Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задачи - авторски предложения

Иди на страница Предишна  1, 2, 3, 4  Следваща
 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Tue Feb 10, 2009 11:24 pm    Заглавие: Ново предложение

Известно е, че [tex]a, b, c[/tex] са три реални неотрицателни числа, за които: [tex]a+b+c=1[/tex].
Да се определят минималната и максималната стойности на израза:
[tex]\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}} + \frac{1-b^{2}}{1+b^{2}} + \frac{1-c^{2}}{1+c^{2}}[/tex]

Борислав Мирчев /Роман - България/, Mathias Tejs /Farum - Denmark/
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
astateoftrance
Начинаещ


Регистриран на: 05 Feb 2008
Мнения: 57
Местожителство: Бургас
Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3
гласове: 1

МнениеПуснато на: Thu Feb 12, 2009 12:38 pm    Заглавие:

Минимална стойност 2, но максималната нещо не мога да я намеря Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Thu Feb 12, 2009 2:34 pm    Заглавие:

[tex]1-\frac{1-a^2}{1+a^2}+1-\frac{1-b^2}{1+b^2}+1-\frac{1-c^2}{1+c^2}=\frac{2a^2}{1+a^2}+\frac{2b^2}{1+b^2}+\frac{2c^2}{1+c^2}\le\frac{2a^2}{2a}+\frac{2b^2}{2b}+\frac{2c^2}{2c}=a+b+c=1 [/tex]<=>[tex]\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2}+\frac{1-c^2}{1+c^2}\ge 2[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Thu Feb 12, 2009 9:56 pm    Заглавие:

браво! добра идея ... а кога се достига минимума? за минимума има и друг начин ...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri Feb 13, 2009 11:10 am    Заглавие:

НМС достига при две единици и една нула, а НГС при равни променливи-[tex]\frac{12}{5}[/tex], но за последното още ме съм намерил формална обосновка.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sat Feb 14, 2009 7:48 pm    Заглавие:

Попитах, защото от решението на dim някакси не става ясно кога се достига минимума.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sun Feb 15, 2009 12:23 am    Заглавие:

dim написа:
НМС достига при две единици и една нула, а НГС при равни променливи-[tex]\frac{12}{5}[/tex], но за последното още ме съм намерил формална обосновка.


Сборът на две единици и една нула не е ли две?! Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun Feb 15, 2009 11:13 pm    Заглавие:

Давайте ... задачата е по-лесна, отколкото изглежда и е "красива" ... поне изглежда "красиво" и решението ѝ ми харесва.
Ако още известно време никой не успее да я реши - ще пусна решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Feb 16, 2009 11:15 am    Заглавие:

ins- написа:
Попитах, защото от решението на dim някакси не става ясно кога се достига минимума.


По принцип в условието не се питаше кога се достига минимумът,но ето и решение при което виждаме кога се достига равенство:
От [tex]a+b+c=1[/tex] и [tex]a,b,c[/tex]-неотрицателни => [tex]0\le a,b,c\le1[/tex]. Тогава са изпълнени [tex]a^2+1\le a+1[/tex], [tex]b^2+1\le b+1[/tex], [tex]c^2+1\le c+1[/tex], като равенство има когато променливата е 1 или 0=>[tex]\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2}+\frac{1-c^2}{1+c^2}\ge\frac{(1-a)(1+a)}{1+a}+\frac{(1-b)(1+b)}{1+a}+\frac{(1-c)(1+a)}{1+c}=3-(a+b+c)=2[/tex].Вижда се, че равенство има само когато едната променлива е 1, а другите 0, защото [tex]a+b+c=1[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Tue Feb 17, 2009 1:13 am    Заглавие:

Да, задачата има много решения ... има поне още едно за минимума, а също така за максимума - може да се определи еднозначно кога се достига. Това с максимума става по начин, подобен на неравенството, давано на Олимпиада на Полша - 1996 - II кръг.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Tue Mar 17, 2009 11:55 am    Заглавие: Успоредна траектория в четириъгълник

Ето ви едно мое предложение за задача на седмицата:

Даден е изпъкнал четириъгълник ABCD....



zad_avtest.JPG
 Description:
 Големина на файла:  30.44 KB
 Видяна:  2520 пъти(s)

zad_avtest.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Tue Mar 17, 2009 11:56 am    Заглавие:

Ужас! Пак я пратих първо там, където не трябва! Вече я има на две места! Embarassed Embarassed Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Mar 18, 2009 12:21 am    Заглавие:

Задачата е красива ... авторска ли е?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Wed Mar 18, 2009 12:34 am    Заглавие:

Абсолютно авторска! Това всъщност е нещо като следствие от един мой доклад на пролетната конференция по математика през 2000 и някоя си година. Ще го публикувам и него, но след като решите задачата! Wink Междувпрочем сега се сещам, че отдавна искам да попитам дали някой от съфорумниците би се наел да преведе материалите, които пуснах на английски, защото имам идея да ги изпратя в едно геометрчно онлайн списание? Знам, че звучи нахално, но да попитам все пак,а? Laughing Laughing Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Mar 18, 2009 12:39 am    Заглавие:

Съжалявам за глупавия въпрос ... видях и другата тема, където е публикувана. Виждал съм преди време нещо подобно, но не мога да си спомня къде. Ако ми остане време мога да се опитам да реша задачата. Наистина ценна задача. Странно ми е, че досегашната задача на седмицата остана нерешена. Според мен - или е много трудна, или не е харесала на хората.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Wed Mar 18, 2009 12:42 am    Заглавие:

Доста трудна е. И е хубава! Ще я мъчиме още! Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Mon Mar 23, 2009 9:31 pm    Заглавие:

Г-н Стоянов, предполагам, че имам идея как може да се реши предложената от Вас задача. Тук предлагам само скица.
1. На чертежа можем да видим, че се образуват множество успоредници (комбинирани с триъгълници).
2. Част от тях имат общи елементи ... (PL и KQ).
3. Ако разгледаме няколко подобни триъгълника и извършим относително прости манипулации с равенства можем да стигнем до желаното твърдение.

Бих искал да попитам дали това е подхода, които сте имали в предвид?
Как се досетихте за тази задача?
Ако имате набрано решение бих искал да Ви помоля да го пуснете, за да могат повече хора да му се насладят.
Още веднъж - поздравления за красивата задача!
До къде стигнахте със задачата на седмицата?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Tue Mar 24, 2009 12:19 am    Заглавие:

Твърде общо казано! По този начин се решават може би хиляди задачи! Въпросът е да се намери подходящата комбинация. И за кои успоредници са общи PL и KQ? Ще пусна решението по-късно защото се надявам да пуснат задачата като задача на седмицата! Колкото до сегашната задача на седмицата нямах никакво време да я решавам, защото ходих на турнира за купата на декана, а също така ми се натрупаха и доста контролни за проверка!!! Съжалявам! Crying or Very sad Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
allier
Начинаещ


Регистриран на: 14 Aug 2008
Мнения: 65

Репутация: 14.4
гласове: 6

МнениеПуснато на: Tue Mar 24, 2009 10:57 pm    Заглавие:

Za maksimuma:

[tex] \frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}[/tex] [tex] \le [/tex] [tex] \frac{29-27a}{25} [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
allier
Начинаещ


Регистриран на: 14 Aug 2008
Мнения: 65

Репутация: 14.4
гласове: 6

МнениеПуснато на: Tue Mar 24, 2009 11:32 pm    Заглавие:

Za zadachata na g-n Stoyanov:

[tex] \frac{BS}{DM} [/tex] = [tex] \frac{sin D}{sin B} [/tex]. [tex]\frac{sin \angle DBC}{sin \angle BDC} [/tex]

[tex] \frac{BT}{DN} [/tex] = [tex] \frac{sin D}{sin B} [/tex]. [tex]\frac{sin \angle ABD}{sin \angle ADB} [/tex]

Sledovatelno: [tex] \frac{BS}{BT} [/tex] = [tex] \frac{AB}{BC} [/tex], toest ST || AC.

Togava, [tex] \frac{BX}{DY} [/tex] = [tex] \frac{BS . sin \angle BAC}{DM . sin\angle DAC} [/tex] = [tex] \frac{AC}{BD} . \frac{BD}{AC} [/tex] = 1

Razbira se tova e samo shematichno reshenie (i grozno pri tova) za da mojete da si urpajnyavate smqtaneto sus sinusova teorema i da si populnite lipsvashtite chasti. Izvinyavam se i za latinicata.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Mar 25, 2009 1:02 am    Заглавие:

Нека да бъда малко по-кокретен. Ако не греша - [tex]BX=\frac{PL.KQ}{PL+KQ}=DY[/tex]. До този извод стигнах без тригонометрия. Само с разглеждане на успоредници, подобни триъгълници и преобразувания над получените пропорционални отсечки.


