Регистрирайте сеРегистрирайте се

Логаритмични неравенства


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sat Nov 01, 2008 10:43 am    Заглавие: Логаритмични неравенства

Логаритмични се наричат неравенства, в които променливата е под знака на логаритъм. Те могат да са от вида [tex]log_{a}f(x)>g(x), log_{a}f(x)<g(x), log_{a}f(x)\ge g(x), log_{a}f(x)\le g(x), log_{a}f(x)>log_{a}g(x), log_{a}f(x)<log_{a}g(x), log_{a}f(x)\ge log_{a}g(x), log_{a}f(x)\le log_{a}g(x)[/tex]. Основите на логаритмите в двете страни на последните четири неравенства може да не са равни числа, но чрез правилото за смяна на основата на логаритъма можем да преобразуваме неравенството и да го доведем до вид, в който всички логаритми са с еднакви основи.

1. Методи за решаване на най-прости логаритмични неравенства
Тук се използва следното:
— ако [tex]a>1, f(x)>0, g(x)>0[/tex], то [tex]log_{a}f(x)>log_{a}g(x) \Leftrightarrow f(x)>g(x)[/tex];
— ако [tex]0<a<1, f(x)>0, g(x)>0[/tex], то [tex]log_{a}f(x)>log_{a}g(x) \Leftrightarrow f(x)<g(x)[/tex];
— ако [tex]a>1, f(x)>0, g(x)>0[/tex], то [tex]log_{a}f(x)<log_{a}g(x) \Leftrightarrow f(x)<g(x)[/tex];
— ако [tex]0<a<1, f(x)>0, g(x)>0[/tex], то [tex]log_{a}f(x)<log_{a}g(x) \Leftrightarrow f(x)>g(x)[/tex].

Пример 1. Решете логаритмичното неравенство: [tex]log_{\frac{1}{3}}x>2[/tex].
Решение. [tex]DM_{x}: x>0[/tex]. Искаме да представим дясната страна на неравенството като степен на числото [tex]\frac{1}{3}[/tex]. Тъй като [tex]2[/tex] е степенният показател, на който се повдига [tex]\frac{1}{3}[/tex], то [tex]log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{9}=2[/tex]. Тогава:
[tex]log_{\frac{1}{3}}x>2 \Leftrightarrow log_{\frac{1}{3}}x>log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{9} \Leftrightarrow x<\frac{1}{9}[/tex], защото основата на логаритъма е в интервала [tex](0;1)[/tex]. Съобразявайки се с допустимите стойности, намираме крайното решение: [tex]x\in (0;\frac{1}{9})[/tex].

Пример 2. Да се реши логаритмичното неравенство: [tex]log_{5}(x-1)+log_{5}(4x+1)<3[/tex].
Решение. Определяме множеството от стойности, за които са дефинирани логаритмите:
[tex]\begin{array}{||}x-1>0\\4x+1>0\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x>1\\x>-\frac{1}{4}\end{array} \Leftrightarrow x\in (1;+\infty)[/tex].
По правилото за сбор на логаритми определяме, че [tex]log_{5}(x-1)+log_{5}(4x+1)=log_{5}(x-1)(4x+1)[/tex]. Тогава даденото логаритмично неравенство придобива вида [tex]log_{5}(x-1)(4x+1)<3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow log_{5}(x-1)(4x+1)<log_{5}125 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x-1)(4x+1)<125 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 4x^2-3x-126<0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x-6)(x+\frac{21}{4})<0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x\in (-\frac{21}{4};6)[/tex].
Като отчетем допустимите стойности, окончателно определяме, че [tex]x\in (1;6)[/tex].

Пример 3. Да се реши логаритмичното неравенство: [tex]lg(x^2+2x+10)\ge lg(2x+1)+1[/tex].
Решение. Дефиниционното множество се определя от системата неравенства [tex]\begin{array}{||}x^2+2x+10>0\\2x+1>0\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x\in R\\x>-\frac{1}{2}\end{array} \Leftrightarrow x>-\frac{1}{2}[/tex].
Преобразуваме неравенството:
[tex]lg(x^2+2x+10)\ge lg(2x+1)+1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow lg(x^2+2x+10)\ge lg(2x+1)+lg10 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow lg(x^2+2x+10)\ge 10(2x+1) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x^2+2x+10\ge 10(2x+1) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x(x- 18 )\ge 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x\in (-\infty;0]\cup [ 18 ;+\infty)[/tex]. Като се съобразим с дефиниционното множество, определяме, че [tex]x\in (-\frac{1}{2};0]\cup [ 18 ;+\infty)[/tex].

