Регистрирайте сеРегистрирайте се

Сума от вектори


 
   Форум за математика Форуми -> Геометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
xyz
Напреднал


Регистриран на: 20 May 2007
Мнения: 319

Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2
гласове: 12

МнениеПуснато на: Sun May 27, 2007 11:14 am    Заглавие: Сума от вектори

Реших да ви кажа една задача, която преди доста време научих. Тя се форулира кратко, решението, както ще видите също е кратко, но задачата определено не е елементарна.

В равнината са дадени n вектора със сума 0 (нула). Да се докаже, че могат да се подредят по такъв начин, че започвайки от началото на координатната система и последователно събирайки векторите, то последните да не излизат от ъгъл с 60 градуса (пи/3).

Тъй като може да не съм бил твърде ясен, то давам и една набързо надраскана с Paint скица, на примерно правилно подреждане на векторите.



vectori.gif
 Description:
 Големина на файла:  2.27 KB
 Видяна:  2399 пъти(s)

vectori.gif


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
vladob
Редовен


Регистриран на: 02 Mar 2007
Мнения: 169
Местожителство: Skopje, Makedonija
Репутация: 28.6Репутация: 28.6Репутация: 28.6
гласове: 7

МнениеПуснато на: Thu Jul 12, 2007 9:33 am    Заглавие:

Интересна задача !
Барем од мене не беше заборавена. Неколку пати се навраќав на неа, но треба посериозно да се нафатам да ја решавам.
За n=2 е јасно. Тоа се два спротивни вектори.
За n=3 векторите формираат триаголник. Во секој триаголник мора да постои агол помал или еднаков на пи/3, односно триаголникот може да се смести во бараната област.

Пред да го дадеш решението подобро е да дадеш само упатство во кој правец да се размислува !
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
xyz
Напреднал


Регистриран на: 20 May 2007
Мнения: 319

Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2
гласове: 12

МнениеПуснато на: Thu Jul 12, 2007 11:56 am    Заглавие:

vladob написа:
Пред да го дадеш решението подобро е да дадеш само упатство во кој правец да се размислува !

Решението на задачата се описва с 4 изречения (или може би 5), т.е. тъй като решението е кратко, то и едно упътване би било почти пълно решение.
Мога да дам ключова дума "триъгълник", но ако добавя още една - то си е вече почти решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Thu Jul 12, 2007 2:17 pm    Заглавие:

А частният случай при n=3 когато векторите са равни по дължина?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
vladob
Редовен


Регистриран на: 02 Mar 2007
Мнения: 169
Местожителство: Skopje, Makedonija
Репутация: 28.6Репутация: 28.6Репутация: 28.6
гласове: 7

МнениеПуснато на: Fri Jul 13, 2007 8:15 am    Заглавие:

Што е со тој случај ?
Ако n=3 и векторите се со еднаква должина и збирот им е о => тие формираат равностран триаголник во кој сите агли се сите по 60 (пи/3).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Fri Jul 13, 2007 9:00 am    Заглавие:

В равнината са дадени n вектора със сума 0 (нула). Да се докаже, че могат да се подредят по такъв начин, че започвайки от началото на координатната система и последователно събирайки векторите, то последните да не излизат от ъгъл с 60 градуса (пи/3).

Така де, това питам.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
xyz
Напреднал


Регистриран на: 20 May 2007
Мнения: 319

Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2
гласове: 12

МнениеПуснато на: Mon Jul 23, 2007 9:12 am    Заглавие:

Искате ли вече решението?
Относно към Grands, то какъв е проблемът за n=3? Векторите образуват триъгълник, тъй като сумата им е 0. Единият от ъглите е по-малък от 60 градуса и затова започвайки от него целият триъгълник се вкарва в ъгъл с 60 градуса. Всъщност vladob вече е обяснил това.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Irrefutable
Напреднал


Регистриран на: 15 Jul 2007
Мнения: 298
Местожителство: София
Репутация: 28.8Репутация: 28.8Репутация: 28.8
гласове: 5

МнениеПуснато на: Mon Jul 23, 2007 11:08 am    Заглавие:

Как ще подредиш тези вектори, така че да не излизат от 60-те градуса ?


vectors_.GIF
 Description:
 Големина на файла:  1.71 KB
 Видяна:  2206 пъти(s)

vectors_.GIF


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Mon Jul 23, 2007 1:30 pm    Заглавие:

Irrefutable написа:
Как ще подредиш тези вектори, така че да не излизат от 60-те градуса ?


Ако означим фигурата с АВСД, вземаш векторите в такава подредба:
АВ, АД, ВС, СД.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Mon Jul 23, 2007 1:34 pm    Заглавие:

xyz написа:
Искате ли вече решението?
Относно към Grands, то какъв е проблемът за n=3? Векторите образуват триъгълник, тъй като сумата им е 0. Единият от ъглите е по-малък от 60 градуса и затова започвайки от него целият триъгълник се вкарва в ъгъл с 60 градуса. Всъщност vladob вече е обяснил това.


Ако трите вектора са равни, то трите ъгъла ще бъдат равни на 60 градуса и ще лежат на контура на ъгъла от 60 градуса, в който трябва да бъдат поместени, но явно с моя малък мозък чак сега разбирам, че трябва цялата получена фигура да се вмести в този ъгъл, а не само първия и последния вектор, при което всичко ми се изяснява и се извинявам за объркването.

