Регистрирайте сеРегистрирайте се

Областен кръг по математика - 25.04.2009

Иди на страница Предишна  1, 2, 3, 4, 5  Следваща
 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
violin
Начинаещ


Регистриран на: 25 Apr 2009
Мнения: 5


МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 9:14 pm    Заглавие:

mkmarinov написа:

Втора в едната посока (когато ABCD e ромб) с... еднакви триъгълници (AMD и CMD), от което ъгъл DAM=MAD=EFB=1/2(EB), т.е. DAM е периферен и AM e допирателна. Наобратно, предполагам се доказва пак с еднаквостта на тези триъгълници.


Ами защо са еднакви триъгълниците? Аз само два еднакви ъгъла намирам Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 9:21 pm    Заглавие:

1. Двете страни на ромба.
2. Общата страна
3. BD е диагонал в ромб (съответно и ъглополовяща).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
violin
Начинаещ


Регистриран на: 25 Apr 2009
Мнения: 5


МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 9:28 pm    Заглавие:

Цитат:
от което ъгъл DAM=MAD=EFB=1/2(EB),

Извинявам се за въпроса, но откъде идва това? Smile и EB какво е, B не лежи на окръжността. Или описваме нова?
А на трета как разлагаш?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 9:35 pm    Заглавие:

Исках да къжа дъгата EA Laughing .
[tex]\angle AFC=\angle ACD[/tex] като кръстни.
[tex]\angle ACD=\angle DAM[/tex] от еднаквите триъгълници.
=>
[tex]\angle EFA=\angle EAM=\frac{1}{2}EA[/tex]
=> EAM е п... забравих думата => АМ е допирателна.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
violin
Начинаещ


Регистриран на: 25 Apr 2009
Мнения: 5


МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 10:17 pm    Заглавие:

mkmarinov написа:
Исках да къжа дъгата EA Laughing .
[tex]\angle AFC=\angle ACD[/tex] като кръстни.
[tex]\angle ACD=\angle DAM[/tex] от еднаквите триъгълници.
=>
[tex]\angle EFA=\angle EAM=\frac{1}{2}EA[/tex]
=> EAM е п... забравих думата => АМ е допирателна.


Мерси много! Wink

Между другото \angle EAM e периферен.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 11:34 pm    Заглавие:

@Archer, май сме само ние засега.
Втора определено ти е по-вярна от моята. Вобще не съм се сетила, че могат да се подредят така. Crying or Very sad Един вид искаме да ги наместим във вписан многоъгълник с max лице и да докажем, че то е < 3.
Ох, дано ми дадат точица за идеята. Crying or Very sad
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
vicho
Начинаещ


Регистриран на: 03 Apr 2008
Мнения: 12

Репутация: 1.8

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 11:56 am    Заглавие:

Ето ги и задачите за 11 клас от втория ден:
Аз успях да реша само първата :/ Получих [tex]{a=\sqrt{2+\sqrt{5} }[/tex]



aaa.JPG
 Description:
 Големина на файла:  114.76 KB
 Видяна:  1877 пъти(s)

aaa.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
To6o
Начинаещ


Регистриран на: 20 Sep 2008
Мнения: 9

Репутация: 2.4Репутация: 2.4

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 12:24 pm    Заглавие:

До Archer. Здравей. Би ли ми обяснил как си решил 1ва за 12ти клас? Защото аз само успях да намеря един интервал в който е заключен Х , но не мога да намеря ь Crying or Very sad

По втората и аз се сетих за тази идея, но не знам защо реших, че едва ли са разположени така и се отказах. Все още се издирва някой решил трета Very Happy Давайте народе. Между другото и днес задачите не бяха по-лесни :/ или поне на мен ми се сториха труднички. На 1вата след 2 часа решаване и 5 листа намерих само АВ и се отказах :/ Дано поне 1 точка да дадат. Предварително благодаря ако ми решите 1ва Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 12:42 pm    Заглавие:

10 клас, втори ден
Задача 4. Нека [tex]f(x)=x^2+(2a-1)x-3[/tex] и [tex]g(x)=x^2+(a-2)x-1[/tex], където a е реален параметър. Да се намерят всички стойности на a, за които корените на уравненията [tex]f(x)=0[/tex] и [tex]g(x)=0[/tex] са разположени така, че между двата корена на едното има точно един на другото.

