Регистрирайте сеРегистрирайте се

І международна олимпиада в СРР през 1959 г.


 
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Tue Jun 10, 2008 6:23 pm    Заглавие: І международна олимпиада в СРР през 1959 г.

Тема за първия етап

Задача 1. Да се докаже, че дробта [tex]\frac{21n+4}{14n+2}[/tex] е несъкратима за всяко натурално число [tex]n[/tex].


Задача 2. При кои реални значения на [tex]x[/tex] са удовлетворени уравненията:
[tex](1): \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2};[/tex]
[tex](2): \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1;[/tex]
[tex](3): \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2[/tex],
ако радикалите са реални и положителни.

Задача 3. Дадено е уравнението [tex]a(cosx)^2+bcosx+c=0[/tex]. Да се състави квадратно уравнение, корените на което да съответстват на значенията на [tex]cos2x[/tex]. Да се разгледа случаят [tex]a=4, b=2,c=-1[/tex].

* * *

Тема за втория етап

Задача 1. Да се построи правоъгълен триъгълник по дадена хипотенуза, като се знае, че медианата към хипотенузата е средна геометрична на двата катета.

Задача 2. В една равнина е дадена отсечка [tex]AB[/tex] и върху нея — точка [tex]M[/tex]. Върху отсечките [tex]AM[/tex] и [tex]MB[/tex] като на страни са построени квадрати [tex]AMCD[/tex] и [tex]MBEF[/tex], лежащи от една и съща страна на [tex]AB[/tex]. Окръжностите, описани около квадратите с центрове [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex], се пресичат освен в точка [tex]M[/tex] още и в точка [tex]N[/tex].
Да се докаже, че:
а) правите [tex]AF[/tex] и [tex]BC[/tex] минават през точка [tex]N[/tex];
б) при кое да е положение на точка [tex]M[/tex] правата [tex]MN[/tex] минава през една и съща точка [tex]S[/tex] от равнината.
в) Да се намери геометричното място на средата на отсечката [tex]PQ[/tex], когато [tex]M[/tex] описва отсечката [tex]AB[/tex].

Задача 3. Дадени са равнините [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] които се пресичат в правата [tex]p[/tex]. В равнината [tex]P[/tex] е дадена точка [tex]A[/tex], а в равнината [tex]Q[/tex] — точка [tex]C[/tex], които не лежат на правата [tex]p[/tex].
Да се построи равнобедрен трапец [tex]ABCD[/tex] със срещуположни върхове [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] [tex](AB||CD)[/tex], в който да може да се впише окръжност така, че върхът [tex]B[/tex] да лежи в равнината [tex]P[/tex], а върхът [tex]D[/tex] — в равнината [tex]Q[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Jun 10, 2008 8:31 pm    Заглавие:

Задача 1 - [tex]\frac{21n+4}{14n+2}=\frac{28n+4-7n}{14n+2}=2-\frac{7n}{14n+2}[/tex] сега очевидно горе имаме нечетно, а долу - четно число и те не се съкращават, освен това числителят е по-малък от знаменателят и не може да се съкрати Wink

Впрочем ако n е четно все пак ще се съкрати донякъде.. но да стане цяло число просто забравете Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Jun 10, 2008 8:47 pm    Заглавие:

Задача2 след повдигане на квадрат се решава(елеменетарна е)

задача 3 намираме cosa и смятаме cos2a на колко ще е равно Very Happy

Задача[tex]1_2[/tex] от условието имаме [tex]a^2=kl,\: 4a^2=k^2+l^2\Right k+l=a\sqrt 6[/tex] сега намираме k и l и ги чертаем... тези корени не знам кка ще се построят Confused [tex]\sqrt 2[/tex] по принцип е диагонал на квадрат, ама ако трябва да участва като множител става страшно.. за √6 да не говорим :d
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Jun 10, 2008 9:42 pm    Заглавие: Re: І международна олимпиада в СРР през 1959 г.

Емо написа:
Тема за втория етап

Задача 1. Да се построи правоъгълен триъгълник по дадена хипотенуза, като се знае, че медианата към хипотенузата е средна геометрична на двата катета.


Нека М е среда на АВ и АМ=ВМ=СМ=а означаваме си [tex]\angle BAC=\alp,\: AC=x,\: BC=y[/tex] , правим косинусови теореми за АМС и ВМС и намираме [tex]x=2a\cos\alp ,\: y=2a\sin\alp[/tex], сега по условие [tex]a^2=xy=4a^2\sin\alp\cos\alp\Right sin2\alp=\frac{1}{2}\Right 2\alp=15^\circ\cup 2\alp=150^\circ\Right \alp=15^\circ\cup \alp=75^\circ[/tex] Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Jun 10, 2008 10:49 pm    Заглавие: Re: І международна олимпиада в СРР през 1959 г.

