Решения на задачи 9 и 10 на Турнира на Декана на ФМИ

[estoyanovvd]

Хайде пускайте решенията на задачите!!!

[Реклама]

[Вандер]

Както и на 9та
Доста стабилни задачи, дано на изпита в СУ да са по-лесни.

[Вандер]

[NoThanks]

Шеста е лесна. Не е трудно да се докаже, че :
[tex]S_{MNP}=\frac{r^2(sin\alpha+sin\beta+sin\gamma)}{2}[/tex]

Сега като ползваме [tex]\frac{r}{R}=k[/tex] и синусова теорема намираме:
[tex]\frac{a}{2sin\alpha}=R=\frac{r}{k} =>sin\alpha=\frac{ka}{2r}[/tex] и другите аналог. Сега [tex]S_{MNP}=\frac{kr^2(a+b+c)}{4r}[/tex], [tex]S_{ABC}=pr=\frac{(a+b+c)r}{2}[/tex]
=>[tex]\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\frac{kr(a+b+c)}{4.\frac{(a+b+c)r}{2}}=\frac{k}{2}[/tex]
И все пак тук темата е друга

[Baronov]

10-та задача.
Без ограничение а>0.
Нека [tex]x_{1}, x_{2}[/tex] са корените на f''=0 [tex]x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}[/tex]. Ще докажем, че съществува единствена пресечна точка (t, f(t)), такава, че [tex]t>x_{0}[/tex].
Нека l е допирателната през [tex]x_{0}[/tex]
Съществуване. Ще използваме теоремата на Болцано. За големи х точката (x, f(x)) e над l.
За x близки до [tex]x_{0}[/tex] точката (x, f(x)) е под l, защото f e вдлъбната в [tex]x_{0}[/tex] (вижда се лесно като се нарисуват интервалите на положителност на втората производна).
От тук и от Болцано следва, че съществува поне една пресечна точка.
Единственост. Да допуснем, че има 2 точки [tex]t_{1} > x_{0}, t_{2} > x_{0}[/tex], такива, че точките [tex](t_{1}, f(t_{1})), (t_{2}, f(t_{2}))[/tex] са върху l. От уравнението на допирателната имаме:
[tex]\frac{f(t_{1})-f(x_{0})}{t_{1}-x_{0}} = f'(x_{0})[/tex]. От теоремата за крайните нараствания съществува h:
[tex]\frac{f(t_{1})-f(x_{0})}{t_{1}-x_{0}} = f'(h)[/tex]. От тук[tex]f'(x_{0}) = f'(h)[/tex]. f' намалява в интервала [tex](x_{0}, x_{2})[/tex] и расте за х по-големи от [tex]x_{2}[/tex]. т.е. съществува единствено [tex]h>x_{0}[/tex] : [tex]f'(h)=f'(x_{0})[/tex]. Да отбележим, че h > x2, t1 >h и t2 > h. Сега като напишем у-та на допирателната и заместим с t1, t2 или просто като вземем предвид, че направлението на правата през точките [tex](t_{1}, f(t_{1})), (t_{2}, f(t_{2}))[/tex] съвпада с l, получаваме [tex]f'(h)=f'(x_{0}) =\frac{f(t_{1}) - f(t_{2})}{t_{1}-t_{2}}[/tex]. Но [tex] \frac{f(t_{1}) - f(t_{2})}{t_{1}-t_{2}}=f'(g)[/tex]. за някое [tex]g \in (t_{1}, t_{2})[/tex], но тогава g>h и f'(g)=f'(h), което е противоречие със строгата монотонност на f' за [/tex]x>x_{2}[tex].
С това сме доказали и единствеността.
Аналогично доказваме, че допирателната пресича графиката в единствена точка наляво от [tex]x_{0}[/tex]. Тоест допирателната пресича графиката в две точки [/tex]t_{1} < x_{0} < t_{2}[tex].
Да разгледаме полинома [tex]g(x) = f(x) - xf'(x_{0}) - f(x_{0}) + x_{0}f(x_{0})[/tex]. Този полином има за корени [tex]t_{1}, t_{2}[/tex] и двукратен [tex]x_{0} [/tex]. Разликата на f и g е линеен полином. От тук следва, че третите им (даже и вторите ) производни съвпадат. т.е. x_{0} е корен на g'''.
Имаме [tex]g=a(x-x_{0})^{2}(x-t_{1})(x-t_{2})=a(x^{4}-(2x_{0}+t_{1}+t_{2})x^{3} + ...)[/tex]. Диференцираме 3 пъти и получаваме
[tex]g''' = a(24x - 6(2x_{0} + t_{1} + t_{2}))[/tex], От по горе [tex]g'''(x_{0})=0[/tex] откъдето се получава [tex]2x_{0}=t_{1} + t_{2}[\tex]. От тук и от талес получаваме, че АВ = АС.

