Регистрирайте сеРегистрирайте се

Нещо по-сериозно


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun Dec 06, 2009 8:18 pm    Заглавие: Нещо по-сериозно

Върху окръжност са избрани точките A, B, C, D, E (в този ред). K, L, M, N, P са пресечните точки съответно на EB и AD, EB и AC, BD и AC, BD и EC, EC и AD. Описаните около триъгълниците ALB, BMC, CND, DPE, EKA са означени съответно с k1, k2, k3, k4, k5. A1, B1, C1, D1, E1 са пресечните точки съответно на k5 и k1, k1 и k2, k2 и k3, k3 и k4, k4 и k5. Да се докаже, че ако A1, B1, C1, D1, E1 са вътрешни точки съответно за триъгълниците AKL, BLM, CMN, DNP, EPK, то:
а) Правите AA1, BB1, CC1, DD1, EE1 се пресичат в една точка.
б) Точките A1, B1, C1, D1, E1 лежат на една окръжност.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ubuntu
Начинаещ


Регистриран на: 21 Nov 2009
Мнения: 9

Репутация: 2.9Репутация: 2.9
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Dec 07, 2009 7:31 pm    Заглавие:

Не представлява кой знае каква трудност да се докаже,че [tex]A_{1}L\cap k_{5},D_{1}N\cap k_{4}[/tex] принадлежат на допирателната към голямата окръжност в точка [tex]E[/tex].Като се сметнат ъглите забелязваме,че [tex]A_{1}L\cap D_{1}N,D_{1},A_{1},E_{1}[/tex] лежат на една окръжност.Като повторим това упражнение няколко пъти за другите окръжности получаваме това,което ни трябва за б).Ще покажем,че [tex]E,E_{1}[/tex] и [tex]A_{1}L\cap D_{1}N[/tex]принадлежат на една права.Ще означим за по-голямо удобство допирателната през [tex]E[/tex] с [tex]E_{dop}[/tex][tex]!?[/tex]Следващият момент ще го обяснявам с думи.Отсечката,образувана от пресечните точки съответно на допирателните през [tex]A[/tex] и [tex]E[/tex] с [tex]k_{5}[/tex], и отсечката,свързваща пресечните точки на [tex]E_{1}P[/tex] и [tex]A_{1}L[/tex] с окръжността през [tex]A_{1},B_{1},C_{1}[/tex](да я наречем [tex]k[/tex]),са едновремено антипаралелни на [tex]E_{1}A_{1}[/tex] следователно те са успоредни на [tex]AE[/tex][tex]![/tex][tex]\angle (EE_{1},E_{1}A_{1})=\angle (AA_{1},EA)[/tex] следователно [tex]AA_{1},EE_{1}[/tex] пресичат [tex]k[/tex] в точки , лежащи на права успоредна на [tex]EA[/tex].От друга страна [tex]\angle (AA_{1},A_{1}L)=\angle (E_{dop},EA)=\angle (A_{dop},EA)=\angle (EE_{1},E_{1}P)[/tex], което означава [tex]EE_{1}\cap D_{1}N\cap k[/tex] и [tex]E_{1}P\cap AA_{1}\cap k[/tex].Аналогично може да се подходи за [tex]D_{1}N\cap EE_{1}\cap k[/tex] и [tex]B_{1}M\cap AA_{1}\cap k[/tex].По същия начин действаме и доказваме , че [tex]EE_{1}\cap k[/tex] и [tex]CC_{1}\cap k[/tex] лежат на права успоредна на [tex]EC[/tex].Вече почти сме готови да покажем , че [tex]CC_{1}\cap EE_{1}\cap AA_{1}[/tex].Необходимо ни е да докажем , че триъгълниците заключени между успоредните прави съответно в голямата окръжност и [tex]k[/tex] са подобни един на друг , което е мисля , че е елементарно.
Забележка : Възможно е доказателството да има дефекти понеже бързам , така че докладвайте ако има нещо нередно ;- )
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Fri Dec 11, 2009 1:05 am    Заглавие:

ubuntu написа:
Като повторим това упражнение няколко пъти за другите окръжности получаваме това,което ни трябва за б).