Задача 4. Да се реши логаритмичното неравенство: [tex]lg(3x-2)-lg(2x-5)<lg5[/tex].
Решение. Определяме множеството от стойности на променливата, за които са дефинирани логаритмите: [tex]\begin{array}{||}3x-2>0\\2x-5>0\end{array} \Leftrightarrow x\in (\frac{5}{2};+\infty)[/tex]. Сега опростяваме:
[tex]lg(3x-2)-lg(2x-5)<lg5 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow lg\frac{3x-2}{2x-5}<lg5 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{3x-2}{2x-5}<5[/tex]. Посоката на даденото неравенство се запазва, защото основата е [tex]10[/tex]. Така достигаме до еквивалентното [tex](23-7x)(2x-5)<0[/tex], чиито решения са заключени в интервалите [tex](-\infty; \frac{5}{2})\cup (\frac{23}{7};+\infty)[/tex]. Като се съобразим с определените допустими стойности, окончателно определяме, че [tex]x\in (\frac{23}{7};+\infty)[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Apr 03, 2009 8:49 am    Заглавие:

Задача 5. Да се реши логаритмичното неравенство [tex]\log_{\frac{1}{3}}\log_{2}\frac{x^2-3x-16}{x+4}\le 0[/tex].
Решение. Сега, понеже тук имаме логаритъм от логаритъм, удобно ще е да въведем неизвестното [tex]\frac{x^2-3x-16}{x+4}=u[/tex] например. В такъв случай ще получим
[tex]\log_{\frac{1}{3}}\log_{2}u[/tex]. Оттук определяме дефиниционната област: [tex]{\cyr DO:}\begin{array}{||}u>0\\\log_{2}u>0\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}u>0\\u>1\end{array} \Leftrightarrow u>1[/tex]. Преобразуваме даденото неравенство:
[tex]\log_{\frac{1}{3}}\log_{2}u\le 0 \Leftrightarrow \log_{2}u\ge 1 \Leftrightarrow u\ge 2[/tex]. Връщайки се в субституцията, намираме
[tex]\frac{x^2-3x-15}{x+4}\ge 2 \Leftrightarrow \frac{x^2-3x-16-2x-8}{x+4}\ge 0 \Leftrightarrow (x^2-5x-24)(x+4)\ge 0, x\neq -4 \Leftrightarrow x\in (-4;-3]\cup (8;+\infty)[/tex]. Всички решения на неравенството са от [tex]\cyr DO[/tex].

Задача 6. Да се реши логаритмичното неравенство [tex]1+5\log_{3}\sqrt[5]{\frac{3x+7}{x-1}}\ge \frac{1}{4}\log_{\sqrt{3}}(x+7)^2[/tex].
Решение. Имаме [tex]{\cyr DO:}\begin{array}{||}\frac{3x+7}{x-1}>0\\x\neq -7\end{array}[/tex]. Сега, използвайки свойствата на логаритмите, преобразуваме неравенството:
[tex]1+\cancel 5.\frac{1}{\cancel 5}\log_{3}\frac{3x+7}{x-1}\ge \frac{\cancel 2\log_{3}(x+7)^2}{\cancel 2.2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \log_{3}3+\log_{3}\frac{3x+7}{x-1}\ge \frac{\log_{3}(x+7)^2}{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2\log_{3}\frac{3(3x+7)}{x-1}\ge \log_{3}(x+7)^2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \log_{3}(\frac{9x+21}{x-1})^2\ge \log_{3}(x+7)^2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (\frac{9x+21}{x-1})^2\ge (x+7)^2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (\frac{9x+21}{x-1})^2-(x+7)^2\ge 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (\frac{9x+21}{x-1}+x+7)(\frac{9x+21}{x-1}-x-7)\ge 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x^2+15x+14)(x^2-3x-28)\le 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+1)(x+14)(x-7)(x+4)\le 0[/tex].
Отчитайки дефиниционното множество, окончателно определяме [tex]x\in [-14;-4]\cup (1;7] \left \\\ \{-7} \right[/tex].

