделе физика.

Сделать такую модель из металла, можно не из листового металла , а из ОТРЕЗКА ТРУБЫ диаметром = 2r, изогнутую под 90 градусов по осевому радиусу = R.
У сантехников такое "тело" называется КОЛЕНО.
Наружная поверхность такого отрезка трубы - это "изогнутый ПОЛЫЙ цилиндр", то есть, площадь его боковой поверхности (2D).
Остаётся найти со-отношение 1/2 площади боковой поверхности изогнутого цилиндра и 1/2 боковой поверхности изогнутого конуса, имеющего такой же диаметр основания d = 2r. Тогда вычерчивать РАЗВЁРТКУ "кривого рога" на плоскости в 2D не обязательно!
вырезать из трубы.jpg
вырезать из трубы.jpg (60.96 КБ) Просмотров: 440

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Вт май 10, 2022 10:50 pm

Rados писал(а):
Тор - это ДВУХ-мерная поверхность "бублика", а не его полный объём (3D), так ведь?
Значит требуется вычислить не "площадь осевого сечения", а именно площадь КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ (без учёта площади основания конуса).

Тор - поверхность, а его полный объем - "полноторие", как в википедии написано.
Равенство сечений мне было важно установить с точки зрения именно физики.
Площадь поверхности имеет значение при построении развертки, этим ещё займемся. Один пример уже есть, но мне он не особо нравится. Я другой хочу нарисовать, там-то тор и пригодится...
Поверхность интересует внутренняя, но при развертке это без разницы, толщиной материала можно принебречь.

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Вт май 10, 2022 10:25 pm

Радиус r постоянный для каждого конкретного конуса

Конкретный конус у Вас УЖЕ ЗАДАН - с радиусом кривизны оси изогнутого конуса = R.
Следовательно объём (3D) этого конуса равен одной трети объёма от 1/4 части "бублика", сеченим которого является КРУГ площадью = [tex]\pi r^{2 }[/tex].
Тор - это ДВУХ-мерная поверхность "бублика", а не его полный объём (3D), так ведь?
Значит требуется вычислить не "площадь осевого сечения", а именно площадь КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ (без учёта площади основания конуса).

Re: Уточним задачу

Сообщение Гость » Вт май 10, 2022 8:25 pm

Гость писал(а):Преобразуем уравнение (1), заменив высоту h0 на длинну дуги окружности l0, равную [tex]\varphi[/tex][tex]\frac{pi R }{180}[/tex] h0=k [tex]\varphi[/tex] [tex]\frac{pi R}{180}[/tex] (2) для градусной меры угла [tex]\varphi[/tex]

Явная опечатка, должно быть l0=[tex]\varphi[/tex][tex]\frac{\pi R }{180}[/tex] ; r0=k [tex]\varphi[/tex] [tex]\frac{\pi R}{180}[/tex]
Чортовы теги...

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Вт май 10, 2022 7:55 pm

Rados писал(а):

То есть, в задаче должно быть указано ЧТО требуется отобразить графически (в заданном масштабе): развёртку наружной поверхности "рога изобилия" или площадь сечения этого трёхмерного ТЕЛА?!
А если уж "копать до физики", то нужно иметь в виду конкретный МАТЕРИАЛ, из которого состоит это тело!

Уважаемый Rados, конечной целью является развертка. Радиус r постоянный для каждого конкретного конуса, переменный r0. Конус задает тор а не наооборот. Тор мне понадобился просто как вспомагательный "инструмент" для лучшего понимания. Что касается материала то об этом лучше в разделе физика. Но никаких секретов нет, это листовой металл.

