Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
xyz Напреднал
Регистриран на: 20 May 2007 Мнения: 319
гласове: 12
|
Пуснато на: Sun May 27, 2007 11:14 am Заглавие: Сума от вектори |
|
|
Реших да ви кажа една задача, която преди доста време научих. Тя се форулира кратко, решението, както ще видите също е кратко, но задачата определено не е елементарна.
В равнината са дадени n вектора със сума 0 (нула). Да се докаже, че могат да се подредят по такъв начин, че започвайки от началото на координатната система и последователно събирайки векторите, то последните да не излизат от ъгъл с 60 градуса (пи/3).
Тъй като може да не съм бил твърде ясен, то давам и една набързо надраскана с Paint скица, на примерно правилно подреждане на векторите.
Description: |
|
Големина на файла: |
2.27 KB |
Видяна: |
2399 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
vladob Редовен
Регистриран на: 02 Mar 2007 Мнения: 169 Местожителство: Skopje, Makedonija гласове: 7
|
Пуснато на: Thu Jul 12, 2007 9:33 am Заглавие: |
|
|
Интересна задача !
Барем од мене не беше заборавена. Неколку пати се навраќав на неа, но треба посериозно да се нафатам да ја решавам.
За n=2 е јасно. Тоа се два спротивни вектори.
За n=3 векторите формираат триаголник. Во секој триаголник мора да постои агол помал или еднаков на пи/3, односно триаголникот може да се смести во бараната област.
Пред да го дадеш решението подобро е да дадеш само упатство во кој правец да се размислува !
|
|
Върнете се в началото |
|
|
xyz Напреднал
Регистриран на: 20 May 2007 Мнения: 319
гласове: 12
|
Пуснато на: Thu Jul 12, 2007 11:56 am Заглавие: |
|
|
vladob написа: | Пред да го дадеш решението подобро е да дадеш само упатство во кој правец да се размислува ! |
Решението на задачата се описва с 4 изречения (или може би 5), т.е. тъй като решението е кратко, то и едно упътване би било почти пълно решение.
Мога да дам ключова дума "триъгълник", но ако добавя още една - то си е вече почти решение.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Grands Редовен
Регистриран на: 31 Mar 2007 Мнения: 240
гласове: 5
|
Пуснато на: Thu Jul 12, 2007 2:17 pm Заглавие: |
|
|
А частният случай при n=3 когато векторите са равни по дължина?
|
|
Върнете се в началото |
|
|
vladob Редовен
Регистриран на: 02 Mar 2007 Мнения: 169 Местожителство: Skopje, Makedonija гласове: 7
|
Пуснато на: Fri Jul 13, 2007 8:15 am Заглавие: |
|
|
Што е со тој случај ?
Ако n=3 и векторите се со еднаква должина и збирот им е о => тие формираат равностран триаголник во кој сите агли се сите по 60 (пи/3).
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Grands Редовен
Регистриран на: 31 Mar 2007 Мнения: 240
гласове: 5
|
Пуснато на: Fri Jul 13, 2007 9:00 am Заглавие: |
|
|
В равнината са дадени n вектора със сума 0 (нула). Да се докаже, че могат да се подредят по такъв начин, че започвайки от началото на координатната система и последователно събирайки векторите, то последните да не излизат от ъгъл с 60 градуса (пи/3).
Така де, това питам.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
xyz Напреднал
Регистриран на: 20 May 2007 Мнения: 319
гласове: 12
|
Пуснато на: Mon Jul 23, 2007 9:12 am Заглавие: |
|
|
Искате ли вече решението?
Относно към Grands, то какъв е проблемът за n=3? Векторите образуват триъгълник, тъй като сумата им е 0. Единият от ъглите е по-малък от 60 градуса и затова започвайки от него целият триъгълник се вкарва в ъгъл с 60 градуса. Всъщност vladob вече е обяснил това.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Irrefutable Напреднал
Регистриран на: 15 Jul 2007 Мнения: 298 Местожителство: София гласове: 5
|
Пуснато на: Mon Jul 23, 2007 11:08 am Заглавие: |
|
|
Как ще подредиш тези вектори, така че да не излизат от 60-те градуса ?
Description: |
|
Големина на файла: |
1.71 KB |
Видяна: |
2206 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Grands Редовен
Регистриран на: 31 Mar 2007 Мнения: 240
гласове: 5
|
Пуснато на: Mon Jul 23, 2007 1:30 pm Заглавие: |
|
|
Irrefutable написа: | Как ще подредиш тези вектори, така че да не излизат от 60-те градуса ? |
Ако означим фигурата с АВСД, вземаш векторите в такава подредба:
АВ, АД, ВС, СД.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Grands Редовен
Регистриран на: 31 Mar 2007 Мнения: 240
гласове: 5
|
Пуснато на: Mon Jul 23, 2007 1:34 pm Заглавие: |
|
|
xyz написа: | Искате ли вече решението?
Относно към Grands, то какъв е проблемът за n=3? Векторите образуват триъгълник, тъй като сумата им е 0. Единият от ъглите е по-малък от 60 градуса и затова започвайки от него целият триъгълник се вкарва в ъгъл с 60 градуса. Всъщност vladob вече е обяснил това. |
Ако трите вектора са равни, то трите ъгъла ще бъдат равни на 60 градуса и ще лежат на контура на ъгъла от 60 градуса, в който трябва да бъдат поместени, но явно с моя малък мозък чак сега разбирам, че трябва цялата получена фигура да се вмести в този ъгъл, а не само първия и последния вектор, при което всичко ми се изяснява и се извинявам за объркването.
