MH перп. на СР (трудна-според мен)

[r2d2]

Даден е остроъгълният АВС. АА1,ВВ1,СС1 са височини. М -среда на АВ.

Правата В1А1 пресича правата АВ в Р.

Докажете, че МН (Н - ортоцентър) е перпеникулярна на СР.

[Реклама]

[inimitably]

Тъй като задачата седи от доста време нерешена ще напиша едно примерно синтетично доказатество на следната теорема:
Отсечката , съединяващата центъра на описаната около четириъгълник окръжност и пресечната точка на диагоналите му е пенпендикулярна на отсечката , съединяваща пресечните точки на срещуположните страни на четириъгълника.

Нека е даден вписан четириъгълник [tex]ABCD[/tex] ( [tex]AB\cap CD=E[/tex] , [tex]BC\cap AD=F[/tex], [tex]AC\cap BD=P[/tex]).
Нека описаните окръжности около [tex]\Delta EAD[/tex] и [tex]\Delta CBE[/tex] се пресичат в точка [tex]M[/tex] , тогава лесно се доказва само с ъгли , че [tex]M[/tex] , [tex]D[/tex] ,[tex]C[/tex] и [tex]F[/tex] лежат на една окръжност и описаните окръжности около триъгълниците [tex]EAD[/tex] , [tex]CBE[/tex] , [tex]CDF[/tex] и [tex]ABF[/tex] се пресичат в точка [tex]M[/tex].

[tex]\angle EMA=\angle EDA=\angle ABC=180^\circ -\angle AMF[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]M[/tex] лежи на отсечката [tex]EF[/tex].

Ясно е , че [tex]\angle AOC=2\angle ABC[/tex]

От [tex]\angle EMA=\angle EDA=\angle ABC=\angle CDF=\angle CMF[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle AMC=180^\circ -2\angle ABC[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]M[/tex] [tex],[/tex] [tex]A[/tex] [tex],[/tex] [tex]O[/tex] и [tex]C[/tex] лежат на една окръжност.

- [tex]OM[/tex] е радикална ос на описаните окръжности околко триъгълниците [tex]BOD[/tex] и [tex]AOC[/tex]

-[tex]BD[/tex] е радикална ос на описаните окръжности около [tex]\Delta BOD[/tex] и[tex]ABCD[/tex]

-[tex]AC[/tex] е радикална ос на описаните окръжности около [tex]\Delta AOC[/tex] и [tex]ABCD[/tex]

Както е известно [tex]OM[/tex] , [tex]BD[/tex] и [tex]AC[/tex] се пресичат в една точка [tex]P[/tex] ( доказвано във форума )

Лесно се доказва ,че [tex]\angle ACO=90^\circ -\angle ADC[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle OME=\angle AME+\angle OMA=\angle ADC +(90^\circ -\angle ADC)=90^\circ[/tex]

[r2d2]

Много готина теорема!
Мисля, си че за конкретната задача, може и по-просто:
Нека Т е пресе4ната точка на описаната около АБС окр. с СР. Имаме [tex]PT.PC=PB.PA[/tex].
[tex]ABA_1B_1 [/tex]е вписан[tex] \Rightarrow PB.PA=PA_1.PB_1 \Rightarrow PT.PC=PA_1.PB_1[/tex] ии около [tex]A_1TCB_1[/tex] може да се опише (това е червената). Понеже [tex]\angle HB_1C=90^\circ \Rightarrow HT \perp CP[/tex].

Знаем, че [tex]MC_1A_1B_1 [/tex]лежат на една окр. (окр. на деветте точки) или [tex]PC_1.PM=PA_1.PB_1[/tex], но[tex] PA_1.PB_1=PT.PC \Rightarrow MC_1TC [/tex] е вписан (зелената).

Понеже МС е диаметър намираме, че [tex]MT\perp CP[/tex]!