Уточним задачу

Сообщение Гость » Вт май 10, 2022 7:25 pm

I. Постановка задачи:
Прямой круговой конус имеющий высоту h и радиус основания r преобразуем путем изгиба по дуге так, чтобы высота h совпала с дугой окружности радиусом R. Изучим геометрические свойства полученного тела в сравненнии с исходным конусом.
II. Очевидно, что в результате такого преобразования получется тело, не равное исходному, так как изогнутый конус имеет новое свойство - дополнительный радиус кривизны.В отличии от исходного конуса, все образующие которого равны, у изогнутого конуса образующие имеют различную длинну и являются кривыми. Тем не менее некоторые параметры исходного тела будут равны аналогичным параметрам преобразованного. Во-первых радиусы основания r у обоих тел равны по условию задачи. Во-вторых равными окажутся и их объемы V, что будет показано ниже. В-третих длинна дуги направляющей окружности l равна высоте h исходного тела, опять же по условию задачи.
III. Вывод формул и построение сечений.
Сначала построим осевое сечение исходного тела.Им будет равносторонний трегуольник с основанием 2r, высотой h и углом при вершине [tex]\alpha[/tex]
Радиус произвольног сечения плоскостью, параллельной основанию, r0 можно найти по формуле r0=h0*tg( [tex]\alpha[/tex]/2), где h0 - расстояние от вершины конуса до секущей плоскости.
Так как угол [tex]\alpha[/tex] для каждого конкретного конуса является постоянным, можно принять k= tg( [tex]\alpha[/tex]/2), где k - угловой коэффициэнт, k=const.
Тогда уравнение (1) примет вид r0=k*h0 где h0 переменная зависящая от расстояния секущей плоскости от вершины. Это типичное уравнение первой степени с угловым коэффициэнтом.
Для построения сечения изогнутого конуса перейдём в полярную систему координат. В данном примере для наглядности длинна дуги окружности выбрана 1/4 от полной окружности.
Построим сечение изогнутого конуса плоскостью, заданной центром координат, вершиной конуса и центром основания конуса. Очевидно,
что дуга окружности изгиба лежит в этой же плоскости. В ней же находятся радиус R а также наибольшая и наименьшая образующая изогнутого конуса.Преобразуем уравнение (1), заменив высоту h0 на длинну дуги окружности l0, равную [tex]\varphi[/tex][tex]\frac{pi R }{180}[/tex] h0=k [tex]\varphi[/tex] [tex]\frac{pi R}{180}[/tex] (2) для градусной меры угла [tex]\varphi[/tex].
Однако в нашем примере удобней будет использовать радианы.
Кривые, частью дуг которых будут наибольшая и наименьшая образующая изогнутого конуса задаются в полярной системе координат уравнениями вида:
[tex]\triangle[/tex]R=R [tex]\pm[/tex]kR[tex]\varphi[/tex] (3)
где [tex]\triangle[/tex]R приращние иходного радиуса изгиба R.
Так как по условиям задачи R=const для каждого конкретного конуса,
имеем два уравнения первой степени с одной переменной ([tex]\varphi[/tex]) в полярной системе координат.
Обозначим радиальную координату точек дуги наибольшей образующей изогнутого конуса Rвнеш. т.к. эта дуга является внешней по отношению к дуге изгибающей окружности.
Радиальную координату наименьшей образующей аналогично обозначим Rвнут.
Rвнеш=R+kR[tex]\varphi[/tex]
Rвнут=R-kR[tex]\varphi[/tex]
Площадь сечения криволинейной фигуры, заданой образующими изогнутого конуса и его основанием 2r найдем по формуле S=S(Rвнеш)-S(Rвнут), где S(Rвнешн),S(Rвнут) соотвественно площади криволинейных фигур, ограниченных дугами Rвнешн,Rвнут и осями координат.
Применив интегралы получим:
S= [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{\pi/2}[ R+\varphi kR]^{2 }[/tex]d[tex]\varphi[/tex]- [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{ \pi/2}[ R-\varphi kR]^{2 }[/tex]d[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{k R^{2} \pi^2}{4}[/tex]
Так как на итервале 0; [tex]\pi[/tex]/2 длинна дуги окружности l равна R[tex]\pi[/tex]/2 a высота h=l по условию задачи, можем выразить r через k:
r=kh=kR[tex]\pi[/tex]/2
Площадь осевого сечения прямого кругового конуса равна S=rh=(kR[tex]\pi[/tex]/2)(R[tex]\pi[/tex]/2)= [tex]\frac{kR^{2}\pi^2}{4}[/tex]
Мы доказали равенство площадей сооответствующих сечений исходного и преобразованного тела.
Продолжение следует...
Вложения
tmp_28992-чертежик-411837021.jpg
tmp_28992-чертежик-411837021.jpg (63.21 КБ) Просмотров: 454

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Вт май 10, 2022 7:17 pm

наглядный пример, где графически показано что объем тела остаётся неизменным при изгибе.