Задача 5. В триъгълник ABC е известно, че [tex]2\angle BAC + 3\angle ABC=180^\circ [/tex]. Да се докаже, че [tex]4(BC+CA)\le 5AB[/tex].

Задача 6. Нека n е произволно естествено число и [tex]N=n(n+1)(n+2)(n+3)[/tex]. Да се докаже, че не съществува цяло m такова, че [tex]N+m^9=2008[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 1:02 pm    Заглавие:

Тая 6та май е доста лесна Question Ясно е, че числа от вида n(n+1)(n+2)(n+3) се делят на 6., а последната цифра на такива числа е 6,2,8,4,0. => като извадим от 2008-N се получава четно => m^9 четно и m^9<2008 => само m=2. => 512=2008-N => N=1496 което не се дели на 6 Shocked
Върнете се в началото
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 1:04 pm    Заглавие:

Ами m<0? Wink
Почнах я с деление на 8 (N се дели на 8, 2008 също => m=8k). След това получавам [tex]\frac{N}{8}+8^8.k^9=251[/tex]. Ако се намери общ множител на [tex]\frac{N}{8}[/tex] и k задачата е решена (251 е просто).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 1:06 pm    Заглавие:

To6o написа:
До Archer. Здравей. Би ли ми обяснил как си решил 1ва за 12ти клас? Защото аз само успях да намеря един интервал в който е заключен Х , но не мога да намеря ь Crying or Very sad

По втората и аз се сетих за тази идея, но не знам защо реших, че едва ли са разположени така и се отказах. Все още се издирва някой решил трета Very Happy Давайте народе. Между другото и днес задачите не бяха по-лесни :/ или поне на мен ми се сториха труднички. На 1вата след 2 часа решаване и 5 листа намерих само АВ и се отказах :/ Дано поне 1 точка да дадат. Предварително благодаря ако ми решите 1ва Smile

Ще ти кажа идеята, по която се решава задачата, а ти ще се пробваш сам да си я направиш, защото съм сигурен, че ще успееш, ако не успееш утре ще ти напиша подробно решение.
[tex] 16\frac{4^{x-1}+6}{2^{x}+1}=-3x^{4}+4x^{3}+12x^{2}[/tex]
Нека [tex]f(x)=-3x^{4}+4x^{3}+12x^{2}[/tex] и [tex]\varphi (x)=16\frac{4^{x-1}+6}{2^{x}+1}[/tex]
Изследваш 2-те фукнции, за едната ще получиш, че максимумът е при х=2 и е 32, а за другата, че минимумът е при х=2 и е пак 32, тоест само при 2-ката става равенство и х=2 е единствено решение
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
violin
Начинаещ


Регистриран на: 25 Apr 2009
Мнения: 5


МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 1:06 pm    Заглавие:

mkmarinov написа:
10 клас, втори ден
Задача 4. Нека [tex]f(x)=x^2+(2a-1)x-3[/tex] и [tex]g(x)=x^2+(a-2)x-1[/tex], където a е реален параметър. Да се намерят всички стойности на a, за които корените на уравненията [tex]f(x)=0[/tex] и [tex]g(x)=0[/tex] са разположени така, че между двата корена на едното има точно един на другото.

Задача 5. В триъгълник ABC е известно, че [tex]2\angle BAC + 3\angle ABC=180^\circ [/tex]. Да се докаже, че [tex]4(BC+CA)\le 5AB[/tex].

Задача 6. Нека n е произволно естествено число и [tex]N=n(n+1)(n+2)(n+3)[/tex]. Да се докаже, че не съществува цяло m такова, че [tex]N+m^9=2008[/tex].


Знаеш ли как се решават? Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 1:08 pm    Заглавие:

12 клас, Втори ден.

Задача 4. В [tex]\normal\Delta ABC[/tex] (AC<BC) с лице [tex]\normal 20\sqrt{3}[/tex] точките [tex]\normal M[/tex] и [tex]\normal I[/tex] са съответно медицентър и център на вписаната окръжност. Отсечката [tex]\normal MI[/tex] има дължина [tex]\normal 1[/tex] и е успоредна на [tex]\normal AB[/tex]. Да се намерят дължините на страните на триъгълника.

Задача 5. Нека [tex]n[/tex] е естествено число. Да се докаже, че:
a) [tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+x)}=1[/tex] има единствено неотрицателно решение [tex]x_{\small n}[/tex].

б) редицата с общ член [tex]x_{\small n}[/tex] е сходяща и да се намери нейната граница.

