Регистрирайте сеРегистрирайте се

Връзки м/у ъгли в правилна триъгълна


 
   Форум за математика Форуми -> Задачи и теория за кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Jun 13, 2008 10:35 am    Заглавие: Връзки м/у ъгли в правилна триъгълна

Много често в задачи за правилни пирамиди е даден ъгъл, с който се работи трудно. Един начин за решаването на такива задачи е да си въведем удобен ъгъл, да решим задачата с негова помощ и накрая, в получения резултат да заместим тригонометричните функции на въведния от нас ъгъл с триг. ф-ии на дадения.

Ще разгледаме следните ъгли:
[tex]\alpha[/tex] - ъгъл м/у околен ръб и основата.

[tex]\beta[/tex] - ъгъл м/у околна стена и основата.

[tex]2 \gamma[/tex] - ъгъл м/у два съседни околни ръба.

[tex]2 \delta[/tex] - ъгъл м/у две съседни околни стени.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Jun 13, 2008 10:58 am    Заглавие: Връзки м/у ъгли в правилна триъгълна пирамида

Ще изведем връзките м/у горепосочените ъгли в правилна триъгълна пирамида.
Принципът на извеждане е:
1. Разглеждаме 2 правоъгълни триъгълника, в единия участва единия от зададените ъгли, а в другия - втория ъгъл.
2. Двата триъгълника имат обща отсечка, която не лежи в основата.
3. Изразяваме тригонометрични функции на дадените ъгли чрез общата отсечка и други отсечки, които са от равнината на основата.
4. Елиминираме общата отсечка.

Връзка между [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex]
Обща отсечка OS.
Oт правоъгълните [tex]\Delta MOS; \Delta COS[/tex] изразяваме [tex]\tan \alpha = \frac{OS}{OC} \; \tan \beta = \frac {OS}{OM}[/tex].

Тогава [tex] \frac {\tan \alpha}{\tan \beta} = \frac {OS}{OC} \frac {OM}{OS}=\frac {OM}{OC} =\frac {1}{2}[/tex]. Получихме [tex] 2\tan \alpha = \tan \beta [/tex]

Връзка между [tex]\alpha[/tex] и [tex]\gamma[/tex]
Обща отсечка SC.
Oт правоъгълните [tex]\Delta COS; \Delta CMS[/tex] изразяваме [tex]\cos \alpha = \frac{OC}{CS} \; \sin \gamma = \frac {CM}{SC}[/tex].

Тогава [tex]\frac {\cos \alpha}{\sin \gamma} = \frac {OC}{CS} \frac {CS}{CM}=\frac {OC}{CM}.[/tex] Но [tex]OC=\frac{2}{3}\cdot \frac {a \sqrt {3}}{2} \; CM = \frac {a}{2}[/tex]. Получаваме [tex]\cos \alpha = \frac {2}{\sqrt {3}} \sin \gamma [/tex]

Връзка между [tex]\alpha[/tex] и [tex]\delta[/tex]
Обща отсечка NK.
[tex]\sin \alpha = \frac{NK}{NC} \; \tan \delta = \frac {AN}{NK}[/tex]. Тогава [tex]\sin \alpha \cdot \tan \delta = \frac {AN}{NC} = \frac {1}{\sqrt {3}}[/tex]

Връзка между [tex]\beta[/tex] и [tex]\gamma[/tex]
Обща отсечка MS.

[tex]\cos \beta = \frac {OM}{SM} \; \tan \gamma = \frac{BM}{SM}.[/tex] Намираме [tex]\frac {\cos \beta}{\tan \gamma} = \frac {OM}{BM} = \frac {1}{\sqrt {3}}[/tex]



3piram_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  18.07 KB
 Видяна:  9033 пъти(s)

3piram_cr.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Jun 13, 2008 12:40 pm    Заглавие: Връзки м/у ъгли в правилна триъгълна пирамида - 2

Последните две връзки налагат преместване на някой от ъглите.

Връзка между [tex]\gamma[/tex] и [tex]\delta[/tex].
От[tex] \Delta BCS [/tex]лесно се вижда, че [tex]\angle CBK = \angle MSC = \gamma[/tex].

Обща отсечка BK.

[tex]\cos \gamma = \frac {BK}{BC} \; \sin \delta = \frac {BN}{BK} \Rightarrow \cos \gamma \cdot \sin \delta = \frac {BN}{BC} = \frac {1}{2}[/tex]

Връзка между [tex]\beta[/tex] и [tex]\delta[/tex].
Нека Н е ортоцентърът на [tex]\Delta BCS.[/tex] Ще докажем, че [tex]AH \perp BCS.[/tex]
1. [tex] BC \perp AMS \Rightarrow BC [/tex]е перп. на всички прави от равнината AMS.
2.[tex] SC \perp ABK \Rightarrow SC[/tex] е перп. на всички прави от равнината AKB.
3. AH e пресечницата на тези две равнини [tex]\Rightarrow AH \perp BC \; AH \perp SC \Rightarrow AH \perp BCS.[/tex]

Лесно се съобразява, че [tex]\angle HAB = \delta.[/tex]

Обща отсечка AH.
[tex]\sin \beta = \frac {AH}{AM} \; \cos \delta = \frac {AH}{AB} \Rightarrow \frac {\sin \beta}{\cos \delta} = \frac{AB}{AM} = \frac {2}{\sqrt {3}}[/tex]



3piram1_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  18.81 KB
 Видяна:  9013 пъти(s)

3piram1_cr.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задачи и теория за кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.