Задача 7. Да се реши логаритмичното неравенство [tex]\log_{2}(4^{x+1}-1)<x+\log_{2}(2^{x+1}+1)[/tex].
Решение. Дефиниционното множество се определя от неравенството [tex]4^{x+1}-1>0 \Leftrightarrow 4^{x+1}>4^0 \Leftrightarrow x+1>0 \Leftrightarrow x>-1[/tex]. Сега малко преобразуваме:
[tex]\log_{2}[4.(2^x)^2-1]<x+\log_{2}(2.2^x+1)[/tex].
Въвеждаме неизвестното [tex]2^x=u \Leftrightarrow x=\log_{2}u, u>0 \Rightarrow \log_{2}(4u^2-1)<\log_{2}u+\log_{2}(2u+1) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \log_{2}(4u^2-1)<\log_{2}u(2u+1) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \log_{2}(2u+1)(2u-1)<\log_{2}u(2u+1) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2u+1)(2u-1)<u(2u+1) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2u+1)(2u-1)-u(2u+1)<0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2u+1)(u-1)<0 \Leftrightarrow u\in (-\frac{1}{2};1) \Leftrightarrow \begin{array}{||}u>-\frac{1}{2}\\u<1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}2^x>-\frac{1}{2}\\2^x<2^0\end{array} \Leftrightarrow x<0[/tex].
Но от [tex]\cyr DO[/tex] имаме [tex]x>-1 \Rightarrow x\in (-1;0)[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Mon Jul 20, 2009 6:15 pm    Заглавие:

Задача 8. Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които неравенството
[tex](2-\log_{2}\frac{a}{a+1})x^2+2(1+\log_{2}\frac{a}{a+1})x-2(1+\log_{2}\frac{a}{a+1})>0[/tex]
е изпълнено за всяко реално число [tex]x[/tex].

Решение. Понеже участват логаритми, имаме да определяме допустими стойности: [tex]{\cyr D.M.} \frac{a}{a+1}>0 \Leftrightarrow a\in (-\infty;-1) \cup (0;+\infty)[/tex]. За да пишем по-малко, нека да въведем [tex]\log_{2}\frac{a}{a+1}=u[/tex], откъдето неравенството придобива вида
[tex](2-u)x^2+2(1+u)x-2(1+u)>0[/tex].
Сега, за да е изпълнено за всяко число [tex]x[/tex] неравенството [tex]f(x)>0[/tex], където [tex]f(x)=a_{0}x^2+bx+c[/tex] е квадратна функция, е необходимо системата
[tex]\begin{array}{||}a_{0}>0 \\ b^2-4a_{0}c<0 \end{array}[/tex]
да има решения. Лесно определяме
[tex]\begin{array}{||}2-u>0 \\ [2(1+u)]^2+4(2-u)2(1+u)<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}2-u>0 \\ (u+1)(5-u)<0 \end{array} \Leftrightarrow u\in (-\infty;-1)[/tex].
Връщайки се в субституцията, намираме
[tex]u<-1 \Leftrightarrow \log_{2}\frac{a}{a+1}<-1 \Leftrightarrow \frac{a-1}{2(a+1)}<0 \Leftrightarrow (a-1)(a+1)<0 \Leftrightarrow a\in (-1;1) \Rightarrow^{\cyr D.M.} a\in (0;1)[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
d/dx
Начинаещ


Регистриран на: 26 Sep 2009
Мнения: 52

Репутация: -0.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 6:48 pm    Заглавие:

Има ли според вас някакъв по-общ принцип за решаване на логаритмични неравенства? Мисълта ми е, не е ли по-добре да си мислим за логаритмичните неравенства като едно цяло, а не да се мъчим да ги разпознаваме кое от какъв вид беше?
Не е нужно едно и също неравенство, записано по различен начин, да се смята за различно. Не е ли така?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 7:08 pm    Заглавие:

Само малко здрав разум Very Happy
d/dx написа:
Тъй като дясната страна на уравнението е винаги неотрицателна, то за да бъде изпълнено равенството трябва и логаритъма да е неотицателен, т. е. аргументът му да е по голям или равен на едно което дава [tex]x\ge\frac{1}{2}[/tex]. При тези стойности на х, [tex]|x-\frac{1}{2}|=x-\frac{1}{2}[/tex], така че уравнението се свежда до обикновеното логаритмично уравнение

[tex]\log_2\left(x+\frac{1}{2}\right)=x-\frac{1}{2},[/tex]

на което се търсят решения, които да удовлетворяват x>=1/2.