Задача 6. Да се намерят всички двойки [tex](a, b)[/tex] от естесвени числа такива, че [tex]n^2 +n + 1[/tex] дели [tex](an + 1)^{10} + b[/tex] за всяко естесвено число.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 1:09 pm    Заглавие:

Четвърта на десети клас е лесна, корените са разположени през един тогава и само тогава когато пресечната графика на двете функции е с отрицателна ордината. Дискриминантите са винаги положителни. Получавам [tex]a \in (2-\sqrt{5};2+\sqrt{5})[/tex].
Втора със синусова теорема в АВС; изразяваш AC и BC чрез АВ и двата ъгъла при основата и остава да се докаже, че [tex]\frac{sin\alpha + sin\beta }{sin(\alpha + \beta )} < \frac{5}{4}[/tex]. Малко тригонометрия+Йенсен и излиза.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 1:10 pm    Заглавие:

Аз пък днеска "търчах" от областния към Великденското като луд, запъхтян влизам и разпитвам охраната в коя стая съм, мн беше забавно Laughing , иначе на областния 1-ва ми се струва, че не е чак толкова трудно, но не я довърших, нямах време, дано дадат точки за идея, на 2-ра си нямах представа какво се прави Laughing , 3-та мисля да си я огледам вкъщи, защото изглеждаше мн интересна Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Donatello
Редовен


Регистриран на: 17 Jun 2008
Мнения: 103

Репутация: 13.4
гласове: 4

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 2:02 pm    Заглавие:

А на 11 клас първа задача за [tex]a = \sqrt{2+\sqrt{5} } [/tex] ли получавате,че има такива корени ? И някакви идеи за втора и трета, че там ми е пълна мъгла Question
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 2:05 pm    Заглавие:

абсолютно вярно Wink
по втора аз получих [tex]a_{3}=6[/tex] Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Donatello
Редовен


Регистриран на: 17 Jun 2008
Мнения: 103

Репутация: 13.4
гласове: 4

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 2:10 pm    Заглавие:

а как го получи ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 2:24 pm    Заглавие:

1-во очевидно е, че [tex]a_3>5[/tex]. И реших да разгледам случея [tex]a_3=6[/tex].
Лесно се съобразява, че в такъв случай [tex]a_{n+1}=a_{n}(a_{n}+1)[/tex]. Сега на даденото равенство умножавам k-тото събираемо с [tex]a_{k}[/tex] и използвайки полученото равенство за [tex]a_{n+1}[/tex] се получава, че равенството е еквивалентвно на:
[tex]\frac{a_1}{a_2 }+\frac{a_2}{a_3 }+....+\frac{a_{2008}}{a_{2009} }+\frac{1}{a_{2009} } =1 [/tex]
Сега като съберем последните 2 числа и използвайки отново ревенството [tex]a_{n+1}=a_{n}(a_{n}+1)[/tex] намираме, че [tex]\frac{a_{2008}}{a_{2009} }+\frac{1}{a_{2009} }=\frac{1}{a_{2008} } [/tex] и тази процедура я извършваме многократно по аналогичен начин и получаваме, че:
[tex]\frac{a_1}{a_2 }+\frac{a_2}{a_3 }+....+\frac{a_{2008}}{a_{2009} }+\frac{1}{a_{2009} } =\frac{a_1}{a_2 }+\frac{1}{a_2 } [/tex] и като заместим със стойностите от условието намираме, че това е 1, т.е. [tex]a_3=6[/tex] изпълнява условието на задачата Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 2:36 pm    Заглавие:

phoenix_stz написа:
А на 11 клас първа задача за [tex]a = \sqrt{2+\sqrt{5} } [/tex] ли получавате,че има такива корени ? И някакви идеи за втора и трета, че там ми е пълна мъгла Question


Странно защо, но аз на 1-ва получих [tex]a=\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]

а втора и аз получих 6 като доказах една индукция [tex]a_n=a_{n-1}(a_{n-1}+1)[/tex] и изобщо не ползвах условието(не знам как ще ми се отрази на резултата, ама ... стори ми се много странно Confused ) ама кажете защо е този отговор на 1-ва Shocked Shocked Shocked Аз я реших за 10 мин и бях доста сигурен Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 2:45 pm    Заглавие:

