Регистрирайте сеРегистрирайте се

Студентска Олимпиада по Математика, ФМИ - вътрешен кръг 2008


 
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Fed
VIP


Регистриран на: 24 May 2007
Мнения: 1136
Местожителство: София (Русе)
Репутация: 113.3
гласове: 33

МнениеПуснато на: Sat May 17, 2008 10:52 pm    Заглавие: Студентска Олимпиада по Математика, ФМИ - вътрешен кръг 2008

Студентска Олимпиада по Математика
ФМИ - вътрешен кръг, 17 май 2008 година


Задача 1. Нека [tex]\Re _{\rm Z}^k[/tex] са точките с целочислени координати в [tex]\Re ^k[/tex]. За крайно множество [tex]M = \left\{ {P_1 ,\,P_2 ,\,...,\,P_n } \right\} \subset \Re _{\rm Z}^k[/tex] означаваме с [tex]S(M)[/tex] множеството от елементи на [tex]\Re _{\rm Z}^k[/tex], които лежат вътре в отсечката [tex]P_i P_j[/tex] , т.е.

[tex]S(M) = \left\{ {X \in \Re _{\rm Z}^k :\exists \,\,1 \le i < j \le n,\,\,t \in (0,1):X = tP_i + (1 - t)P_j } \right\}[/tex].

Да се намери най-малкото [tex]n\in N[/tex], за което за всяко [tex]M\subset \Re _{\rm Z}^k[/tex] с [tex]\left| M\right|=n[/tex] е изпълнено [tex]\left| S(M)\right|\ge 1[/tex] (с [tex]\left| L\right|[/tex] e oзначен броя на елементите на множеството [tex]L[/tex]).

Задача 2. Нека [tex]n \in N, n \ge 3[/tex]. Да се определи размерността на линейното пространство от всички функции [tex]f:\left\{ {1,2,...,n} \right\} \times \left\{ {1,2,...,n} \right\} \to \Re[/tex], удовлетворяващи условието
за всеки [tex]k,l \in \left\{ {2,3,...,n - 1} \right\}[/tex] е изпълнено
[tex]f(k,l) = \frac{1}{4}(f(k - 1,l) + f(k + 1,l) + f(k,l - 1) + f(k,l + 1))[/tex].

Задача 3.
Нека [tex]p(x)[/tex] е полином от степен [tex]n[/tex], с реални коефициенти и само реални корени, а [tex]\lambda > 0[/tex]. Да се докаже, че множеството от решенията на неравенството [tex]|p(x)| \le \lambda |p'(x)|[/tex] е обединение на краен брой затворени и ограничени интервали. Да се пресметне сумата от дължините на тези интервали.

Задача 4. За [tex]x \ge 0,\,p > 0[/tex] полагаме
[tex]\varphi _p (x) = x - \left[ {\frac{{\sqrt {p^2 x + 1} - 1}}{p}} \right]\left[{\frac{{\sqrt {p^2 x + 1} + 1}}{p}} \right][/tex],
където с [tex]\left[ y \right][/tex] е означена цялата част на числото [tex]y[/tex], т.е. [tex]\left[y\right]\in Z,\left[y\right] \le y < \left[ y \right] + 1[/tex]
За всяко [tex]p > 0[/tex] да се докаже, че:
ИЛИ за всяко [tex]a \ge 0[/tex] уравнението [tex]\varphi _p (x) = a[/tex] има безкрайно много (различни) решения в интервала [tex]\left[ {0, + \infty } \right)[/tex],
ИЛИ за всяко [tex]a \ge 0[/tex] уравнението [tex]\varphi _p (x) = a[/tex] има поне едно, но краен брой (различни) решения в интервала [tex]\left[ {0, + \infty } \right)[/tex].

Задача 5. Редицата [tex]\left\{ {a_n } \right\}_1^\infty[/tex] удовлетворява условията [tex]0 < a_n < a_{n + 1} + a_n ^2[/tex] за [tex]n \in N[/tex]. Да се докаже, че редът [tex]\sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n }[/tex] е разходящ.

Задача 6. Нека [tex]f:\left[ {0,1} \right] \to \Re[/tex] има непрекъсната производна, [tex]f(0) = 0[/tex] и [tex]f'(x) > 0[/tex] за [tex]x \in (0,1)[/tex]. Да се докаже, че
[tex]\int\limits_0^1 {\frac{{(f(x))^3 }}{{(f'(x))^2 }}dx \ge \frac{1}{9}} \int\limits_0^1 {(1 - x)^2 f(x)dx[/tex].

Може ли константата [tex]\frac{1}{9}[/tex] да бъде заменена с по-голяма?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Fri Jun 27, 2008 8:54 pm    Заглавие:

Първите 5 задачи са лесни. Някой да има няква идея за 6-та.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
kat
Начинаещ


Регистриран на: 02 Nov 2008
Мнения: 6
Местожителство: Варна
Репутация: 2.1Репутация: 2.1

МнениеПуснато на: Fri Nov 07, 2008 5:52 pm    Заглавие:

Baronov написа:
Първите 5 задачи са лесни. Някой да има няква идея за 6-та.



Лесни?! Shocked
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
savage309
Напреднал


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 277

Репутация: 39.6Репутация: 39.6Репутация: 39.6Репутация: 39.6
гласове: 3

МнениеПуснато на: Fri Nov 07, 2008 7:46 pm    Заглавие:

Няма лесни и трудни задачи.
Има такива, които можеш и такива, които не можеш да решиш Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.