Емо написа:
Задача 2. В една равнина е дадена отсечка [tex]AB[/tex] и върху нея — точка [tex]M[/tex]. Върху отсечките [tex]AM[/tex] и [tex]MB[/tex] като на страни са построени квадрати [tex]AMCD[/tex] и [tex]MBEF[/tex], лежащи от една и съща страна на [tex]AB[/tex]. Окръжностите, описани около квадратите с центрове [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex], се пресичат освен в точка [tex]M[/tex] още и в точка [tex]N[/tex].
Да се докаже, че:
а) правите [tex]AF[/tex] и [tex]BC[/tex] минават през точка [tex]N[/tex];
б) при кое да е положение на точка [tex]M[/tex] правата [tex]MN[/tex] минава през една и съща точка [tex]S[/tex] от равнината.
в) Да се намери геометричното място на средата на отсечката [tex]PQ[/tex], когато [tex]M[/tex] описва отсечката [tex]AB[/tex].


И тази я реших(бре бре ставам за национален олимпиец Laughing )

За съжаление е по дългичък начин... означавме си [tex]\angle NAC=\alp=\angle NMC=\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{\frac{NC}{2}}[/tex]

Сега гледам другата окръжност, където [tex]\angle NMF=\alp=\angle NBF=\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{\frac{NF}{2}}[/tex]

Сега ще пресметнем [tex]\angle NCF=\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{\frac{NC}{2}}+\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{\frac{CM}{2}}=\alp +45^\circ,\: \angle NFC=\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{\frac{MF}{2}}-\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{\frac{NF}{2}}=45^\circ-\alp\Right \angle CNF=90^\circ[/tex], но и [tex]\angle ANC=\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{\frac{AC}{2}}=90^\circ\Right\angle ANF=180^\circ\Right ANF[/tex] е една права Wink

Сега вече [tex]CN\bot AC\cup BC\bot AC\Right BCN[/tex] са на една права Wink


б) тази точка е пресечната точка на MN със симетралата на АВ, но не съм мисли още как да го докажа Wink

в) геометричното място е някаква права, но не съм видял още каква точно Wink



kvadrati.JPG
 Description:
 Големина на файла:  31.85 KB
 Видяна:  2731 пъти(s)

kvadrati.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Wed Jun 11, 2008 5:26 am    Заглавие:

Задача 3, втори етап

Нека трапецът [tex]ABCD[/tex] е исканият, където [tex]AB||CD||p[/tex]. Така че трябва през точките [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] да прекараме прави [tex]p'[/tex] и [tex]q'[/tex], съответно успоредни на [tex]p[/tex], и на тези прави да намерим точки [tex]B[/tex] и [tex]D[/tex] — върхове на равнобедрения трапец [tex]ABCD[/tex].
Ако окръжността е вписана в трапеца, то [tex]AB+CD=AD+BC=2AD[/tex]. Тогава [tex]AF'=FE[/tex], където [tex]F'[/tex] е средата на [tex]AB[/tex], [tex]FF'\bot q'[/tex] и [tex]E[/tex] е проекция на [tex]A[/tex] върху [tex]CD[/tex]. Затова [tex]AB=2AF'=2EF[/tex] и [tex]CD=2CE-2EF[/tex], откъдето [tex]2AD=2EC[/tex], тоест [tex]AD=EC[/tex] и точките [tex]D[/tex] и [tex]D'[/tex] лежат на окръжност с радиус [tex]EC[/tex] и център — точката [tex]A[/tex]. За да има задачата решение, необходимо е [tex]AD=EC \ge FF'[/tex], тоест [tex]\frac{AE}{EC}\le1[/tex], тоест [tex]\angle ACE\le45^\circ[/tex], което условие е и достатъчно.
Оттук произнича следното построение. От точка [tex]A[/tex] спускаме перпендикуляр [tex]AE[/tex] към правата [tex]q'[/tex] и от точка [tex]A[/tex] с радиус, равен на [tex]CE[/tex], описваме окръжност, която пресича правата [tex]q'[/tex] в точките [tex]D[/tex] и [tex]D'[/tex]. Разполовяваме отсечката [tex]CD[/tex] и от получената точка [tex]F[/tex] прекарваме [tex]FF'\bot CD[/tex]. Точката [tex]B (B')[/tex] получаваме като симетрична на точката [tex]A[/tex] относно [tex]FF'[/tex]. И така:
— ако [tex]\angle ACE<45^\circ[/tex], задачата има две решения;
— ако [tex]\angle ACE=45^\circ[/tex], задачата има едно решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Jun 12, 2008 11:09 am    Заглавие:

Задача 2, първи етап

[tex](1)[/tex][tex]\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}[/tex]
Лявата страна има смисъл при [tex]2x-1\ge0[/tex], [tex]x+\sqrt{2x-1}\ge0[/tex] и [tex]x\ge\sqrt{2x-1}[/tex], откъдето за областта на допустимите стойности на [tex]x[/tex] намираме [tex]x\ge\frac{1}{2}[/tex].
Повдигаме двете страни на уравнението на квадрат и след опростяване получаваме [tex]x+|x-1|=1[/tex]:
а) при [tex]x-1\ge0, x\ge1[/tex] получаваме [tex]x+x-1=1[/tex], откъдето [tex]x=1[/tex];
б) при [tex]x-1\le0, \frac{1}{2}\le x\le1[/tex] получаваме [tex]x-x+1=1[/tex], което е изпълнено при всяко [tex]x[/tex] от интервала [tex][\frac{1}{2};1][/tex].
Следователно стойностите на [tex]x[/tex], при които е удовлетворено уравнението, са [tex]\frac{1}{2}\le x\le1[/tex].