Прояви го, в този пост и ще разбереш. Very Happy Дай решение...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
d/dx
Начинаещ


Регистриран на: 26 Sep 2009
Мнения: 52

Репутация: -0.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 7:21 pm    Заглавие:

Съжалявам, че не разбирам какво искате да кажете, ако може по-конкретно. Лично аз не успявам да намеря грешка в разсъжденията. Може би Вие ще ми я посочите Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 7:24 pm    Заглавие:

d/dx написа:
Съжалявам, че не разбирам какво искате да кажете, ако може по-конкретно. Лично аз не успявам да намеря грешка в разсъжденията. Може би Вие ще ми я посочите Smile

Не казвам, че имаш грешка, но липсва решение за х Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
d/dx
Начинаещ


Регистриран на: 26 Sep 2009
Мнения: 52

Репутация: -0.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 7:35 pm    Заглавие:

Е, решение за х не беше посочено, защото потребителя се затруднява заради модула, аз само показах как да се отърве лесно от него. Иначе е ясно, че такова уравнение се решава графично и по-точно с изследване на функции.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 7:48 pm    Заглавие:

d/dx написа:
Е, решение за х не беше посочено, защото потребителя се затруднява заради модула, аз само показах как да се отърве лесно от него. Иначе е ясно, че такова уравнение се решава графично и по-точно с изследване на функции.

Би ли дал, решение?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
d/dx
Начинаещ


Регистриран на: 26 Sep 2009
Мнения: 52

Репутация: -0.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 11:04 pm    Заглавие:

Ами вижте. По принцип решенията на това уравнение се намират по очевиден начин, с начертаването на графиките на функциите от двете страни на уравнението.
Ако искате по-прецизно решение, със смяната x+1/2=t и въвеждането на функцията [tex]f(t)=\log_2 t-t+1[/tex], дефинирана за t>=1, лесно установявате, че очевидните решения x=1/2, x=3/2 са единствени, тъй като f(t) расте за 1≤t≤log2e и намалява за t≥log2e. Тъй като [tex]\lim_{t\to\infty}f(t)=-\infty,[/tex] лесно установявате съществуването на точка y>log2е, за която f(y)<0 и тогава имаме f(log2e)f(y)<0. Поради монотонността и непрекъснатостта на f в интервала (log2e, ∞), се убеждаваме, че x=3/2 e единствено решение в разглеждания интервал. Единствеността на решението x=1/2 е очевидна, тъй като f е монотонна и [tex]\lim_{t\to 1}f(t)=0[/tex]. Остава само да си докажете, че f(log2e)>0, което оставям на вас или на някой ентусиазиран ученик, на който му се сравняват реални числа. Cool


Последната промяна е направена от d/dx на Sat Oct 24, 2009 12:00 am; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
d/dx
Начинаещ


Регистриран на: 26 Sep 2009
Мнения: 52

Репутация: -0.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 11:26 pm    Заглавие:

Иначе нека автора на темата ни извини, че малко размихме със задачи от други теми. Принципно въпросите, които зададох са с цел да се замислим всички за нещата по принцип, а не толкова да остоумничим. Например за автора на темата би било полезно, ако осъзнае, че всчиките видове неравенства, които е написал представляват всъщност едно и също неравенство, което може да се разглежда, като строго или не строго. Просто зависи какво ще означите с f(x) и g(x). Защото вие за f и g можете да избирате каквито си искате изрази и при всеки конкретен избор ще получавате някакъв конкретен вид неравенство. Но така вие можете да изкарате неравествата неограничен брой видове, което е безсмислено, защото само си усложнявате живота. Smile

Нека поясня. Всички строги или нестоги логаритмични неравенства свъщност могат да се разглеждат като един вид, а именно като
[tex]\ln f(x)>g(x)[/tex] или [tex]\ln f(x)\ge g(x)[/tex] или ако щете вземете обратните посоки, то е без значение.
Нека сега попитаме автора, защо например смята, че неравенствата [tex]\log_a f(x)>g(x)[/tex] и [tex]\log_af(x)>\log_ah(x)[/tex] са различни?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.