Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Sat Jun 21, 2008 7:42 pm Заглавие: Задача 8 |
|
|
Задача 8. Да се докаже, че не съществуват [tex]\ 5\ [/tex] точки в пространството, такива че разстоянията между всеки две от тях да са нечетни естествени числа. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 7:07 pm Заглавие: |
|
|
Не е трудно да се докаже, че не съществуват [tex]4[/tex] точки в равнината със свойството: разстоянията между всеки две от тях са нечетни естествени числа.
Използвайте това за да решите задача 8, която можем да обобщим така:
Задача 8'. Да се докаже, че не съществуват [tex]n+2[/tex] точки в [tex]\ \mathbb{R}^n,[/tex] такива че разстоянията между всеки две от тях да са нечетни естествени числа. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Baronov Напреднал
Регистриран на: 05 Jun 2008 Мнения: 316
гласове: 39
|
Пуснато на: Thu Jul 03, 2008 4:27 pm Заглавие: |
|
|
Мирослав Стоенчев написа: |
Да се докаже, че не съществуват [tex]n+2[/tex] точки в [tex]\ \mathbb{R}^n,[/tex] такива че разстоянията между всеки две от тях да са нечетни естествени числа. |
Как следва това от равнинния случай? Аз съм виждал този факт само за n≠2(mod 8 ). Как го правиш за всяко n.
Освен това как доказваш равнинния случй лесно? Аз знам едно решение с алгебра, което върви за всяко n≠2(mod 8 ). Твоето с елементарна геометрия ли е? Ако е така какво използваш?
Не е нужно да пишеш пълно решение, само идея е ок. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Thu Jul 03, 2008 6:07 pm Заглавие: |
|
|
От случая n=2 лесно следва случая за n=3, обобщението разбира се не следва от n=2. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Tue Jul 08, 2008 2:25 pm Заглавие: |
|
|
Задача 8.
Да допуснем, че съществуват 5 точки в пространството такива, че разстоянията между всеки две от тях са нечетни естествени числа. Полагаме [tex]BC=a,\ CA=b,\ AB=c,\ DA=a_1,\ DB=b_1,\ DC=c_1,\ AE=a_2,\ BE=b_2,\ CE=c_2,\ DE=d.[/tex] Тогава елементите на множеството [tex]\left\{a,b,c,a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2,d\right\}[/tex] са нечетни естествени числа. Никои 4-ри от точките не лежат в една равнина, иначе бихме получили четно разстояние. Б.о.о. ще считаме, че правата през [tex]D[/tex] и [tex]E[/tex] пресича равнината [tex]\alpha(ABC)[/tex] в точка от вътрешността на [tex]\triangle ABC.[/tex]
Полагаме [tex]\angle(DE,\ \alpha(ABC))=\varphi,\ \angle (\vec{AB},\vec{DE})=\psi,\ \angle(\vec{BC},\vec{DE})=\theta,\ \angle ABC=\beta.\ [/tex] Директно пресмятаме:
[tex]\cos\psi=\frac{b_1^2+a_2^2-a_1^2-b_2^2}{2cd},\ \ \ \cos\theta=\frac{b_2^2+c_1^2-b_1^2-c_2^2}{2da},\ \ \ \sin^2\varphi=\frac{1+2\cos\psi.\cos\theta.\cos\beta-\cos^2\psi-\cos^2\theta-\cos^2\beta}{\sin^2\beta}.[/tex]
Не е трудно да се докаже, че съществуват такива цели числа [tex]A_i,\ B_i,\ C_i,\ D_i,\ \: \[/tex] [tex]A_i\equiv B_i\equiv C_i\equiv D_i\equiv 1(\bmod 4 ) [/tex] такива, че
[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{12}\sqrt{4(a_1b_1c_1)^2+A_1-B_1-C_1-D_1};\ \ \ V_{ABCE}=\frac{1}{12}\sqrt{4(a_2b_2c_2)^2+A_2-B_2-C_2-D_2}.[/tex]
Означаваме с [tex]V[/tex] обема на многостена с върхове в 5-те точки [tex]A,B,C,D,E.\ \ [/tex] Тогава [tex]\ \ \ V=\frac{d.\sin\varphi.S_{\triangle ABC}}{3}=\frac{acd.\sin\varphi\sin\beta}{6}.[/tex]
Директно пресмятаме: [tex](1)\ \ \ V^2=\frac{4(acd)^2+(b_1^2+a_2^2-a_1^2-b_2^2)(b_2^2+c_1^2-b_1^2-c_2^2)(c^2+a^2-b^2)-a^2(b_1^2+a_2^2-a_1^2-b_2^2)^2-c^2(b_2^2+c_1^2-b_1^2-c_2^2)^2-d^2(c^2+a^2-b^2)^2}{12^2},[/tex]
[tex](2)\ \ \ V^2=(V_{ABCD}\pm V_{ABCE})^2.\ \ \[/tex] От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] достигаме до:
[tex]4(acd)^2+(b_1^2+a_2^2-a_1^2-b_2^2)(b_2^2+c_1^2-b_1^2-c_2^2)(c^2+a^2-b^2)-a^2(b_1^2+a_2^2-a_1^2-b_2^2)^2-c^2(b_2^2+c_1^2-b_1^2-c_2^2)^2-d^2(c^2+a^2-b^2)^2=\sum_{i=1}^2(4(a_ib_ic_i)^2+A_i-B_i-C_i-D_i)\pm 2\sqrt{\prod_{i=1}^{2}(4(a_ib_ic_i)^2+A_i-B_i-C_i-D_i)}.[/tex]
Тогава [tex]d^2(c^2+a^2-b^2)^2\equiv 0(\bmod 2),[/tex] което е в противоречие с нечетността на [tex]a_i,\ b_i,\ c_i,\ d.[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Fri Jul 18, 2008 12:08 am Заглавие: |
|
|
Един полезен резултат свързан с темата:
Формула на Зигел: Нека [tex]S\subset \mathbb{R}^n[/tex] е изпъкнало и ограничено множество, симетрично относно началото на фиксирана координатна система в [tex]\ \mathbb{R}^n.[/tex]
Ако [tex]S[/tex] не съдържа целочислени точки, различни от началото на коорд. с-ма, то за обема [tex]V[/tex] на [tex]S[/tex] е в сила:
[tex]2^n=V+\frac{1}{V}\left\(\sum_{ l\ne 0}\ |\int_{S}e^{i\pi lx}dx|^2\right\),[/tex]
като сумирането е разпростряно върху всички [tex]l\in \mathbb{Z}^n[/tex] целочислени точки в [tex]\mathbb{R}^n,[/tex] различни от [tex](0,...,0).[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети You cannot attach files in this forum Може да сваляте файлове от този форум
|
|