Да, може да напишеш решението, ако някой друг не претендира да го измисли.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
xyz Напреднал
Регистриран на: 20 May 2007 Мнения: 319
гласове: 12
|
Пуснато на: Sun Jul 29, 2007 2:29 pm Заглавие: |
|
|
Решението е следното:
1. Подреждате векторите, така ча да образуват правилен многоъгълник. Това може да стане, например ако взимате последователно векторите по нарастване на аргумента им (т.е. ъгълът който сключват с абцисата Ox).
2. Намирате триъгълника с най-голямо лице измежду точките на изпъкналия многоъгълник.
3. В участъците на страните променяте реда на векторите наобратно (виж фигурата).
Така всички вектори влизат в триъгълник, който естествено има ъгъл, по-малък от 60 градуса.
Description: |
|
Големина на файла: |
3.26 KB |
Видяна: |
2174 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
laughing_puddle Начинаещ
Регистриран на: 16 Jul 2007 Мнения: 10 Местожителство: гр.София, жк.Св Троица
|
Пуснато на: Mon Jul 30, 2007 11:45 am Заглавие: |
|
|
Заклевам се точно до такова предположение достигнах и аз, обаче не бях сигурен че абсолютно винаги ще могат тези вектори от многоъгълника да се съберат в триъгълника.Всъщност достигнах и до друго решение за което съм сигурен, че е вярно
само че е по-сложничко и изисква няколко чертежа.В момента нямам никакво време да се занимавам да го разписвам и да правя чертежите,тъй като ходя на работа а съм и студент и се готвя за поправителни изпити ...така че предпочитам да поуча вместо да си губя времето с това.Но обещавам че по-натам ще дам това решение.
И все пак xyz в доказателството ти няма такава част в която се доказва че тези външни за триъгълника вектори принадлежащи на многоъгълника ще могат винаги да се поберат.Какво от това че триъгълника е с най-голямо лице измежду всички възможни?Бих се радвал използвайки това да изгладиш незначителния недостатък в доказателството ти.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
xyz Напреднал
Регистриран на: 20 May 2007 Мнения: 319
гласове: 12
|
Пуснато на: Wed Aug 01, 2007 2:03 pm Заглавие: |
|
|
Мислех, че лесно се вижда, защо векторите ще са вътре, затова и не го написах. Прекарваш прави върховете на триъгълника и успоредни на срещуположните страни. Така ще се образува по-голям триъгълник. Изпъкналият многоъгълник трябва да е изцяло в този голям триъгълник, тъй като в противен случай ще има триъгълник с по-голямо лице (например, ако имаме връх, който е в "грешната полуравнина" спрямо спрямо една от страните, то взимаме върхът и двата върха на страната от малкия триъгълник, успоредна на разглежданата). Сега вече можем да разглеждаме промяната на реда на векторите, като централна симетрия, спрямо средите на съответните страни от малкия триъгълник. При тази централна симетрия частите от големия триъгълник влизат точно в малкия триъгълник. Съжалявам, че не мога да направя чертеж.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
laughing_puddle Начинаещ
Регистриран на: 16 Jul 2007 Мнения: 10 Местожителство: гр.София, жк.Св Троица
|
Пуснато на: Fri Aug 03, 2007 12:59 am Заглавие: |
|
|
Няма нужда от чертеж мисля че схванах или поне схванах това за централната симетрия и защо частите частите от големия триъгълник влизат точно в малкия триъгълник.И как трябва да се построи големия триъгълник.Всъщност идеята за построяване на голямия триъгълника може да се формулира така: страната на триъгълника се избира така, че изпъкналия многоъгълник винаги да стои във една от полуравнините които разделя страната, и да съществува една успоредна нея права (една от безкрайно многото упоредни прави на страната) която да свързва два върха от многоъгълника (като при това тя тябва да позволява на другите две страни които ще построим по същия начин да образуват малкия триъгълник). Като приложиме това условие и за трите страни получаваме голямия триъгълник, който изцяло побира многоъгълника, а пък трите упоредни прави свързващи върховете на многоъгълника образуват малкия триъгълник с най-голямото лице.Всъщност не съм сигурен че е с най-голямо лице не твърдя и обратното, но е повече от ясно че като прехвърлиме векторите по правилото за централна симетрия те ще се поберат напълно в малкия триъгълник.
Виж не че искам да се правя на интересен.Не затова зададох въпроса.Просто исках да видя как ще стане.Пък за да се правя не интересен просто не ми достига акъл...Би ли ми казал защо не мога да давам оценки на други потребители във форума?
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Fri Aug 03, 2007 9:19 am Заглавие: |
|
|
Защото нямаш събрани точки от своя страна, т.е. нямаш репутация все още. Имаш само 9 мнения което е по-малко от 1 точка, а за да гласуваш се иска поне 1 точка да имаш. Като ти станат 15-16 мнения вече ще имаш 1 точка и с нея би трябвало вече да може да гласуваш за някой.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
laughing_puddle Начинаещ
Регистриран на: 16 Jul 2007 Мнения: 10 Местожителство: гр.София, жк.Св Троица
|
Пуснато на: Sun Aug 05, 2007 6:07 pm Заглавие: |
|
|
Ok, ясно.Мерси Fed.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
|