Если ОБЪЁМ тора уже задан величинами R и r, то тогда внутренний объём изогнутого конуса зависит только от заданной величины дуги (в полярных координатах) и заданного радиуса кривизны R. Необходимо также найти СООТНОШЕНИЕ между величинами R и r, удовлетворяющее условиям задачи.
То есть, в задаче должно быть указано ЧТО требуется отобразить графически (в заданном масштабе): развёртку наружной поверхности "рога изобилия" или площадь сечения этого трёхмерного ТЕЛА?!
А если уж "копать до физики", то нужно иметь в виду конкретный МАТЕРИАЛ, из которого состоит это тело!

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Вт май 10, 2022 6:48 pm

На практике достаточно дуги 180 гр.

В таком случае получается нечто вроде "бычьего рога".
бычий рог.jpg
бычий рог.jpg (56.98 КБ) Просмотров: 457

Высота конуса при вращении превращается в половину длины центральной (фиолетовой) оси тора .
Здесь надо заметить, что величина R = const, а величина r - это ПЕРЕМЕННАЯ (от 0 до 1/2 диаметра тора)!
Следовательно, кривизна дуги, в которую превращается высота конуса, будет равна заданному значению R.
А величина r не может быть больше R.
При этом площадь основания "бычьего рога" (изогнутого конуса) будет равна [tex]\pi[/tex] [tex]r^{2 }[/tex], но эта площадь НЕ ЯВЛЯЕТСЯ частью поверхности "рога"... Окружность (красного цвета) принадлежит поверхности тора, то есть, является линией пересечения изогнутого конуса, вписанного в тор, с поверхностью именно ЭТОГО (заданного?) ТОРА...

В топологии такая поверхность (2D) так же считается НЕзамкнутой.

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Вс май 08, 2022 11:25 pm


Если заданный "рог изобилия" помещается во внутреннее пространство тора, то горизонтальное сечение тора и этого "рога" ДЕЛИТ поверхность тора и "рога" на две симметричные половины, так ведь?!
А если такого ограничения в условиях задачи нету, (то есть, области определения функций R и r НЕ ЗАДАНЫ), то и РЕШЕНИЙ в этой задачке может быть МНОЖЕСТВО.

Да так и есть. Делит на две зеркально симметричные половины. Но в моём примере рог вписан в тор,и направляющая линия изгиба часть дуги окружности, в пределе вся окружность. На практике достаточно дуги 180[tex]^\circ[/tex] . Оба радиуса конечны и для конкретного конуса R,r=const
А у Radosа схема отображает более сложный случай и R можно продолжать до [tex]\infty[/tex]. Направляющая линия - спираль Архимеда вроде. Это к нему вопрос.
Замечание учту, в том смысле что надо более чётко сформулировать условия задачи. А "окончательное решение" не даром в кавычках, никакое оно не окончательное. Просто хороший наглядный пример, где графически показано что объем тела остаётся неизменным при изгибе.
Я просто обрадовался что нашёл новый источник с построением и несколько поспешил. Пользуясь случаем поправлю ссылку. Выходные данные этой работы пока не обнаруживаются https://studfile.net/preview/5185302/page:10/
Что касается "копать до обеда", так ещё покопаем. До раздела "физика" докапаемся... 8-)

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Вс май 08, 2022 6:15 pm

такая "улитка" может увеличиваться "до бесконечности"!

При соответствующем увеличении Z такой "криволинейный конус" будет представляться как "бараний рог"...
То есть, в условиях этой "задачки" НЕТ ДАННЫХ для построения конкретной 3D-модели!

