Регистрирайте сеРегистрирайте се

Oртоцентър. Окр. на деветте точки.


 
   Форум за математика Форуми -> Задачи и теория за кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Wed Feb 27, 2008 11:10 am    Заглавие: Oртоцентър. Окр. на деветте точки.

Th1. Симетричните на ортоцентъра Н, спрямо страните на триъгълника лежат на описаната окръжност.

Д-во: Продължаваме височината СС1 до пресичането й с окръжността. Ще докажем, че С1Н = С1Н1. Наистина[tex] \angle H_1AC_1=\angle H_1CB= 90 - \beta = \angle HAB.[/tex] Тогава височината АС1 в [tex]\Delta AHH_1 [/tex] е и ъглополовяща и следователно HC1=H1C1.
(Картинката е с тъпоъгълен триъгълник).



ScreenShot003_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  11.22 KB
 Видяна:  5766 пъти(s)

ScreenShot003_cr.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Wed Feb 27, 2008 11:17 am    Заглавие:

Th2. Симетричните на ортоцентъра, спрямо средите на страните на триъгълника лежат на описаната окръжност.

Д-во: Построяваме, диаметъра CD. [tex]\angle DAC = 90 \Rightarrow DA||BH, \angle DBC = 90 \Rightarrow DB||AH. [/tex]Получихме, че ADBH е успоредник, но в успоредник диагоналите се разполовяват, т.е. средата М на АВ е и среда на HD. HM=MD.
Следствие:
1. От теоремата на Питагор [tex]AD^2=DC^2-AC^2[/tex], но[tex] AD=BH \Rightarrow BH^2=DC^2-AC^2=4R^2-4R^2 \sin \beta=4R^2(1-\cos^2 \beta) [/tex]или [tex]BH=2R|\cos \beta|.[/tex]

2. В [tex]\Delta DCH \; OM [/tex] e средна отсечка [tex]\Rightarrow CH=2OM.[/tex]

3. Ако S е средата на СН, МS e средна отсечка [tex]\Rightarrow MS=\frac{DC}{2}=OC=R.[/tex]



ScreenShot004_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  13.03 KB
 Видяна:  5765 пъти(s)

ScreenShot004_cr.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Wed Feb 27, 2008 11:26 am    Заглавие:

Th.3 Средите на трите страни, петите на трите височини и средите на отсечките AH, BH, CH лежат на една окръжност с център средата на ОН и радиус R/2.

Нека [tex]O^*[/tex] е средата на ОН. В [tex]\Delta DOH \; O^*M [/tex] е средна отсечка [tex]\Rightarrow O^*M=\frac{OD}{2}=\frac {R}{2}. [/tex] Aналогично [tex]O^*C1[/tex] е средна отсечка в [tex]\Delta OH1H[/tex] и [tex]O^*S[/tex] e средна отсечка в [tex]\Delta OCH.[/tex]
Oкръжността с център средата на ОН и радиус R/2 наричаме окръжност на деветте точки, окр. на Ойлер или (най-често) окръжност на Фойербах.

На Фойербах дължим красивата теорема, че тази окръжност се допира до вписаната и до трите външновписани за триъгълника окръжности.



ScreenShot005_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  23.48 KB
 Видяна:  5762 пъти(s)

ScreenShot005_cr.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задачи и теория за кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.