Средни отсечки

[антоний]

Задачата е от някакъв сборник и е давана на класноna на едно познато хлап. Аз отдавна съм решавал тези задачи, и явно съм забравил почти всичко така че не можах да се справя с второто условие:

Задача: Произволен триъгълник ABC с височини АА1 и BB1 пресичащи се в точка О.
MN средна отсечка през средите на АC и BC. P е среда на АО a Q е среда на BO.

а: да се докаже че MNPQ е правоъгълник ( с това се справих )) )
б: При какъв ъгъл ACB- MNPQ се явява квадрат? - предадох се след сума време, моля за малко помощ понеже ме яде от вътре и не мога да го докажа - отговора е 45 градуса проверих го с AUTOCADA )

[Реклама]

[martin123456]

a)PQ||AB и PQ=AB/2 понеже е ср отсечка в АОB.
MN||AB и MN=AB/2 понеже е ср отсечка в ABC
=> MN||PQ и MN=PQ => успоредник
б)нека B1QN=x. NQ||CO, понеже NQ ср отсечка в COB.=> B1OC=x. Нека PQB1=y=>ABB1=y. около ABA1B1 има окр => B1A1A=y. около B1OA1C има окр => B1CO е y. триъг OB1C e прав => x+y=90. значи така или иначе е 90.
т.е. е правоъгълник.
остава да видим кога PQ=NQ.

нека е вярно=> PQ=NQ=CO/2=> CO=AB.
триъг OB1C еднакъв с AB1B.=> B1C=B1B=>45

[антоний]

[антоний]

[martin123456]

Ъпдейтнах си решението

[антоний]