Но алебраические методы никто не отменял, продолжаю копать в этом направлении, как закончу, напишу подробно и чертежик сделаю.

Это аналогично армейской шутке - "копать от забора до обеда" ... или ещё хотя лет 5. :lol:

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Вс май 08, 2022 5:10 pm

"окончательное решение" вопроса о развёртке поверхности

Если заданный "рог изобилия" помещается во внутреннее пространство тора, то горизонтальное сечение тора и этого "рога" ДЕЛИТ поверхность тора и "рога" на две симметричные половины, так ведь?!
А если такого ограничения в условиях задачи нету, (то есть, области определения функций R и r НЕ ЗАДАНЫ), то и РЕШЕНИЙ в этой задачке может быть МНОЖЕСТВО.
На схеме Radosa сечение тора и "рога" - это ПЛОСКОСТЬ (z = 0), величина R тора (постоянная, но внешний радиус (R синего цвета) изменяется от 1 до 2, а внутренний радиус (R зелёного цвета) изменяется от 1 до 0.
Следовательно, ТОР имеет ЗАМКНУТНОЕ внутреннее пространство (объём), в который уже НЕ впишется "рог изобилия" при следующем повороте R ...

А если этот "криволинейный конус" НЕ вписывается в заданный объём тора, то тогда величина R не определена, и такая "улитка" может увеличиваться "до бесконечности"!

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Сб май 07, 2022 8:50 pm

Нашлось в гугле "окончательное решение" вопроса о развёртке поверхности с помощью методов начертательной геометрии Изображение. Взято отсюда:[urlhttps://studfile.net/preview/5185302/[/url]
Но алебраические методы никто не отменял, продолжаю копать в этом направлении, как закончу, напишу подробно и чертежик сделаю.

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 11:51 pm

Вот ещё есть аналогичные исследования - уже в сфере БИО-технологий...https://miem.hse.ru/edu/ee/selforganized_structures/

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 11:44 pm

нет общепринятого названия для обсуждаемого тела

Очевидно, что в различных сферах деятельности применяются различные ТЕРМИНЫ и ОПРЕДЕЛЕНИЯ, уважаемый Гость!
В топологии, например, такие "тела" называются МНОГООБРАЗИЯМИ.
А в музыкальной среде аналогичные "многообразия" называются ТРУБАМИ...
Мы здесь тоже начали дискутировать "про коровий рог", а потом перешли в ГЕОМЕТРИЮ на плоскости...
Нарисовать на листе бумаги (2D) трёхмерный криволинейный конус - действительно - очень непросто!
А найти какой-то "чисто математический" способ РАСЧЁТА всех требуемых параметров такого ИЗДЕЛИЯ можно только с помощью специальных ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ формул... То есть, такое "3D-рисование" ДАНО даже не каждому компьютеру (или продвинутому ай-тишнику)...

По-моему, сейчас ЕСТЬ даже специальные уравнения перевода формул из одной систему координат в другую, но это тоже "шибко спецефическая" ЗАДАЧА!
Гриша Перельман это УМЕЕТ делать, но на таких Форумах он вообще ничего не публикует...
Труба.jpg
Труба.jpg (31.65 КБ) Просмотров: 606

Re: Изогнутый конус

Сообщение Гость » Пт май 06, 2022 10:57 pm

Rados писал(а):Такая задачка для 3D-моделирования довольно интересная.

Как минимум один человек её решил в 2017 году:"Я же сконструировал "улитку" в CAD-системе, поэтому все поверхности имеют точное математическое описание. Уникальность моего корпуса в том, что ни одна из известных мне CAD-систем не позволяет построить спираль Архимеда (или подобную) штатными средствами. Пришлось выполнить крайне сложную работу. На мой взгляд, правильные улитки потому раньше никто и не делал, так как их исключительно сложно спроектировать. В результате, у меня есть твердотельная модель пригодная для обработки на 3-осевом станке с ЧПУ или выращивания на 3D-принтере."
Источник цитаты http://forum.vegalab.ru/showthread.php?t=80057
Там куча видио... Но у меня была задача попроще. Однако это инженерное решение, а если продолжать с увеличением радиуса как в вашем примере то будет уже чистая математика, абстракция.
В Википедии действительно нет соответствующих формул. Я вывожу некотырые, пока всё на бумаге, а 3D CAD у меня нет. Проблема в том, что нет общепринятого названия для обсуждаемого тела, это усложняет поиск готовых решений. Построения интересные, спасибо.