Да, може да напишеш решението, ако някой друг не претендира да го измисли.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
xyz
Напреднал


Регистриран на: 20 May 2007
Мнения: 319

Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2
гласове: 12

МнениеПуснато на: Sun Jul 29, 2007 2:29 pm    Заглавие:

Решението е следното:
1. Подреждате векторите, така ча да образуват правилен многоъгълник. Това може да стане, например ако взимате последователно векторите по нарастване на аргумента им (т.е. ъгълът който сключват с абцисата Ox).
2. Намирате триъгълника с най-голямо лице измежду точките на изпъкналия многоъгълник.
3. В участъците на страните променяте реда на векторите наобратно (виж фигурата).
Така всички вектори влизат в триъгълник, който естествено има ъгъл, по-малък от 60 градуса.



4ert11.png
 Description:
 Големина на файла:  3.26 KB
 Видяна:  2174 пъти(s)

4ert11.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
laughing_puddle
Начинаещ


Регистриран на: 16 Jul 2007
Мнения: 10
Местожителство: гр.София, жк.Св Троица

МнениеПуснато на: Mon Jul 30, 2007 11:45 am    Заглавие:

Заклевам се точно до такова предположение достигнах и аз, обаче не бях сигурен че абсолютно винаги ще могат тези вектори от многоъгълника да се съберат в триъгълника.Всъщност достигнах и до друго решение за което съм сигурен, че е вярно
само че е по-сложничко и изисква няколко чертежа.В момента нямам никакво време да се занимавам да го разписвам и да правя чертежите,тъй като ходя на работа а съм и студент и се готвя за поправителни изпити Rolling Eyes ...така че предпочитам да поуча вместо да си губя времето с това.Но обещавам че по-натам ще дам това решение.
И все пак xyz в доказателството ти няма такава част в която се доказва че тези външни за триъгълника вектори принадлежащи на многоъгълника ще могат винаги да се поберат.Какво от това че триъгълника е с най-голямо лице измежду всички възможни?Бих се радвал използвайки това да изгладиш незначителния недостатък в доказателството ти. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
xyz
Напреднал


Регистриран на: 20 May 2007
Мнения: 319

Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2
гласове: 12

МнениеПуснато на: Wed Aug 01, 2007 2:03 pm    Заглавие:

Мислех, че лесно се вижда, защо векторите ще са вътре, затова и не го написах. Прекарваш прави върховете на триъгълника и успоредни на срещуположните страни. Така ще се образува по-голям триъгълник. Изпъкналият многоъгълник трябва да е изцяло в този голям триъгълник, тъй като в противен случай ще има триъгълник с по-голямо лице (например, ако имаме връх, който е в "грешната полуравнина" спрямо спрямо една от страните, то взимаме върхът и двата върха на страната от малкия триъгълник, успоредна на разглежданата). Сега вече можем да разглеждаме промяната на реда на векторите, като централна симетрия, спрямо средите на съответните страни от малкия триъгълник. При тази централна симетрия частите от големия триъгълник влизат точно в малкия триъгълник. Съжалявам, че не мога да направя чертеж.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
laughing_puddle
Начинаещ


Регистриран на: 16 Jul 2007
Мнения: 10
Местожителство: гр.София, жк.Св Троица

МнениеПуснато на: Fri Aug 03, 2007 12:59 am    Заглавие:

Няма нужда от чертеж мисля че схванах или поне схванах това за централната симетрия и защо частите частите от големия триъгълник влизат точно в малкия триъгълник.И как трябва да се построи големия триъгълник.Всъщност идеята за построяване на голямия триъгълника може да се формулира така: страната на триъгълника се избира така, че изпъкналия многоъгълник винаги да стои във една от полуравнините които разделя страната, и да съществува една успоредна нея права (една от безкрайно многото упоредни прави на страната) която да свързва два върха от многоъгълника (като при това тя тябва да позволява на другите две страни които ще построим по същия начин да образуват малкия триъгълник). Като приложиме това условие и за трите страни получаваме голямия триъгълник, който изцяло побира многоъгълника, а пък трите упоредни прави свързващи върховете на многоъгълника образуват малкия триъгълник с най-голямото лице.Всъщност не съм сигурен че е с най-голямо лице не твърдя и обратното, но е повече от ясно че като прехвърлиме векторите по правилото за централна симетрия те ще се поберат напълно в малкия триъгълник.
Виж не че искам да се правя на интересен.Не затова зададох въпроса.Просто исках да видя как ще стане.Пък за да се правя не интересен просто не ми достига акъл...Би ли ми казал защо не мога да давам оценки на други потребители във форума?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Fed
VIP


Регистриран на: 24 May 2007
Мнения: 1136
Местожителство: София (Русе)
Репутация: 113.3
гласове: 33

МнениеПуснато на: Fri Aug 03, 2007 9:19 am    Заглавие:

Защото нямаш събрани точки от своя страна, т.е. нямаш репутация все още. Имаш само 9 мнения което е по-малко от 1 точка, а за да гласуваш се иска поне 1 точка да имаш. Като ти станат 15-16 мнения вече ще имаш 1 точка и с нея би трябвало вече да може да гласуваш за някой.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
laughing_puddle
Начинаещ


Регистриран на: 16 Jul 2007
Мнения: 10
Местожителство: гр.София, жк.Св Троица

МнениеПуснато на: Sun Aug 05, 2007 6:07 pm    Заглавие:

Ok, ясно.Мерси Fed.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Геометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.