Перпендикулярност

[r2d2]

В остроъгълния АВС допирателните към описаната окр. в точките А и В се пресичат в т.Д. От Д са спусанати перпендикуляри DE към правата АС и DF към ВС.

Докажете, че медианата СМ е перп. на ЕF.

[Реклама]

[Saposto_MM]

[tex]\angle BMD=\angle DFB=90^\circ [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] BMDF е вписан. Аналогично AMED е вписан. Оттук и от теоремите за вписан и периферен ъгъл [tex]\angle EMD=\angle EAD=\angle ABC[/tex], [tex]\angle FMD=\angle DBF=\angle BAC[/tex] и [tex]\angle DFM=\angle DBM=\angle ACB[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\angle EMF+ \angle DFM=180^\circ [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] EM||DF. Понеже DF е перпендикулярна на BC, то и EM е такава. Още повече [tex]\angle EDF=180^\circ -\angle ACB=\angle ABC+\angle BAC=\angle DBF+\angle EAD=\angle EMF[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\angle EDF+ \angle DFM=180^\circ [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] ED||FM. Понеже DE е перпендикулярна на BC, то и FM е перпендикулярна на нея.
От казаното до тук, следва, че M е ортоцентър на [tex]\Delta EFC[/tex], следователно CM е перпендикулярна на EF.

[estoyanovvd]

[r2d2]

Това (на estoqnov) беше и моето решение!
1. Вижте "авторовото" решение за 10-12 клас?!
2. @MM - мани тая тъпа програма Geonext!

И все пак основната идея в решението е да се док., че М е ортоцентър - често използвана хватка. ММ се е оправил блестящо!

[estoyanovvd]

Ами то решението си е на ММ. Аз просто му го редактирах.
И наистина ММ, земи мани тая програма!!!
А между впрочем r2d2 тази задачка от къде е?

[r2d2]