Регистрирайте се
Връзки м/у ъгли в правилна триъгълна
|
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Fri Jun 13, 2008 10:35 am Заглавие: Връзки м/у ъгли в правилна триъгълна |
|
|
Много често в задачи за правилни пирамиди е даден ъгъл, с който се работи трудно. Един начин за решаването на такива задачи е да си въведем удобен ъгъл, да решим задачата с негова помощ и накрая, в получения резултат да заместим тригонометричните функции на въведния от нас ъгъл с триг. ф-ии на дадения.
Ще разгледаме следните ъгли:
[tex]\alpha[/tex] - ъгъл м/у околен ръб и основата.
[tex]\beta[/tex] - ъгъл м/у околна стена и основата.
[tex]2 \gamma[/tex] - ъгъл м/у два съседни околни ръба.
[tex]2 \delta[/tex] - ъгъл м/у две съседни околни стени.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Fri Jun 13, 2008 10:58 am Заглавие: Връзки м/у ъгли в правилна триъгълна пирамида |
|
|
Ще изведем връзките м/у горепосочените ъгли в правилна триъгълна пирамида.
Принципът на извеждане е:
1. Разглеждаме 2 правоъгълни триъгълника, в единия участва единия от зададените ъгли, а в другия - втория ъгъл.
2. Двата триъгълника имат обща отсечка, която не лежи в основата.
3. Изразяваме тригонометрични функции на дадените ъгли чрез общата отсечка и други отсечки, които са от равнината на основата.
4. Елиминираме общата отсечка.
Връзка между [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex]
Обща отсечка OS.
Oт правоъгълните [tex]\Delta MOS; \Delta COS[/tex] изразяваме [tex]\tan \alpha = \frac{OS}{OC} \; \tan \beta = \frac {OS}{OM}[/tex].
Тогава [tex] \frac {\tan \alpha}{\tan \beta} = \frac {OS}{OC} \frac {OM}{OS}=\frac {OM}{OC} =\frac {1}{2}[/tex]. Получихме [tex] 2\tan \alpha = \tan \beta [/tex]
Връзка между [tex]\alpha[/tex] и [tex]\gamma[/tex]
Обща отсечка SC.
Oт правоъгълните [tex]\Delta COS; \Delta CMS[/tex] изразяваме [tex]\cos \alpha = \frac{OC}{CS} \; \sin \gamma = \frac {CM}{SC}[/tex].
Тогава [tex]\frac {\cos \alpha}{\sin \gamma} = \frac {OC}{CS} \frac {CS}{CM}=\frac {OC}{CM}.[/tex] Но [tex]OC=\frac{2}{3}\cdot \frac {a \sqrt {3}}{2} \; CM = \frac {a}{2}[/tex]. Получаваме [tex]\cos \alpha = \frac {2}{\sqrt {3}} \sin \gamma [/tex]
Връзка между [tex]\alpha[/tex] и [tex]\delta[/tex]
Обща отсечка NK.
[tex]\sin \alpha = \frac{NK}{NC} \; \tan \delta = \frac {AN}{NK}[/tex]. Тогава [tex]\sin \alpha \cdot \tan \delta = \frac {AN}{NC} = \frac {1}{\sqrt {3}}[/tex]
Връзка между [tex]\beta[/tex] и [tex]\gamma[/tex]
Обща отсечка MS.
[tex]\cos \beta = \frac {OM}{SM} \; \tan \gamma = \frac{BM}{SM}.[/tex] Намираме [tex]\frac {\cos \beta}{\tan \gamma} = \frac {OM}{BM} = \frac {1}{\sqrt {3}}[/tex]
Description: |
|
Големина на файла: |
18.07 KB |
Видяна: |
10462 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Fri Jun 13, 2008 12:40 pm Заглавие: Връзки м/у ъгли в правилна триъгълна пирамида - 2 |
|
|
Последните две връзки налагат преместване на някой от ъглите.
Връзка между [tex]\gamma[/tex] и [tex]\delta[/tex].
От[tex] \Delta BCS [/tex]лесно се вижда, че [tex]\angle CBK = \angle MSC = \gamma[/tex].
Обща отсечка BK.
[tex]\cos \gamma = \frac {BK}{BC} \; \sin \delta = \frac {BN}{BK} \Rightarrow \cos \gamma \cdot \sin \delta = \frac {BN}{BC} = \frac {1}{2}[/tex]
Връзка между [tex]\beta[/tex] и [tex]\delta[/tex].
Нека Н е ортоцентърът на [tex]\Delta BCS.[/tex] Ще докажем, че [tex]AH \perp BCS.[/tex]
1. [tex] BC \perp AMS \Rightarrow BC [/tex]е перп. на всички прави от равнината AMS.
2.[tex] SC \perp ABK \Rightarrow SC[/tex] е перп. на всички прави от равнината AKB.
3. AH e пресечницата на тези две равнини [tex]\Rightarrow AH \perp BC \; AH \perp SC \Rightarrow AH \perp BCS.[/tex]
Лесно се съобразява, че [tex]\angle HAB = \delta.[/tex]
Обща отсечка AH.
[tex]\sin \beta = \frac {AH}{AM} \; \cos \delta = \frac {AH}{AB} \Rightarrow \frac {\sin \beta}{\cos \delta} = \frac{AB}{AM} = \frac {2}{\sqrt {3}}[/tex]
Description: |
|
Големина на файла: |
18.81 KB |
Видяна: |
10442 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети You cannot attach files in this forum Може да сваляте файлове от този форум
|
|