[tex](2)[/tex] Второто уравнение се преобразува във вида
[tex]2x+|x-1|=1[/tex].
а) при [tex]x\ge1[/tex] получаваме [tex]x=\frac{3}{4}[/tex], което противоречи на условието [tex]x\ge0[/tex];
б) при [tex]\frac{1}{2}\le x\le1[/tex] получаваме [tex]2=1[/tex], което е невъзможно.
Следователно второто уравнение не се удовлетворява при никоя стойност на [tex]x[/tex].

[tex](3)[/tex] Третото уравнение се преобразува във вида
[tex]x+|x-1|=2[/tex]:
а) при [tex]x\le1[/tex] получаваме [tex]x=\frac{3}{2}[/tex];
б) при [tex]\frac{1}{2}\le x\le1[/tex] получаваме [tex]1=2[/tex], което е невъзможно.
Следователно третото уравнение се удовлетворява само при [tex]x=\frac{3}{2}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Jun 12, 2008 11:55 am    Заглавие:

Задача 3, първи етап

Нека да разпишем уравнението във вида
[tex]a(cosx)^2+c=-bcosx (1)[/tex].
Тогава за четирите числа [tex]a, b, c, cosx[/tex] е изпълнено също така уравнението
[tex]a^2 4(cosx)^4+(4ac-2b^2)2(cosx)^2+4c^2=0 (2)[/tex],
което е получено, като повдигнем на квадрат и умножим с [tex]4[/tex] двете страни на [tex](1)[/tex]. Но [tex]cos2x=2(cosx)^2-1[/tex], откъдето
[tex]2(cosx)^2=cos2x+1 (3)[/tex].
От [tex](2)[/tex] и [tex](3)[/tex] [tex]\Rightarrow a^2(cos2x)^2+(2a^2+4ac-2b^2)cos2x+(a^2+4ac-2b^2+4c^2)=0[/tex], което е търсеното квадратно уравнение.
В случая [tex]a=4, b=2, c=-1[/tex] ще имаме [tex]a^2=16, 2a^2+4ac-2b^2=8, a^2+4ac-2b^2+4c^2=-4[/tex]. Тогава за [tex]cos2x[/tex] имаме уравнението
[tex]4(cos2x)^2+2cos2x-1=0[/tex], а даденото уравнение при тези стойности на [tex]a, b, c[/tex] приема вида
[tex]4(cosx)^2+2cosx-1=0[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sun Feb 01, 2009 6:45 pm    Заглавие:

martosss написа:
Задача 1 - [tex]\frac{21n+4}{14n+2}=\frac{28n+4-7n}{14n+2}=2-\frac{7n}{14n+2}[/tex] сега очевидно горе имаме нечетно, а долу - четно число и те не се съкращават, освен това числителят е по-малък от знаменателят и не може да се съкрати Wink

Впрочем ако n е четно все пак ще се съкрати донякъде.. но да стане цяло число просто забравете Very Happy
А къде пише, че ако една дроб е съкратима, то тя е цяло число... Да не говорим, че ти дори казваш, че е съкратима.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
blqaa
Начинаещ


Регистриран на: 29 Mar 2008
Мнения: 57

Репутация: 6.4Репутация: 6.4Репутация: 6.4Репутация: 6.4Репутация: 6.4Репутация: 6.4
гласове: 4

МнениеПуснато на: Sun Feb 01, 2009 10:48 pm    Заглавие:

Напротив, доказва че е несъкратима. Две минус нецяло число, ако дава цяло според тебе - евала. Айде, сее иу томороу Very Happy
ПП. Твой ред е. Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Mon Feb 02, 2009 8:33 am    Заглавие:

blqaa написа:
Напротив, доказва че е несъкратима. Две минус нецяло число, ако дава цяло според тебе - евала. Айде, сее иу томороу Very Happy
ПП. Твой ред е. Laughing
Знаеш ли какво значи съкратима дроб...(май не Twisted Evil ) [tex]\frac{36}{42}[/tex] e съкратима, ама не ми се види да е цяло число Laughing
ПП It's your turn
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
garion
Напреднал


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 373

Репутация: 57.1
гласове: 13

МнениеПуснато на: Mon Feb 02, 2009 5:27 pm    Заглавие: Re: І международна олимпиада в СРР през 1959 г.

Емо написа:
Задача 1. Да се докаже, че дробта [tex]\frac{21n+4}{14n+2}[/tex] е несъкратима за всяко натурално число [tex]n[/tex].

Според мен условието на задачата нещо е объркана защото при n=2k числителя и знаменателя стават четни числа и следователно дробта е съкратима
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.