Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
*UKTC* Редовен
Регистриран на: 03 Dec 2006 Мнения: 210
|
Пуснато на: Wed Apr 04, 2007 9:27 pm Заглавие: Гадна задача |
|
|
От метален къс във формата на кълбо е изрязан прав кръгов цилиндер с възможно най-голямо лице на околната повърхнина . Намерете отношението на обема на цилиндъра към обема на кълбото. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Methuselah VIP
Регистриран на: 17 Feb 2007 Мнения: 1057 Местожителство: София гласове: 20
|
Пуснато на: Wed Apr 04, 2007 10:18 pm Заглавие: |
|
|
4*sqrt(2)/3 ?
стандартно намирам този отговор. |
|
Върнете се в началото |
|
|
*UKTC* Редовен
Регистриран на: 03 Dec 2006 Мнения: 210
|
Пуснато на: Thu Apr 05, 2007 10:10 am Заглавие: |
|
|
Не е това отговора |
|
Върнете се в началото |
|
|
Infernum Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006 Мнения: 740
гласове: 20
|
Пуснато на: Thu Apr 05, 2007 11:18 am Заглавие: |
|
|
Хубава задачка.
Аз получих (3/4)√2, но може и да съм сбъркал. |
|
Върнете се в началото |
|
|
*UKTC* Редовен
Регистриран на: 03 Dec 2006 Мнения: 210
|
Пуснато на: Thu Apr 05, 2007 11:41 am Заглавие: |
|
|
Отговора е (3√2)/8
Дайде решение не само числа |
|
Върнете се в началото |
|
|
Methuselah VIP
Регистриран на: 17 Feb 2007 Мнения: 1057 Местожителство: София гласове: 20
|
Пуснато на: Thu Apr 05, 2007 3:58 pm Заглавие: |
|
|
Нека радиусът на сферата да е R. Тогава V=(4/3)R3п .
Ясно е, че търсеният цилиндър е вписан в сферата за да има най-голяма околна повърхнина.
Нека радиусът на цилиндъра да е r , а височината му да е h.
Sok = 2пrh
Oт това че е вписан в сферата имаме питагорова теорема: R2=r2 + (h/2)2
От тук имаме h=2sqrt(R2 - r2)
Заместваме в Sok:
Sok=4п*(r*sqrt(R2 - r2) )
f(r)=r*sqrt(R2 - r2)
Търсим най-голямата стойност на функцията за r E (0;R)
f'(r)=sqrt(R2 - r2) + (r*(R2-r2)' )/2sqrt(R2 - r2)
f'(x)=( R2-2r2 ) /srqt(~~~)
Корен на f'(x) принадлежащ на интервала (0;R) е r = R/sqrt(2)
=> h=Rsqrt(2)
Vц=пr2h=пR3sqrt(2)/2
V/Vц=( (4/3)R3п ) / ( пR3sqrt(2)/2 )
V/Vц = 8/( sqrt(2)*3 ) което е твоя отговор обърнат *UKTC* = 4sqrt(2)/3 |
|
Върнете се в началото |
|
|
Infernum Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006 Мнения: 740
гласове: 20
|
Пуснато на: Thu Apr 05, 2007 5:15 pm Заглавие: |
|
|
Това съвпада с моя отговор. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Infernum Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006 Мнения: 740
гласове: 20
|
Пуснато на: Thu Apr 05, 2007 5:40 pm Заглавие: |
|
|
Обаче може да се реши и по-просто.
Ако О е центъра на сферата с радиус R, С-центъра на горната основа на вписания цилиндър, А-точка от сечението на цилиндъра с равнината минаваща през точка О, перпендикулярна на ОС, като означиш
ОА=r, OB=R, OC=h/2, <COB = х, от триъгълник OBC ще имаш:
OC/ОВ = h/(2R) = cos x
Или h = 2Rcos x
От триъгълник OAB
OA/OB = r/R = cos(90 - x) = sin x
Тогава r = Rsin x
Околната повърхнина на цилиндъра е:
S = 2пrh = 2пR(sin x)2R(cos x) = 2R2п sin 2x
( 0 < x < п/2 )
Максимум на лицето на тази повърхнина се достига при
sin 2x = 1 или при х=п/4.
Тогава оптималните размери на цилиндъра са:
r0 = R√2/2
h0 = 2R√2/2 = R√2
Тогава обема на цилиндъра с най-голяма околна повърхнина ще е:
V0 = 2пr02h0 = 2п(R√2/2)2R√2 = √2пR3.
Обема на кълбото е
B=4/3пR3,
така че търсеното отношение е:
V0 /B = √2пR3/(4/3пR3) = 3√2/4 |
|
Върнете се в началото |
|
|
Infernum Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006 Мнения: 740
гласове: 20
|
Пуснато на: Thu Apr 05, 2007 5:55 pm Заглавие: |
|
|
Infernum написа: |
Тогава обема на цилиндъра с най-голяма околна повърхнина ще е:
V0 = 2пr02h0
|
Тая двойка я няма.
Оказа се че и двамата с тебе, Methuselah, сме сгрешили.
Аз съм сложил тая двойка, а ти си взел отношение на обема на кълбото към този на цилиндъра, а то се търси обратното |
|
Върнете се в началото |
|
|
|