Регистрирайте сеРегистрирайте се

Височини. Права на Ойлер.


 
   Форум за математика Форуми -> Задачи и теория за кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Mon Feb 25, 2008 2:07 pm    Заглавие: Височини. Права на Ойлер.

Ето две по-малко известни доказателства,че вис. в един тръгълник се пресичат в 1 точка.
Първо доказателство (Screenshot10):
Нека [tex]AA_1 [/tex]и [tex]BB_1[/tex] са височни, които се пресичат в Н. Около [tex]ABA_1B_1 [/tex]и около [tex]CB_1HA_1[/tex] могат да се опишат окръжности. [tex]\angle B_1A_1C=180 - \angle B_1A_1B=\angle BAC=\alpha; \angle B_1A_1A=90-\alpha=B_1CH[/tex] или СН е перпедикулярна на АВ, т.е. СН е височина.

Второ доказателство(Screenshot11):
Нека [tex]O_A [/tex]и [tex]O_C [/tex]са симетричните на О спрямо ВС и АВ и k1, k2 са окръжностите с радиус R и центрове О_А и О_С. Означаваме пресечната им точка с Н.

MN е средна отсечка в [tex]\Delta OO_CO_A[/tex] и в [tex]\Delta ABC[/tex]. Тогава [tex]O_AO_C || = AC[/tex]. Ясно е, че [tex]O_CO_A \perp BH \Rightarrow BH[/tex] е височина. Аналогично и AH e височина.
Пресмятаме [tex]\angle AO_CB =\angle AOB = 2\angle ACB=2 \gamma \Rightarrow \angle AHB = 180 - \gamma.[/tex] По същия начин [tex]\angle BHC = 180 -\alpha. [/tex]Тогава [tex]\angle AHC = 180 - \beta[/tex] или H лежи и на окръжността с център O_B – симетричната на на О относно АС и с радиус R.
Както по-горе разбираме, че и CH е височина. Следователно трите височини се пресичат в една точка.
Следствие (Теорема на Хамилтон) : Окръжностите описани около [tex]\Delta ABC, \; \Delta AHB,\; \Delta BHC, \; \Delta CHA [/tex]имат равни радиуси.

Тh. Центърът на описаната окръжност О, ортоцентърът Н и медицентърът G лежат на една права (права на Ойлер) (Screenshot12).

Д-во:[tex] \Delta AHC \sim \Delta NOM (k=\frac {AC}{MN}=2).[/tex] Това е така, защото трите двойки съответни прави са успоредни.
Нека СМ пресича ОН в К. Триъгълниците [tex]\Delta HCK[/tex] и [tex]\Delta OMK [/tex]са подобни с коефициент [tex]k=\frac {CH}{OM}=2. [/tex]Тогава [tex]\frac {CK}{KM}=2. [/tex]Знаем, че медианите се разделят в отношение 2:1 от медицентъра, т.е. K е медицентъра на триъгълника.



ScreenShot010_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  14.04 KB
 Видяна:  6185 пъти(s)

ScreenShot010_cr.jpg



ScreenShot011_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  16.81 KB
 Видяна:  6185 пъти(s)

ScreenShot011_cr.jpg



ScreenShot012_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  9.56 KB
 Видяна:  6185 пъти(s)

ScreenShot012_cr.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задачи и теория за кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.