Регистрирайте сеРегистрирайте се

Гадна задача


 
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
*UKTC*
Редовен


Регистриран на: 03 Dec 2006
Мнения: 210

Репутация: 25.4Репутация: 25.4Репутация: 25.4

МнениеПуснато на: Wed Apr 04, 2007 9:27 pm    Заглавие: Гадна задача

От метален къс във формата на кълбо е изрязан прав кръгов цилиндер с възможно най-голямо лице на околната повърхнина . Намерете отношението на обема на цилиндъра към обема на кълбото.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Wed Apr 04, 2007 10:18 pm    Заглавие:

4*sqrt(2)/3 ?
стандартно намирам този отговор.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
*UKTC*
Редовен


Регистриран на: 03 Dec 2006
Мнения: 210

Репутация: 25.4Репутация: 25.4Репутация: 25.4

МнениеПуснато на: Thu Apr 05, 2007 10:10 am    Заглавие:

Не е това отговора
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Thu Apr 05, 2007 11:18 am    Заглавие:

Хубава задачка.
Аз получих (3/4)√2, но може и да съм сбъркал.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
*UKTC*
Редовен


Регистриран на: 03 Dec 2006
Мнения: 210

Репутация: 25.4Репутация: 25.4Репутация: 25.4

МнениеПуснато на: Thu Apr 05, 2007 11:41 am    Заглавие:

Отговора е (3√2)/8
Дайде решение не само числа
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Thu Apr 05, 2007 3:58 pm    Заглавие:

Нека радиусът на сферата да е R. Тогава V=(4/3)R3п .
Ясно е, че търсеният цилиндър е вписан в сферата за да има най-голяма околна повърхнина.
Нека радиусът на цилиндъра да е r , а височината му да е h.
Sok = 2пrh
Oт това че е вписан в сферата имаме питагорова теорема: R2=r2 + (h/2)2
От тук имаме h=2sqrt(R2 - r2)
Заместваме в Sok:
Sok=4п*(r*sqrt(R2 - r2) )
f(r)=r*sqrt(R2 - r2)
Търсим най-голямата стойност на функцията за r E (0;R)
f'(r)=sqrt(R2 - r2) + (r*(R2-r2)' )/2sqrt(R2 - r2)
f'(x)=( R2-2r2 ) /srqt(~~~)
Корен на f'(x) принадлежащ на интервала (0;R) е r = R/sqrt(2)
=> h=Rsqrt(2)
Vц=пr2h=пR3sqrt(2)/2
V/Vц=( (4/3)R3п ) / ( пR3sqrt(2)/2 )
V/Vц = 8/( sqrt(2)*3 ) което е твоя отговор обърнат *UKTC* Exclamation Exclamation Exclamation = 4sqrt(2)/3
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Thu Apr 05, 2007 5:15 pm    Заглавие:

Това съвпада с моя отговор.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Thu Apr 05, 2007 5:40 pm    Заглавие:

Обаче може да се реши и по-просто.
Ако О е центъра на сферата с радиус R, С-центъра на горната основа на вписания цилиндър, А-точка от сечението на цилиндъра с равнината минаваща през точка О, перпендикулярна на ОС, като означиш
ОА=r, OB=R, OC=h/2, <COB = х, от триъгълник OBC ще имаш:

OC/ОВ = h/(2R) = cos x

Или h = 2Rcos x

От триъгълник OAB

OA/OB = r/R = cos(90 - x) = sin x

Тогава r = Rsin x

Околната повърхнина на цилиндъра е:

S = 2пrh = 2пR(sin x)2R(cos x) = 2R2п sin 2x
( 0 < x < п/2 )

Максимум на лицето на тази повърхнина се достига при
sin 2x = 1 или при х=п/4.
Тогава оптималните размери на цилиндъра са:

r0 = R√2/2

h0 = 2R√2/2 = R√2

Тогава обема на цилиндъра с най-голяма околна повърхнина ще е:

V0 = 2пr02h0 = 2п(R√2/2)2R√2 = √2пR3.

Обема на кълбото е

B=4/3пR3,

така че търсеното отношение е:

V0 /B = √2пR3/(4/3пR3) = 3√2/4
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Thu Apr 05, 2007 5:55 pm    Заглавие:

Infernum написа:

Тогава обема на цилиндъра с най-голяма околна повърхнина ще е:

V0 = 2пr02h0

Тая двойка я няма.
Оказа се че и двамата с тебе, Methuselah, сме сгрешили.
Аз съм сложил тая двойка, а ти си взел отношение на обема на кълбото към този на цилиндъра, а то се търси обратнотоSmile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.