Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача 8


 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Sat Jun 21, 2008 7:42 pm    Заглавие: Задача 8

Задача 8. Да се докаже, че не съществуват [tex]\ 5\ [/tex] точки в пространството, такива че разстоянията между всеки две от тях да са нечетни естествени числа.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 7:07 pm    Заглавие:

Не е трудно да се докаже, че не съществуват [tex]4[/tex] точки в равнината със свойството: разстоянията между всеки две от тях са нечетни естествени числа.

Използвайте това за да решите задача 8, която можем да обобщим така:

Задача 8'. Да се докаже, че не съществуват [tex]n+2[/tex] точки в [tex]\ \mathbb{R}^n,[/tex] такива че разстоянията между всеки две от тях да са нечетни естествени числа.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Thu Jul 03, 2008 4:27 pm    Заглавие:

Мирослав Стоенчев написа:

Да се докаже, че не съществуват [tex]n+2[/tex] точки в [tex]\ \mathbb{R}^n,[/tex] такива че разстоянията между всеки две от тях да са нечетни естествени числа.


Как следва това от равнинния случай? Аз съм виждал този факт само за n≠2(mod 8 ). Как го правиш за всяко n.
Освен това как доказваш равнинния случй лесно? Аз знам едно решение с алгебра, което върви за всяко n≠2(mod 8 ). Твоето с елементарна геометрия ли е? Ако е така какво използваш?

Не е нужно да пишеш пълно решение, само идея е ок.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Thu Jul 03, 2008 6:07 pm    Заглавие:

От случая n=2 лесно следва случая за n=3, обобщението разбира се не следва от n=2.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Tue Jul 08, 2008 2:25 pm    Заглавие:

Задача 8.
Да допуснем, че съществуват 5 точки в пространството такива, че разстоянията между всеки две от тях са нечетни естествени числа. Полагаме [tex]BC=a,\ CA=b,\ AB=c,\ DA=a_1,\ DB=b_1,\ DC=c_1,\ AE=a_2,\ BE=b_2,\ CE=c_2,\ DE=d.[/tex] Тогава елементите на множеството [tex]\left\{a,b,c,a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2,d\right\}[/tex] са нечетни естествени числа. Никои 4-ри от точките не лежат в една равнина, иначе бихме получили четно разстояние. Б.о.о. ще считаме, че правата през [tex]D[/tex] и [tex]E[/tex] пресича равнината [tex]\alpha(ABC)[/tex] в точка от вътрешността на [tex]\triangle ABC.[/tex]

Полагаме [tex]\angle(DE,\ \alpha(ABC))=\varphi,\ \angle (\vec{AB},\vec{DE})=\psi,\ \angle(\vec{BC},\vec{DE})=\theta,\ \angle ABC=\beta.\ [/tex] Директно пресмятаме:

[tex]\cos\psi=\frac{b_1^2+a_2^2-a_1^2-b_2^2}{2cd},\ \ \ \cos\theta=\frac{b_2^2+c_1^2-b_1^2-c_2^2}{2da},\ \ \ \sin^2\varphi=\frac{1+2\cos\psi.\cos\theta.\cos\beta-\cos^2\psi-\cos^2\theta-\cos^2\beta}{\sin^2\beta}.[/tex]

Не е трудно да се докаже, че съществуват такива цели числа [tex]A_i,\ B_i,\ C_i,\ D_i,\ \: \[/tex] [tex]A_i\equiv B_i\equiv C_i\equiv D_i\equiv 1(\bmod 4 ) [/tex] такива, че

[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{12}\sqrt{4(a_1b_1c_1)^2+A_1-B_1-C_1-D_1};\ \ \ V_{ABCE}=\frac{1}{12}\sqrt{4(a_2b_2c_2)^2+A_2-B_2-C_2-D_2}.[/tex]

Означаваме с [tex]V[/tex] обема на многостена с върхове в 5-те точки [tex]A,B,C,D,E.\ \ [/tex] Тогава [tex]\ \ \ V=\frac{d.\sin\varphi.S_{\triangle ABC}}{3}=\frac{acd.\sin\varphi\sin\beta}{6}.[/tex]

Директно пресмятаме: [tex](1)\ \ \ V^2=\frac{4(acd)^2+(b_1^2+a_2^2-a_1^2-b_2^2)(b_2^2+c_1^2-b_1^2-c_2^2)(c^2+a^2-b^2)-a^2(b_1^2+a_2^2-a_1^2-b_2^2)^2-c^2(b_2^2+c_1^2-b_1^2-c_2^2)^2-d^2(c^2+a^2-b^2)^2}{12^2},[/tex]


[tex](2)\ \ \ V^2=(V_{ABCD}\pm V_{ABCE})^2.\ \ \[/tex] От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] достигаме до:

[tex]4(acd)^2+(b_1^2+a_2^2-a_1^2-b_2^2)(b_2^2+c_1^2-b_1^2-c_2^2)(c^2+a^2-b^2)-a^2(b_1^2+a_2^2-a_1^2-b_2^2)^2-c^2(b_2^2+c_1^2-b_1^2-c_2^2)^2-d^2(c^2+a^2-b^2)^2=\sum_{i=1}^2(4(a_ib_ic_i)^2+A_i-B_i-C_i-D_i)\pm 2\sqrt{\prod_{i=1}^{2}(4(a_ib_ic_i)^2+A_i-B_i-C_i-D_i)}.[/tex]

Тогава [tex]d^2(c^2+a^2-b^2)^2\equiv 0(\bmod 2),[/tex] което е в противоречие с нечетността на [tex]a_i,\ b_i,\ c_i,\ d.[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Fri Jul 18, 2008 12:08 am    Заглавие:

Един полезен резултат свързан с темата:


Формула на Зигел: Нека [tex]S\subset \mathbb{R}^n[/tex] е изпъкнало и ограничено множество, симетрично относно началото на фиксирана координатна система в [tex]\ \mathbb{R}^n.[/tex]
Ако [tex]S[/tex] не съдържа целочислени точки, различни от началото на коорд. с-ма, то за обема [tex]V[/tex] на [tex]S[/tex] е в сила:

[tex]2^n=V+\frac{1}{V}\left\(\sum_{ l\ne 0}\ |\int_{S}e^{i\pi lx}dx|^2\right\),[/tex]

като сумирането е разпростряно върху всички [tex]l\in \mathbb{Z}^n[/tex] целочислени точки в [tex]\mathbb{R}^n,[/tex] различни от [tex](0,...,0).[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.