по 1-ва
3 корена за a>2
[tex]x_1=log_{2}\frac{a-\sqrt{a^2-4} }{2 },x_2=log_{2}\frac{a+\sqrt{a^2-4} }{2 },x_3=log_{2}a [/tex]
Очевидно, че за a>2 корените по големина са наредени както съм ги написал и сега просто свойсво на аритметична прогресия Wink
ПП: мартосссс на 2-ра използваме едно и също свойство, но на мен ми се струва, че е вярно само за [tex]a_3=6[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 2:57 pm    Заглавие:

За последната на 10 клас мисля, че ще стане по модул 19 Wink Поне като я видях така мисля, ама ме мързи да проверявам 10 случая Laughing
NoThanks написа:
Тая 6та май е доста лесна Question Ясно е, че числа от вида n(n+1)(n+2)(n+3) се делят на 6., а последната цифра на такива числа е 6,2,8,4,0. => като извадим от 2008-N се получава четно => m^9 четно и m^9<2008 => само m=2. => 512=2008-N => N=1496 което не се дели на 6 Shocked

Пфф, по-хубаво се откажи от теорията на числата... Не ти се отдава Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Bgtop100
Начинаещ


Регистриран на: 07 Jan 2009
Мнения: 6

Репутация: 1.9
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 3:20 pm    Заглавие:

На 1ва и аз съм получил колкото phoenix. А по 3-та вижте аз как я реших:


За нататък всъщност не съм много сигурен точно как трябва да се продължи ;/



дасдв.gif
 Description:
 Големина на файла:  6.23 KB
 Видяна:  1661 пъти(s)

дасдв.gif


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Donatello
Редовен


Регистриран на: 17 Jun 2008
Мнения: 103

Репутация: 13.4
гласове: 4

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 3:43 pm    Заглавие:

martosss написа:
phoenix_stz написа:
А на 11 клас първа задача за [tex]a = \sqrt{2+\sqrt{5} } [/tex] ли получавате,че има такива корени ? И някакви идеи за втора и трета, че там ми е пълна мъгла Question


Странно защо, но аз на 1-ва получих [tex]a=\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]

а втора и аз получих 6 като доказах една индукция [tex]a_n=a_{n-1}(a_{n-1}+1)[/tex] и изобщо не ползвах условието(не знам как ще ми се отрази на резултата, ама ... стори ми се много странно Confused


Как доказа индукцията ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 3:45 pm    Заглавие:

Bgtop100 написа:
На 1ва и аз съм получил колкото phoenix. А по 3-та вижте аз как я реших:
Тъй като a и b са взаимнопрости, то (a+b)^2 се дели единствено на 1, на a+b и на (a+b)^2.
Това не е вярно... Вземи си произволни числа и ще видиш. Например a=3,b=5 Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Bgtop100
Начинаещ


Регистриран на: 07 Jan 2009
Мнения: 6

Репутация: 1.9
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 3:47 pm    Заглавие:

stanislav atanasov написа:
Bgtop100 написа:
На 1ва и аз съм получил колкото phoenix. А по 3-та вижте аз как я реших:
Тъй като a и b са взаимнопрости, то (a+b)^2 се дели единствено на 1, на a+b и на (a+b)^2.
Това не е вярно... Вземи си произволни числа и ще видиш. Например a=3,b=5 Wink


Да усетих се... Ами не можеш ли да помогнеш малко с извода. Иначе мисля, че до средата е така или поне нещо подобно
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 4:08 pm    Заглавие:

Достигнал си до [tex](2c-a+b)(2c+a-b)=3(a+b)^2[/tex] Пробва ли да докажеш, че двата множителя от ляво са взаимнопрости?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 4:14 pm    Заглавие:

Шеста на десети клас (по-добре късно отколкото никога!):
n(n+1)(n+2)(n+3) се дели на 10, освен когато n=1. (Проверяваме и виждаме, че n=1 не е решение).
Разглеждаме по модул 10 (като имаме предвид, че m=8k):
[tex]8^9.k^9 \equiv 8 (mod 10)[/tex]
[tex]8^8.k^9 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
Искаме четно число да е сравнимо с 1 по модул 10. Трудно Wink .

.......
Всъщност, не винаги се дели на 10. Не се дели на 10 само когато n=5p+1.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Predator
Начинаещ


Регистриран на: 11 Apr 2008
Мнения: 16
Местожителство: dsfsdf
Репутация: 3.1Репутация: 3.1Репутация: 3.1
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 4:26 pm    Заглавие:

Има ли ги решенията в някой сайт?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Иди на страница Предишна  1, 2, 3, 4, 5  Следваща
Страница 2 от 5

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.