Не разбирам това изречение. Би ли го пояснил?

Не ми стана ясен и следния пасаж:
ubuntu написа:
От друга страна [tex]\angle (AA_{1},A_{1}L)=\angle (E_{dop},EA)=\angle (A_{dop},EA)=\angle (EE_{1},E_{1}P)[/tex], което означава [tex]EE_{1}\cap D_{1}N\cap k[/tex] и [tex]E_{1}P\cap AA_{1}\cap k[/tex]

Защо от споменатото равенство следва, че двете двойки прави се пресичат в точки от k?

В решението има гениални хрумвания, но и някои некоректни твърдения. Може и да пропускам нещо, но за момента решението е некоректно.
Ако поне едната подточка се докаже - лесно следва другата - даже и аз мога да го докажа.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ubuntu
Начинаещ


Регистриран на: 21 Nov 2009
Мнения: 9

Репутация: 2.9Репутация: 2.9
гласове: 2

МнениеПуснато на: Fri Dec 11, 2009 3:11 pm    Заглавие:

ins- написа:
ubuntu написа:
Като повторим това упражнение няколко пъти за другите окръжности получаваме това,което ни трябва за б).

Не разбирам това изречение. Би ли го пояснил?.


Няма как - грешно е ! Чудя се как съм успял да измисля подобна глупост.Като ми остане повече свободно време пак ще помисля по задачата , въпреки че наистина си е сериозна (:
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Fri Dec 11, 2009 4:13 pm    Заглавие:

Smile решението може да е 5 реда, а може и да няма такова. Аз я мъча от седмици, и не само аз, а и хора, които са по-добри математици от мен.

Ако е от някоя рядка книга или сборник - лесно - отваря се книгата и се преписва решението. В случая, може задачата да е открита и от някои преди мен, но това не е сигурно. Аз много обичам да си чертая и като попадна на нещо интересно - търся как се доказва. Често имам забележителни попадения - ниво TST.

Ако искате - мога да покажа до какви изводи съм стигнал и да я мислим повече хора.
За да е по-интересно мога да дам и награда за коректно решение с материал, изучаван в училище и за решение с някаква друга Framework-a - я комплексни числа, я нещо друго.

Благодаря на ubuntu, за отделеното време и забележителните резултати. Много хора подценяват геометрията, но често тя може да ни вкара в големи приключения - като кажа, че някоя задача не е лека - обикновено е такава. Особеното на тази е, че "подхлъзва" - в желанието си да я реши - човек често се подвежда.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Mon Dec 14, 2009 9:56 pm    Заглавие:

Искам само да спомена, че ubuntu е гений, но вероятно е талантлив и непостоянен човек. Благодарение на неговите разсъждения успях да стигна до решение на задачата. Ако Ви харесва задачата може да я сложите като "Задача на седмицата".
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Dec 27, 2009 11:44 am    Заглавие:

Тази задача като я гледам с толкова много окръжности си спомням за свойството на секущите на 3 взаимно пресичащи се окръжности. И тук би било достатъчно да докажем, че около някои четири точки може да се опише окръжност( примерно АВВ1А1).Тъй като при завъртане конструкцията не се променя, то ако докажем нещо, то ще е валидно и на други 5 места. Тогава по аналогичен начин ще следва, че и около ВСС1В1 може да се опише, около останалите четириъгълници също. Ако докажем това, то директно АА1 и ВВ1 и СС1 се пресичат в 1 точка, понеже са общи секущи на 3 пресичащи се окръжности, аналогично и за останалите отсечки, с което а) ще е решена. От друга страна за вътрешната окръжност се очаква да докажем, че А1В1С1Д2 е вписан, откъдето В1С1Д1Е1, също ще следва, че е вписан, и всички точки ще лежат на 1 окръжност. Въпоросът, разбира се, е как? Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun Dec 27, 2009 1:00 pm    Заглавие:

Не е лесна ... сайтът не поддържа изпращане на .doc файлове. Аз имам едно "най-малко грешно" решение, базирано на разсъжденията на ubuntu, но няма как да го направя видимо за всички.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.