Регистрирайте сеРегистрирайте се

Рационални неравенства


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Wed Oct 29, 2008 10:24 am    Заглавие: Рационални неравенства

1. Решаване на най-прости неравенства по метода на интервалите

Пример 1. Да се реши неравенството: [tex](x-3)(x-6)(x+1)>0[/tex].
Решение.
* стъпка І: определяме нулите на всеки един от множителите: [tex]x-3=0 \Rightarrow x=3; x-6=0 \Rightarrow x=6; x+1=0 \Rightarrow x=-1[/tex];
* стъпка ІІ: нанасяме по тяхната подредба тези числа върху числовата ос, съответно[tex]-1, 3, 6[/tex];
* стъпка ІІІ: така числовата ос е разделена на четири интервала: [tex](-\infty;-1), (-1;3), (3;6), (6;+\infty)[/tex];
* стъпка ІV: определяме знаците на неравенството във всеки от интервалите; в най-десния интервал нанасяме знака пред променливата на най-високата степен, в случая това е знакът [tex]+[/tex], защото при разкриване на скобите пред [tex]x^3[/tex] е знак [tex]+[/tex]; след това последователно редуваме знаците отдясно наляво: [tex]+, -, +, -[/tex];
* стъпка V: защриховаме тези полета, които отговарят на посоката на неравенството, в случая всички полета със знак [tex]+[/tex], защото неравенството е [tex](ax+b)(cx+d)>0[/tex]; така получаваме крайния отговор:

[tex]x\in (-1;3)\cup (6;+\infty)[/tex].

2. Решаване на дробни неравенства по метода на интервалите
Дробно неравенство се нарича неравенство от вида [tex]\frac{ax+b}{cx+d}>0; \frac{ax+b}{cx+d}<0; \frac{ax+b}{cx+d}\ge 0; \frac{ax+b}{cx+d}\le 0[/tex]. Решението на дробното неравенство се състои от тези числа, за които знаменателят приема различни от нула стойности, тоест [tex]cx+d\neq 0 \Leftrightarrow x\neq -\frac{d}{c}[/tex].

Пример 2. Да се реши неравенството: [tex]\frac{x+6}{x-3}>0[/tex].
Решение. По принцип дробното неравенство се превръща в цяло неравенство за тези стойности на променливата, за които знаменателят не е нула, тоест [tex]\frac{ax+b}{cx+d}>0[/tex] е еквивалентно на [tex](ax+b)(cx+d)>0[/tex] при [tex]cx+d\neq 0[/tex]. Тогава за даденото неравенство може да се запише:

[tex]\frac{x+6}{x-3}>0 \Leftrightarrow (x+6)(x-3)>0, x-3\neq 0, x\neq 3[/tex].

Отново по гореописания метод върху числовата ос се нанасят нулите на множителите. Така се получават интервалите [tex](-\infty;-6), (-6;3), (3;+\infty)[/tex]. В най-десния интервал поставяме знак [tex]+[/tex] и после редуваме алтернативно: [tex]+, -, +[/tex]. Избираме полетата отново със знак [tex]+[/tex], понеже неравенството е [tex](ax+b)(cx+d)>0[/tex]. Окончателно за решения на даденото неравенство получаваме, че [tex]x\in(-\infty;-6)\cup (3;+\infty)[/tex].

Пример 3. Да се реши дробното неравенство: [tex]\frac{x-1}{x+2}\le 0[/tex].
Решение. Преобразуваме: [tex]\frac{x-1}{x+2}\le 0 \Leftrightarrow (x-1)(x+2)\le 0, x+2\neq 0, x\neq -2[/tex]. Посредством разделянето на интервали определяме, че [tex]x\in (-2;1][/tex]. При числото [tex]-2[/tex] скобата е обикновена, защото ако беше поставена правоъгълна, това би означавало, че и самото число [tex]-2[/tex] се включва в решенията, а това е невъзможно, защото тогава знаменателят би станал нула. При [tex]1[/tex] скобата е правоъгълна, защото това число не прави знаменателя нула. Всъщност видът на неравенството — [tex]>, <, \ge, \le[/tex], определя скобите. При [tex]> [/tex] и [tex]<[/tex] скобите са обикновени, а при [tex]\ge[/tex] и [tex]\le[/tex] — правоъгълни.

