Регистрирайте сеРегистрирайте се

Състезание на Math10: Примерна Тема


 
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Sat Mar 15, 2008 11:43 pm    Заглавие: Състезание на Math10: Примерна Тема

Предлагам следната примерна тема за предстоящото състезание по Математика на math10 за студенти



Задача 1. Да се докаже, че не съществуват [tex]5[/tex] точки в пространството, такива че разстоянията между всеки две от тях да са нечетни естествени числа.


Задача 2. Нека [tex]n\ge 3[/tex] е естествено число, а [tex]\lambda [/tex], [tex]\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}[/tex] са реални числа удовлетворяващи равенствата:

[tex]i)[/tex] [tex]\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}=\pi [/tex], като [tex]\alpha _{i}>0[/tex] за всяко [tex]i=1,2,...,n[/tex]
[tex]ii)[/tex] [tex]\lambda.sin\alpha_{i}=\tan\left\(\frac{\alpha_{i-1}+\alpha_{i}}{2}\right\)+\tan\left\(\frac{\alpha_{i}+\alpha_{i+1}}{2}\right\),[/tex] за [tex] i=1,2,...,n,[/tex] като [tex]\ \alpha_{0}=\alpha_{n},\ \alpha_{n+1}=\alpha_{1}.[/tex]

Да се намерят всички стойности на [tex]\lambda [/tex], за които съществува [tex]n[/tex]-торка [tex](\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})[/tex], удовлетворяваща [tex]i)[/tex] и [tex]\ ii).[/tex]


Задача 3. За всяко естествено число [tex]N,[/tex] означаваме с [tex]k(N)[/tex]минималния брой "дами", които могат да бъдат поставени на шахматна дъска с размери [tex]N\times N,[/tex] така че:
[tex]i)[/tex] никои две дами не се атакуват
[tex]ii)[/tex] всяко поле на дъската се атакува от поне една дама

Да се докаже, че [tex]\ \lim_{N\to\infty}\ \frac{k(N)}{N}=\frac{2}{3}.[/tex]



Всяка задача се оценява със 7 точки. Задачите са съставени от М Стоенчев. Надявам се повече студенти да проявят интерес към състезанието.


Последната промяна е направена от Мирослав Стоенчев на Sat May 17, 2008 10:58 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Sat Mar 22, 2008 1:00 am    Заглавие:

Задача 4. Нека [tex]a,b,c[/tex] са реални положителни числа, за които [tex]\ ab+bc+ca=1.[/tex]

Да се докаже, че [tex]\ \left\[a+b+c+\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\right\]\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\ge 8.[/tex]


Задача 5. Нека [tex]a, b, c[/tex] са естествени числа удовлетворяващи равенството [tex]a^{b}+b^{c}=c^{a}.[/tex]

a) Да се докаже, че [tex]8[/tex] дели поне едно от числата [tex]a+1,[/tex] [tex]b-1,[/tex] [tex]c-1[/tex]
б) Ако [tex]c[/tex] е четно и [tex]8[/tex] не дели [tex]a+1,[/tex] да се определят [tex]a, b, c[/tex]


Задача 6. Множеството [tex]A_{n}=\left\{1,2,...,n\right\}[/tex] ще наричаме "[tex]p-[/tex] множество", ако съществуват такива множества [tex]B[/tex] и [tex]C,[/tex] че:
[tex]i)\ B\cap C=\emptyset[/tex]
[tex]ii)\ B\cup C=A_{n}[/tex]
[tex]iii)\ \sum_{b\in B}b^p=\sum_{c\in C}c^p[/tex]

Да се докаже, че за всяко естествено число [tex]p[/tex] съществува такова [tex]n,[/tex] че [tex]A_{n}[/tex] е "[tex]p-[/tex] множество".


Всяка задача се оценява със 7 точки. Задачите са съставени от М Стоенчев. Официално състезанието на math10 за студенти ще стартира в началото на Април.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Mon Apr 14, 2008 11:04 pm    Заглавие:

Задача 7. Нека [tex]A[/tex] е множество от естествени числа със свойството: [tex]\limsup_{N\to \infty}\ \frac{|A\cap \left\{1,2,...,N\right\}|}{N}>0.[/tex]
Полагаме [tex]B_{p}=\left\{x_{1}^p+x_{2}^p+\cdots+x_{2^p}^p\ |\ x_1<x_2<...<x_{2^p}\ ;\ x_1, x_2, ... ,x_{2^p}\in A\right\}.[/tex] Да се докаже, че за всяко четно [tex]p[/tex] съществува такова естествено [tex]d,[/tex] че числото [tex](p!)2^{\frac{p^2-p}{2}}d^p[/tex] се представя като разлика на два елемента от [tex]B_p.[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Thu Apr 17, 2008 9:40 pm    Заглавие:

Давай схемите, по които съставяш задачите. Те ще са по интересни за аудиторията. Може и да научим нещо Smile
Иначе всички знаем, че нерешими задачи могат да се копнат от всякъде Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Fri Apr 18, 2008 2:02 pm    Заглавие:

Ще помоля участниците да задават въпроси по задачите на ЛС. Решения на задачите ще бъдат изпратени на учениците/студентите, които участват в състезанието.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Fri Apr 18, 2008 11:47 pm    Заглавие:

Хаха, човек!!! Много официално си я подкарал тая тема, човек ще вземе да се стресне, чак. Laughing Все пак това е само дискусионен форум. Rolling Eyes
Аз просто споделям мнението, че ще е интересно да се видят схемите по съставянето, на самите задачи, защото се забелязва, че държиш да посочиш, че ти си ги съставил. Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.