Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача 13


 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Thu Oct 30, 2008 9:37 pm    Заглавие: Задача 13

Имаме монета. Имаме още бяла дъска и молив.
С молива и с помощта на монетата сме начертали окръжност на дъската - сложили сме монетата върху дъската и с молива сме обиколили по страничния ръб на монетата. След това върху окръжността сме фиксирали една произволна точка A.

Постройте точката B върху окръжността, такава че B да е диаметрално разположена на A.
За построението разполагате само с молива и монетата.

dqs
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Fri Oct 31, 2008 12:33 pm    Заглавие:

Да уточня, че аз не съм автор на тази задача. Нищо, че аз съм този който я публикува преди седмица в раздела "Забавна математика", където не беше решена.
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=6919

Да уточня още, че с монетата и молива може да се правят следните неща:
- дадена е точка - с монетата можем да построим коя и да е окръжност през тази точка
- ако разстоянието между две дадени точки е по-малко от диаметъра на монетата, то с монетата можем да построим коя и да от двете окръжностти през тези две точки

(!) Разбира се, тук под "коя и да е окръжност", се има предвид "коя и да е окръжност, с диаметър равен на диаметъра на монетата".

И още нещо, за което вече стана въпрос:
Като следствие от тази задача имаме решение и на задачата:
"с монетата да се построи допирната окръжност в точката A".
С това косвено искам да отговоря на въпроса "За да построим диаметралната точка, можем ли с монетата да построяваме допирна окръжност към дадена окръжност ?" - не, не можем на око, по-горе е указано какво можем да правим с молива и монетата на око. Но съществува поне един алгоритъм за построение на тази допирна окръжност и този алгоритъм ползва резултата от тази задача. Ако някой покаже друг алгоритъм, то може да го ползва, т.е. да построи допирна окръжност и съответно да ползва тази допирна окръжност[и] за решаване на тази задача.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Nov 20, 2008 1:06 pm    Заглавие:

Минаха почти три седмици от публикуването на задачата. Доколкото разбрах правилата на форума (след кратка консултация с модераторите и администраторите), задачата на седмицата трябва да се решава в седмицата в която е публикувана. И понеже това не се е случило, то би трябвало да публикувам вече решението. Даже съм закъснял.

След известен размисъл, реших още малко да отложа публикуването на решението. Мотивите ми са, че тази задача лесно може да се реши с ученически познания от 10-ти клас. А и самата задача е обидно лесна - за да се намери търсената точка се построяват последователно четири окръжности с монетата, като първите три са почти произволни. На мен ми трябваха две вечери по един час за да реша задачата. А доколкото виждам, повечето ученици посещаващи редовно форума, са отлично подготвени и са в много по-добра математическа кондиция от мен. Някак си не ми се иска да вярвам, че онази статия на френския професор важи и за българското образование.

Затова реших, вместо сега да публикувам решението на тази задача, да публикувам решения на други две задачи, които са изключително близки като съдържание и методи за решаване с първоначалната задача. И евентуално с това да предизвикам допълнителен интерес към първоначалната задача и съответно някой (друг) да я реши.

Разбира се, ако модераторите и администраторите кажат "Давай веднага решението !!! Защото правилата са такива !!!", то няма да се дърпам повече, ще го дам веднага.
----------------------------

В предишния пост стана въпрос, че ако имаме решение на първоначалната задача, то с монетата можем да построим допирателна окръжност в коя и да е дадена точка върху окръжността. Всъщност не знам дали такова понятие "допирателна окръжност" съществува. Би трябвало да съществува, но ако не съществува, то можем да считаме, че две окръжности са допирателни една на друга, ако имат една единствена обща точка. (Такава дефиниция на "допирателна окръжност" интуитивно не противоречи и на случая, когато двете окръжност са с различни радиуси и едната е вътре в другата)

И сега искам да покажа как с монетата се построява допирателната окръжност при следните вече разширени правила за построяване:
Правило 1. (старо) дадена е точка - с монетата можем да построим коя и да е окръжност през тази точка
Правило 2. (старо) ако разстоянието между две дадени точки е по-малко от диаметъра на монетата, то с монетата можем да построим коя и да от двете окръжностти през тези две точки
Правило 3. (ново) дадена е окръжност (с диаметъра на монетата) и точка върху тази окръжност - можем да построим нова точка върху окръжността различна от дадената, такава че дадената и новопостроената точка определят диаметър на окръжността (т.е., двете точки лежат в двата края на един диаметър)

I. (виж картинката)
1. Нека е дадена окръжността [tex]k[/tex] (с диаметъра на монетата) и точка [tex]M[/tex] върху тази окръжност
2. Избираме произволна точка [tex]N[/tex] върху окръжността различна от [tex]M[/tex] и различна от диаметралната на [tex]M[/tex]
3. Съгласно правило 2, построяваме окръжността [tex]k_{1}[/tex] през [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex]
Съгласно правило 3, върху окръжността [tex]k_{1}[/tex] построяваме диаметралната точка [tex]N_{1}[/tex] на [tex]N[/tex]
4. Съгласно правило 2, построяваме окръжността [tex]k_{2}[/tex] през [tex]M[/tex] и [tex]N_{1}[/tex]



II.
Ще докажем, че [tex]k_{2}[/tex] е търсената допирателна окръжност в точката [tex]M[/tex].

Нека означим с [tex]O[/tex] центъра на окръжността [tex]k[/tex], с [tex]O_{1}[/tex] центъра на окръжността [tex]k_{1}[/tex] и с [tex]O_{2}[/tex] центъра на окръжността [tex]k_{2}[/tex]
Фигурите [tex]OMO_{1}N[/tex] и [tex]O_{1}MO_{2}N_{1}[/tex] са ромбове [tex] \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]OM \parallel NO_{1} \parallel O_{1}N_{1} \parallel MO_{2} [/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] ако разгледаме допирателната права [tex]a[/tex] към окръжността [tex]k[/tex] то тази права [tex]a[/tex] е допирателна права и към окръжността [tex]k_{2}[/tex] защото е перпендикулярна както на [tex]OM[/tex] така и на [tex]MO_{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] няма как окръжносттите [tex]k[/tex] и [tex]k_{2}[/tex] да имат втора обща точка различна от [tex]M[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] окръжносттите [tex]k[/tex] и [tex]k_{2}[/tex] са допирателни една на друга

Другата подобна задача, ще я разгледам в отделен пост
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.