(Разглеждал съм успоредниците с диагонали ST и MN. Ако разсъжденията ми са правилни - условията: ST||AC и MN||AC- не са необходими.)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
allier
Начинаещ


Регистриран на: 14 Aug 2008
Мнения: 65

Репутация: 14.4
гласове: 6

МнениеПуснато на: Wed Mar 25, 2009 8:39 am    Заглавие:

V koq dvoika podobni triygylnici vkarvash naprimer DY ako ne polzvash che MN || AC ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Mar 25, 2009 9:06 am    Заглавие:

Явно ще се наложи да разпиша решението подробно. При първа възможност ще го направя.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Wed Mar 25, 2009 11:59 am    Заглавие: Re: Ново предложение

Цитат:
Известно е, че [tex]a, b, c[/tex] са три реални неотрицателни числа, за които: [tex]a+b+c=1[/tex].
Да се определят минималната и максималната стойности на израза:
[tex]\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}} + \frac{1-b^{2}}{1+b^{2}} + \frac{1-c^{2}}{1+c^{2}}[/tex]


Всъщност и двете оценки излизат като използваме че [tex]f(x)=\frac{1-x^2}{1+x^2}[/tex] e вдлъбната за 0<х<1.

За мин. пишем у-ние на допирателната в т. (1;0) - това е направено по същество от dim
За мах. пишем у-ние на допирателната в т. (1/3;4/5) - направено от alier!

И понеже, писането на уравнения на допирателни не е много красиво, нека ins покаже "красивото" решение!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Mar 25, 2009 10:33 pm    Заглавие:

Решението не е особено "красиво", но е относително приемливо ... когато съставих задачата нямах решение и започнах да го търся и така ... за максимума видях решение, използващо неравенство на Карамата, а за минимума съм виждал поне още едно решение.

allier - имах в предвид как ще се реши текущата задача на седмицата? (която се вижда на заглавната страница на форума - с равностранните триъгълници)



Zadacha.zip
 Description:

Свали
 Име на файл:  Zadacha.zip
 Големина на файла:  32.06 KB
 Свален:  388 пъти(s)

Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Mar 25, 2009 10:53 pm    Заглавие:

По задачата на г-н Стоянов. От Zad-ESt-1.jpg - виждаме, че четириъгълниците - PLBV и BUQK са успоредници. Следователно - BV=PL и BU=QK.
Нека PL=a, а KQ=b.
Разглеждаме Zad-ESt-2.jpg.
BV=PL=a, BU=KQ=b
VU=BV-BU=a-b
UW/BT=UV/BV=(a-b)/a
UW=BT-SU
(BT-SU)/BT=(a-b)/a
1-(SU/BT)=(a-b)/a
SU/BT=b/a
XU/BX=SU/BT=b/a
XU/BX=b/a /+1
b/BX=(b/a)+1
BX=ab/(a+b).
По аналогичен начин се доказва, че DY=ab/(a+b).
Следователно BX=DY.
Ако имате въпроси с радост ще се опитам да отговоря!
Какво е оригиналното решение на задачата?



Zad-ESt-2.jpg
 Description:
 Големина на файла:  3.56 KB
 Видяна:  2260 пъти(s)

Zad-ESt-2.jpg



Zad-ESt-1.jpg
 Description:
 Големина на файла:  30.7 KB
 Видяна:  2260 пъти(s)

Zad-ESt-1.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Thu Mar 26, 2009 6:49 pm    Заглавие:

Може да видите решението в материала, който пуснах във форума Теория свързана с олимпиади! Буквите са други и има малка разлика, но се надявам да се оправите!!! Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Thu Mar 26, 2009 6:57 pm    Заглавие:

allier написа:
Za maksimuma:

[tex] \frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}[/tex] [tex] \ge [/tex] [tex] \frac{29-27a}{25} [/tex]


Обърни знака. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Wed Apr 15, 2009 8:30 pm    Заглавие:

Намерете [tex]\forall x,y,z\in\mathbb{N_{0}}[/tex], такива, че [tex]2^{x}+7^{y}=3^{z}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Fri May 08, 2009 5:19 pm    Заглавие:

Намерете всички прости числа p и q, за които [tex]p^{3}+3q+p=q^{2}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Иди на страница Предишна  1, 2, 3, 4  Следваща
Страница 3 от 4

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.