Пример 4. Да се реши неравенството: [tex]\frac{x^2+1}{x^2-1}\ge 0[/tex].
Решение. Дефиниционното множество се определя от условието [tex]x^2-1\neq 0 \Leftrightarrow (x+1)(x-1)\neq 0 \Leftrightarrow x\neq \pm1[/tex]. Преобразуваме даденото неравенство и получаваме: [tex]\frac{x^2+1}{x^2-1}\ge 0 \Leftrightarrow (x^2+1)(x^2-1)\ge 0, x\neq \pm1 \Leftrightarrow (x^2+1)(x+1)(x-1)\ge 0[/tex]. Тричленът [tex]x^2+1[/tex] е неразложим на множители и е винаги положителен. Тогава той не влияе на решенията на неравенството и можем да го премахнем, при което получаваме само [tex](x+1)(x-1)\ge 0[/tex] и по метода на интервалите определяме, че [tex]x\in (-\infty;-1)\cup (1;+\infty)[/tex]. Скобите при безкрайностите са обикновени, защото там няма най-големи и най-малки числа. При [tex]-1[/tex] и [tex]1[/tex] също са обикновени, защото тези две числа анулират знаменателя на даденото дробно неравенство.

3. Решаване на рационални неравенства с параметри
При решаването на квадратни и дробни неравенства се използва, че:
* неравенството [tex]a_{0}x^2+bx+c>0[/tex] е изпълнено за всяка реална стойност на променливата, когато [tex]\begin{array}{||}a_{0}>0\\b^2-4a_{0}c<0\end{array}[/tex], където с [tex]a_{0}[/tex] сме означили старшия коефициент на квадратния тричлен;
* неравенството [tex]a_{0}x^2+bx+c<0[/tex] е изпълнено за всяка реална стойност на променливата, когато [tex]\begin{array}{||}a_{0}<0\\b^2-4a_{0}c<0\end{array}[/tex], където с [tex]a_{0}[/tex] сме означили старшия коефициент на квадратния тричлен;
* неравенството [tex]a_{0}x^2+bx+c\ge 0[/tex] е изпълнено за всяка реална стойност на променливата, когато [tex]\begin{array}{||}a_{0}>0\\b^2-4a_{0}c\le 0\end{array}[/tex], където с [tex]a_{0}[/tex] сме означили старшия коефициент на квадратния тричлен;
* неравенството [tex]a_{0}x^2+bx+c\le 0[/tex] е изпълнено за всяка реална стойност на променливата, когато [tex]\begin{array}{||}a_{0}<0\\b^2-4a_{0}c\le 0\end{array}[/tex], където с [tex]a_{0}[/tex] сме означили старшия коефициент на квадратния тричлен.

Пример 5. За кои стойности на реалния параметър [tex]m[/tex] неравенството [tex]\frac{x^2+mx-2}{x^2-x+1}>-3[/tex] е изпълнено за всяко [tex]x[/tex]?
Решение. Дефиниционното множество се състои от онези стойности на променливата, за които знаменателят не е нула, тоест [tex]x^2-x+1\neq 0[/tex]. Но този тричлен е неразложим и следователно в дефиниционното множество се включват всички стойности на [tex]x[/tex]. Затова можем да премахнем знаменателя:

[tex]\frac{x^2+mx-2}{x^2-x+1}>-3 \Leftrightarrow x^2+mx-2>-3(x^2-x+1) \Leftrightarrow 4x^2+(m-3)x+1>0[/tex].

За да е изпълнено това неравенство за всяка реална стойност на променливата, то трябва [tex]b^2-4a_{0}c<0[/tex] [tex](a_{0}=4, a_{0}>0)[/tex], тоест

[tex](m-3)^2-4.4<0 \Leftrightarrow (m-3)-4^2<0 \Leftrightarrow (m-3+4)(m-3-4)<0 \Leftrightarrow (m+1)(m-7)<0 \Leftrightarrow m\in (-1;7)[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.