Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задачи - авторски предложения

Иди на страница Предишна  1, 2, 3, 4
 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
pmgvr
Начинаещ


Регистриран на: 16 Feb 2009
Мнения: 32

Репутация: 5Репутация: 5Репутация: 5Репутация: 5
гласове: 1

МнениеПуснато на: Fri May 08, 2009 7:40 pm    Заглавие:

Аз получих, че q=5 и р=2 са единственото решение. Така ли е? Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Fri May 08, 2009 8:38 pm    Заглавие:

Да не си ползвал "Теоремата" на г-н Стоянов: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=7128 Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
pmgvr
Начинаещ


Регистриран на: 16 Feb 2009
Мнения: 32

Репутация: 5Репутация: 5Репутация: 5Репутация: 5
гласове: 1

МнениеПуснато на: Fri May 08, 2009 8:45 pm    Заглавие:

Опааа! Май наистина съм се объркал Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Tzvetan_tzvetanov
Начинаещ


Регистриран на: 17 Jan 2009
Мнения: 52
Местожителство: Плевен
Репутация: 5.2Репутация: 5.2Репутация: 5.2Репутация: 5.2Репутация: 5.2
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon May 18, 2009 6:45 pm    Заглавие:

Бих искал да предложа задача на седмицата за по-малките (5 клас). Ето я и нея:

(задача на Р.Хайнацки\
Може ли квадратна таблица с 25 квадратчета (5х5) да се попълни с 5 петици, с 5 четворки, с 5 тройки, с 5 двойки и с 5 единици, така че във всеки квадрат, съставен от 4 квадратчета (2х2) сумата от написаните числа да е една и съща?
Може ли квадратна таблица с 36 квадратчета (6х6) да се попълни с 6 шестици, с 6 петици, с 6 четворки, с 6 тройки, с 6 двойки и с 6 единици, като сумата от написаните числа във всеки квадрат от 9 квадратчета (3х3) да е една и съща?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Mon Jun 08, 2009 12:13 pm    Заглавие:

MM написа:
Намерете [tex]\forall x,y,z\in\mathbb{N_{0}}[/tex], такива, че [tex]2^{x}+7^{y}=3^{z}[/tex].

Решение:Нека [tex]x\ge 3[/tex].Останалите случаи ще разгледаме отделно. Тогава [tex]8|2^x[/tex] и разгледайки у-нието по модул 8, заключаваме, че [tex]y,z[/tex]-четни.Полагаме [tex]x=2s,y=2k[/tex] и у-нието придобива вида:
[tex]2^x=(3^k-7^s)(3^k+7^s)[/tex], т.е имаме системата [tex]\begin{tabular}{|l}3^k-7^s=2^a\\3^k+7^2=2^b \end{tabular} [/tex] и изваждайки почленно 2те уравнения получаваме:[tex]2^a(2^{b-a}+1)=2.7^s[/tex], откъдето [tex]a=1[/tex], т.е системата става еквивалентна на [tex]\begin{tabular}{|l}3^k-7^s=2\\3^k+7^2=2^{x-1} \end{tabular}[/tex] и сега, изразявайки [tex]3^k[/tex] от първото, имаме [tex]2^{x-2}=7^s+1[/tex]. Ако допуснем, че [tex]x\ge [/tex]6 получаваме противоречие по модул 16, тогава с директна проверка остановяваме, че единствено решение в разглеждания интервал е [tex](x,y,z)=(5,2,4)[/tex]. Сега остава да разгледаме останалите случаи за [tex]x[/tex].
1случай:[tex]x=0[/tex]. Уравнението от условието става: [tex]1+7^y=3^z[/tex].При [tex]z=0[/tex], нямаме решение, а при [tex]z\in\mathbb{N}[/tex] лесно получаваме противоречие по модул 3.
2случай:[tex]x=1[/tex], тогава уравнението е еквивалентно на:
[tex]2+7^y=3^z[/tex].Този случай ме мъчи страшно много време( и не само мен!). Предполагам, че единственото решение е [tex]y=1,z=2[/tex], но не мога да го докажа. Лесно се доказва, че [tex]y=6k+1[/tex]. Мисля, че е достатъчно да се намери най-малката степен на 3-ката, при която показателя на 7 да бъде четно число, и да получим противоречие с вида на [tex]y[/tex], след което да разгледаме останалите случаи.
3случай:[tex]x=2[/tex].Тогава у-нието добива вида:
[tex]4+7^y=3^z[/tex], но при [tex]z\ge3[/tex] получаваме противоречие по модул 27 и разглеждайки останалите случаи, заключаваме, че в разглеждания случай нямаме целочислени решения.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Tue Jun 09, 2009 8:54 pm    Заглавие:

Ето моето предложение за задача на седмицата (задачата не е авторска, но пък е красива):
Да се докаже, че медицентъра на четириъгълника [tex]ABCD[/tex] лежи на неговата Гаусова права. Това е правата, минаваща през средите на диагоналите му.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Иван.Павлов
Начинаещ


Регистриран на: 24 Jul 2009
Мнения: 3

Репутация: 1.3

МнениеПуснато на: Fri Jul 24, 2009 12:05 pm    Заглавие:

Ето една интересна геометрична задача.

Нека ABCDEFG е правилен седмоъгълник.

1) Да се докаже, че правите на Симсън за точките B, C и G относно триъгълника AEF се пресичат в една точка.

2) Да се докаже, че правата на Симсън за точката D относно триъгълника AEF е успоредна на OD, където О е центъра на седмоъгълника.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
s.karakoleva
Начинаещ


Регистриран на: 28 Jan 2009
Мнения: 71
Местожителство: Русе
Репутация: 11.1
гласове: 6

МнениеПуснато на: Wed Jul 29, 2009 11:21 am    Заглавие: Хептагон

Много интересна задача! Свързана е със свойствата на хептагоналния триъгълник: http://mathworld.wolfram.com/HeptagonalTriangle.html
хептагона: http://mathworld.wolfram.com/Heptagon.html
и ъгъл между две прави на Симпсън
http://math.ru/lib/book/djvu/geometry/kokseter.djvu

Ето чертеж!



heptagon.pdf
 Description:
Правилен седмоъгълник (хептагон)

Свали
 Име на файл:  heptagon.pdf
 Големина на файла:  9.89 KB
 Свален:  350 пъти(s)

Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Wed Jul 29, 2009 11:22 am    Заглавие:

Махни запетаята от първия линк.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Иван.Павлов
Начинаещ


Регистриран на: 24 Jul 2009
Мнения: 3

Репутация: 1.3

МнениеПуснато на: Wed Jul 29, 2009 11:39 am    Заглавие: Re: Хептагон

s.karakoleva написа:
Много интересна задача! ...
Ето чертеж!

Съгласен съм, че е интересна. Пуснах я тук, мака че не е авторска, защото може да се реши без тригонометрия или комплексни числа. А чертежа подсказва как. Скоро ще публикувам и други.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Mon Aug 03, 2009 9:17 am    Заглавие:

Две лесни диофантови от мен.
Да се решат в цели неотрицателни числа:
1)[tex]43^m-3^n=y^6[/tex]
2)[tex]23^m-7^n=x^5[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Mon Sep 21, 2009 9:53 pm    Заглавие: Ново предложение

http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=301803

Задачата не моя авторска, но е от българско математическо списание и смятам, че е интересна.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Иди на страница Предишна  1, 2, 3, 4
Страница 4 от 4

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.