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 7:46 pm

Риманова геометрия - см. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0 ... 0%B8%D1%8F
Конструкторы тоже иногда шутят: "Не забуду мать родную и правило буравчика"! :lol:

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 7:39 pm

неожиданный пример изогнутого конуса

Совсем неожиданный пример получается, если ПРОДОЛЖИТЬ увеличивать радиус R > 2
Если закрасить сечение "кривого рога", то получается криволинейная фигура (2D), площадь которой ограниченна синией спиралью, зелёной спиралью и отрезком на оси Х (от от зелёной точки до синей точки). Х = длине синего радиуса = 2R фиолетового. Площаль (2D)этого сечения можно определить по какой-то формуле...
Зелёный радиус уменьшаться > 0 уже "не способен", так ведь?! А синий радус кривизны синей дуги может увеличинастья "до бесконечности"! И тогда синяя кривая вырождается в ПРЯМУЮ ЛИНИЮ, но площадь сечения (серый цвет на схеме) будет НАКЛАДЫВАТЬСЯ "само на себя"... То есть, каждый оборот синего радиуса даёт ещё один слой (наложение по оси z)... Такая поверхность - это уже "риманова метрика", а такой "кривой рог" шибко похож (гомеоморфен?) на "улитку"!

Такая задачка для 3D-моделирования довольно интересная... :roll:
улитка.jpg
улитка.jpg (53.68 КБ) Просмотров: 615

Re: Изогнутый конус

Сообщение Rados » Пт май 06, 2022 6:15 pm

отклонения траекторий космического аппрата

Это отклонение уже ЗА пределами двухмерной геометрии Евклида. То есть (на фото?) подразумевается ТРЁХмерное (сферическое?) отображение траектории в трёхмерном пространстве Вселенной. А это уже НЕ полярные, а СФЕРИЧЕСКИЕ координаты перемещения космических ОБЪЕКТОВ.
Для решения задачки "про изогнутый конус" больше подойдёт вот такая СХЕМА, совмещённая с осями координат Декартовой системы координат, в которой ось тора показана фиолетовой окружностью с радиусом R = 1, а ось Z перпендикулярна плоскости Вашего экрана (z = 0).
Но сечение "кривого рога" МЕНЯЕТСЯ от начальной (красной) точки с диаметром d = 0 до красной сферы с d = 16r ...
А противоположные образующие конуса имеют РАЗНУЮ КРИВИЗНУ!
Причём выпуклая сторона конуса (синияя линия) получится длинее вогнутой стороны (зелёной линии). И при повороте оси сечения радиус кривизны синей линии постоянно УВЕЛИЧИВАЕТСЯ - от 1 до 2, а радиус кривизны зелёной линии наоборот УМЕНЬШАЕТСЯ - от 1 до 1/2 ...
Радис тора (кривизны фиолетовой линии) при этом остаётся постоянным R = 1...

Такая фигура шибко похожа на "змею, пожирающую собственный хвост", которую Древние греки называли Уроборос.
Вообще-то такую задачку полезно было БЫ опубликовать в разделе "Математическая задача месяца"! Потому что одно дело НАРИСОВАТЬ такую фигуру ГРАФИЧЕСКИ, а совсем другое дело - задать поверхность такой фигуры АЛГЕБРАИЧЕСКИ (в виде каких-то формул)...
В Википедии таких формул вроде бы ещё НЕТ?!!
Вложения
Уроборос.jpg
Уроборос.jpg (194.75 КБ) Просмотров: 616
криволинейный конус.jpg
криволинейный конус.jpg (57.1 КБ) Просмотров: 616

Вернуться к началу