Задача 17

[Pinetop Smith]

Да се решат в естествени числа уравненията:
a)[tex]x^{y}-y^{x}=x-y[/tex]
b)[tex]x^{y}-y^{x}=1[/tex]

MM

[Реклама]

[dim]

b) [tex]x^y-y^x=1[/tex]

От условието следва [tex]x^y>y^x[/tex]<=>[tex]y.ln x>x.ln y[/tex]<=>[tex]\frac{ln x}{x}>\frac{ln y}{y}[/tex]. Функцията f(x)=[tex]\frac{ln x}{x}[/tex] е растяща за [tex]x\in [1,e)[/tex] и намаляваща за [tex]x\in(e,+\infty )[/tex]. Понеже [tex]x,y[/tex] естествени лесно се съобразява, че са равни на [tex]2[/tex] и/или [tex]1[/tex] или пък и двете са по-големи от [tex]2[/tex].( [tex]x,y>e>2[/tex]).

За [tex]x,y\le 2[/tex], чрез непосредствена проверка се вижда, че единственото решение е [tex](2,1)[/tex].

За [tex]x,y\ge 3[/tex], [tex]y>x[/tex] <=> [tex]x^y>y^x[/tex], защото [tex]f(x)[/tex] намалява срого в тоя интервал. Значи [tex]x\le y-1[/tex]. Нека [tex]t(y)=x^y-y^x[/tex]. Ако фиксираме [tex]x\ge 3[/tex], тогава функцията [tex]t(y)[/tex] е растяща за [tex]y>x[/tex]. Значи [tex]t(y)\ge t(x+1)[/tex]. Нека [tex]g(x)=x^{x+1}-(x+1)^{x}-1[/tex]. [tex]g'(x)=x((x+1)x^{x-1}-(x+1)^{x-1})[/tex], но [tex](x+1)x^{x-1}=\frac{x+1}{x^2}.x^{x+1}>\frac{x+1}{x^2}.(x+1)^x=(x+1)^{x-1}[/tex], за всяко [tex]x\ge 3[/tex] => за разглеждания интервал функцията е монотонно растяща. [tex]g(3)=16>0[/tex]=> [tex]g(x)>0[/tex] за всяко [tex]x\ge 3[/tex]=> [tex]t(y)\ge t(x+1)>1[/tex]. От тия разсъждения си правя извода, че естествените корени са в интервала [tex][1,3][/tex] и с непосредствена проверка откривам и другото решение [tex](3,2)[/tex].

[dim]

a)[tex]x^y-y^x=x-y[/tex]

Очевидно е, че ако [tex]x=y[/tex], всяка двойка [tex](x,y)[/tex] е решение. Също така е очевидно, че ако [tex]x>y[/tex] и [tex](x,y)[/tex], е решение, то решение е и [tex](y,x)[/tex]. Значи е достатъчно да се намерят решения за [tex]x>y[/tex].

Нека [tex]x>y[/tex]. Ако [tex]x^y>y^x[/tex] =>[tex]x,y[/tex] са равни на [tex]2[/tex] и/или [tex]1[/tex] или и двете са по-големи от [tex]2[/tex], т. е. [tex]x,y\ge 3[/tex]. Но за [tex]x,y\ge 3[/tex] =>[tex]y>x[/tex] (доказано е в предходната задача). Значи [tex]0>x^y-y^x=x-y>0[/tex]-противоречие. Значи за [tex]x,y\ge 3[/tex] у-то няма решение=>[tex]x,y\in [1,3][/tex]. С директна проверка намираме решенията [tex](1,2)[/tex], [tex](2,1)[/tex], [tex](3,2)[/tex], [tex](2,3)[/tex].

[dim]

Ето и графиката на [tex]f(x)=\frac{lnx}{x}[/tex], защото според мен е ключова и за двете задачи. Същата графика можем да използваме и за решението на диофантовото уравнение [tex]x^y=y^x[/tex] в естествени числа. Ясно е, че [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са от две различни страни на [tex]e[/tex], за да има решение, т.е. за едната променлива има само 2 възможни стойности(даже една) и оттам намираме другата.