[Makelov]

Десета доколкото разбрах излизала общо взето само с разписване
До нея обаче не успях да стигна, защото запецнах на девета - която ми беше интересна защото тъкмо почнахме да учим стереометрия и не си бях имал вземане-даване с такива задачки, знаех само аксиомите и основните теореми.
Затова отначало я подхванах аналитично (координатна система, питагорови неща, скаларни произведения) и от условието за четирите равни ъгъла по 60 градуса получих перпендикулярностите дадени в условието плюс още две ( силно озадачаващо и най-вероятно е грешно - въпреки че все още не мога да си открия грешка, но ще видим). Оттам нататък с още малко нещица уж доказах че пирамидата е правилна, основата й е квадрат и лежи в централно сечение на сферата (казаха ми че така се наричало сечението което минава през центъра й - има логика, а), а върхът Е се проектира в центъра на сферата, оттам лесно следва че радиусът е 2. Ама силно се съмнявам в някои от нещата в хода на доказателството защото не съм много вещ в стереометрията. Я кажете какво сте правили вие по нея?

P.S.: я, Баронов пуснал решение на десета. май не било само с разписване

[Baronov]

Всичко, което си написал е вярно. Радиусът е 2. Основата е квадрат. Центърът на сферата съвпада с центъра на квадрата, върха се проектира в центъра. Всичко това се доказва лесно и приятно с вектори. Особено като това е първата стереотметрия, която си решавал през живота си.

[Is it black or white?]

Да, основата е квадрат все пак колко получихте като отговор на 9-та, аз получих 2
Мога ли да използвам, че радиусът на описаната сфера е [tex]\frac{ l^{2}}{2h} [/tex] без да го доказвам, ние сме го вземали като формула в час, но го няма в таблиците, имам чувството, че няма да ми признаят задачата изобщо
Иначе на 5-та Коши нали?

[estoyanovvd]

Видяхте ли решенията пуснати от организаторите? Кажете да ги кача ли?

[Is it black or white?]

Да !

[estoyanovvd]

Ето ги!

[Pinetop Smith]

Някъде към 24-25-26 т. - зависи от 8-ма(решил съм 1, 2, 4, 5, 6, 7)...

[Вандер]

Задачите винаги изглеждат супер лесни, след като си се потил 5 часа над тях и после гледаш решенията и си казваш " Защо не се сетих".

[Pinetop Smith]

Аз 7 съм я решил точно като тях, макар първо да бях тръгнал с вадене и разлагане. Чак след като изписах 1 стр. с безцелни глупости обаче ми просветна

Пък 6 поради непознаването на тригонометрия съм я решил мега грозно, яко Херон

Някой решил ли е 4 с построяване на диаметър

[estoyanovvd]

Аз пък като гледам съм решил някои задачи по невероятно сложен начин! Но мисля, че 37 точки ще ми дойдат добре! За десетата просто не ми стигна времето! Може би още 1 час щеше да ми дойде добре!!!

[estoyanovvd]

Седма става и с изваждане, но после трябва да разгледаш три случая и нямаш проблеми! Когато имат общ корен и когато едната дискриминанта е нула, а другата отрицателна. Не е кой знае колко сложно!

[NoThanks]

[estoyanovvd]

[estoyanovvd]

Хващам бас, че никой не е решил втора задача по-сложно от мен!!! Продължавам медианите и получавам трапец! От триъгълника АВМ(М е медицентърът) намирам косинуса на ъгъла между диагоналите, после синуса, смятам лицето на трапеца по формулата произведението на диагоналите върху две по синуса на ъгъла между тях! После намирам височината и след това лицето на триъгълника! Ужас!!! Като я реших се сетих, че е много просто, нооооо времето е пари!!!

[NoThanks]

[estoyanovvd]

Я провери при [tex]a=\frac{3}{ 4},x=y=\frac{9}{ 4} [/tex] и ще видиш, че и то е решение! И стават две!

[NoThanks]

[Is it black or white?]

[kikon]

[Baronov]

[Makelov]

"Като говорим за сложни решения"...аз за лявата страна на неравенството ( ≥2 ) използвам Йенсен, но предполагам че Баронов ме бие с теоремата за крайните нараствания.

[Who_cares123456]

не виждам какво му е сложното, след като тая теорема (истинското й име е теорема на Лагранж, която пък е частен случай на теоремата на Коши) е елементарно следствие от теоремата на Рол, която е очевидно следствие от определението за производна

От друга страна са ми разправяли, че на някакво състезание, някой си доказвал, че
[tex]e^x[/tex] e растяща функция, като е написал пълно доказателство на факта, че
[tex]e^x=\sum_{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i!}[/tex] като го стигнете тоя шапка ви свалям.

[Baronov]

Много хора има, които никога няма да можем да стигнем. Ама ти си объркал реда за [tex]e^x[/tex]

[kaloyan]

задачите си им качиха решенията още вчера сутринта
уви не успях да се преборя с 9та и 10та, здраве да

п.п. първи пост

[kikon]

Да, супер сте, мерси за огромната заинтересованост, която проявявате. Но какво говоря? Сякаш сте длъжни да ми отговаряте, напротив, би било под достойнството Ви да се занимавате с такива низши въпроси.
Мисля повече да не ви затормозявам, явно отговорите не са тук. Лек ден.